Matlab实验报告：分形迭代

数学实验报告：分形迭代

练习1

1.实验目的：绘制分形图案并分析其特点。

2.实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。

3.实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运行作图操作，否则继续迭代。

4.实验步骤：

（1）Koch曲线

function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数

if (n==0)

plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]);

hold on;

axis equal

else

a=(2*p+q)/3; % 求出从p 到q 的1/3 处端点a

b=(p+2*q)/3; % 求出从p 到q 的2/3 处端点b

c=a+(b-a)*exp(pi*i/3);%

koch(p, a, n-1); % 对pa 线段做下一回合

koch(a, c, n-1); % 对ac 线段做下一回合

koch(c, b, n-1); % 对cb 线段做下一回合

koch(b, q, n-1); % 对bq 线段做下一回合

end

（2）Sierpinski三角形

function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点，n为迭代次数

if (n==0)

fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abc

hold on;

axis equal

else

a1=(b+c)/2;

b1=(a+c)/2;

c1=(a+b)/2;

sierpinski(a,b1,c1,n-1);

sierpinski(a1,b,c1,n-1);

sierpinski(a1,b1,c,n-1);

end

（3）树木花草

function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数

plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]);

hold on;

axis equal

if(n>0)

a=(2*p+q)/3;

b=(p+2*q)/3;

c=a+(b-a)*exp(pi*i/6);%

d=b+(q-b)*exp(-pi*i/6);%

grasstree(a,c,n-1);

grasstree(b,d,n-1);

end

end

5.主要输出：

指令：koch(0,1,5); soerpinski(0,1,exp(pi*i/3),5); grasstree(0,i,5);

Koch曲线

Sierpinski三角形

树木花草

6.实验结论：以上图案的局部形状与原本图形用某种自相似性，这正是分形的特点。

7.问题分析：一般迭代次数大于7，程序运行时间就很长，因此迭代次数建议设定为5。

练习2

1.实验目的：研究Koah雪花的特征。

2.实验内容：对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

3.方法思路：采用Koch曲线的迭代元来绘制。

4.实验步骤：

function xuehua(n)

koch(0,0.5+(1/2)*sqrt(3)*i,n);

koch(0.5+(1/2)*sqrt(3)*i,1,n);

koch(1,0,n);

end

xuehua(1);xuehua(3)

5.主要输出：

不同n对应不同的图像如下：

n=1 n=3

6.实验结论：每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的1/3，数量为上一次的4

倍。而设原三角形边长为r ，Koch 雪花的面积∑=-⨯⨯⨯+=n i i

i r r S 1

21

22]3143[4343， 由此可以推出雪花曲线的边长是无限的，而面积是有限的。另外，从图像可以看出，随迭代

次数n 趋于无穷，图形每一点都没有切线。 7.问题分析：由于没有找到matlab 中相应的计算图形面积与周长的函数，所以这两项计算是由人工完成的。

练习3

1.实验目的：研究分形维数反映出来的分形的特性。

2.实验内容：利用分形维数公式d=log(n)/log(c)计算雪花曲线，Sierpinski 三角形，Minkowski 香肠的维数并与其图像显现出的性质进行比较。

3.方法思路：只需画出Minkowski 香肠的图像，其他分形利用之前图像与维数进行比较即可。

4.实验步骤：

Minkowski 香肠：

function Minkowski(p,q,n) if (n==0)

plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else

m=(q-p)/4;m1=real(m);m2=imag(m);

a=p+m; b=a+(-m2+m1*i);c=b+m;d0=c+(m2-m1*i); d=c+2*(m2-m1*i);e=d+m;f=e+(-m2+m1*i); Minkowski(p, a, n-1); Minkowski(a, b, n-1); Minkowski(b, c, n-1); Minkowski(c, d0, n-1); Minkowski(d0, d, n-1); Minkowski(d, e, n-1); Minkowski(e, f, n-1);

Minkowski(f, q, n-1);

5.实验输出：由分形维数公式log(n)/log(c)可计算的个图形的维数。

雪花曲线：log4/log3=1.26

Minkowski 香肠：log n/logc=1.5 Sierpinski 三角形：log3/log2=1.58

Minkowski 香肠：