雅可比迭代法

2013-2014（1）专业课程实践论文

题目：雅可比迭代法

一、算法理论

设有方程组),...,2,1(1

n i b x a i j n j ij ==∑=

记作,b Ax = （1）

A 为非奇异阵且),,...,2,1(0n i a ij =≠将A 分裂为U L D A --=，其中 D =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn a a a 22

11，L =-⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡-00001,21323121n n n n a a a a a a

U =-⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000,122311312n

n n

n a a a a a a

将式（1）第)....2,1(n i i =个方程用ii a 去除再移项，得到等价方程组

(),,...,2,111n i x a b a x n i j j j ij i ii i =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

-=∑≠=

（2） 简记作 ,0f x B x +=

其中 ().,111

0b D f U L D A D I B ---=+=-=

对方程组（2）应用迭代法，得到解式（1）的雅可比迭代公式

()

()

()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

==∑≠=+,1,...,11002010n i j i k j ij i ii k i t

n x a b a x x x x x ，

初始向量

（3）

其中()()()()()T

k n k k k x x x x ,,...,21=为第k 次迭代向量。设()k x 已经算出，由式（3）可计算下一次迭代向量()(),,...,2,1,...;2,1,01n i k x k ==+

显然迭代公式（3）的矩阵形式为

()()()()⎩⎨⎧+=+,010f x B x

x k k ，初始向量 其中0B 称为雅可比方法迭代矩阵。