数学实验 实验十二 迭代 (2) --分形

Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自
然的几何形态的学科---分形(Fractal)
英国的海岸线有多长？
• 分形的特性
1、具有无限精细的结构
2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。
得到图形序列 F1 , F2 , ... 其极限图形是分形，作用规则 R 称为生 成元。
例如，Cantor 集的生成元是
Van Koch 雪花曲线的生成元是
redokoch ptlist_List := Block tmp =
For i = 1, i < pum, i ++, tmp = Join tmp, ptlist i
反例 2，Weierstrass函数
W ( x)
n 0 ( s 2) n
sin( x)
n
其中 1<s<2 且 1 ，W(x) 是处处连续、
处处不可微的函数。对应 s=1.4, 2
的图象是
lambda = 2; nmax = 30; s = 1.5; Plot Sum lambda^ k, 1, nmax , x, - 10, 10
• 分形的应用领域
1、数学：动力系统
2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流
3、化学：酶的构造，
4、生物：细胞的生长
5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等
2、图形迭代生成分形
• 给定初始图形 F0 ，依照某一规则 R 对图形反复作用
Fk 1 RFk , k 0,1,...
2;
- ptlist i, 1
+ ptlist i + 1
2 + tmp1,
; tmp
;
0, 0 , 1, 2
;
5、Hilbert曲线
Hilbert ptlist_List := Block tmp =
For i = 1, i < pnum, i ++, tmp1 = tmp2 = ptlist i+ 1 ptlist i, 2
, i, pum = Length ptlist ptlist i , , ;
2、Minkowski “香肠”
redominkowski ptlist_List := Block tmp = For i = 1, i < pnum, i ++, tmp1 = ptlist i, 2 ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist i + 1, 1 i i i i i i i
实验十二 迭代 (2) --分形
实验内容
• 什么是分形？ • 图形迭代 • 函数迭代 • IFS迭代 • 分形的应用
1、什么是分形
• 分形发展简史 欧氏几何、解析几何、微分几何—正则 微积分，复变函数---光滑 反例 1，Cantor集合
F0
F1 F2
Cantor 集合 F中点数不可数（比有理数 还多！），但其区间长度为零！
- ptlist i, 1 5; If direct i Š 1, d = Join d, 1, 1, - 1, -1, 1, 1, - 1, - 1, 1, - 1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, - 1, 1, - 1, -1, 1, 1, - 1, - 1 ; tmp = Join tmp, ptlist i , ptlist i + tmp1, ptlist i + 2 tmp1, ptlist i + 2 tmp1 + tmp2, ptlist i + tmp1 + tmp2, ptlist i + tmp1 + 2 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 + 2 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 + 3 tmp2, ptlist i + tmp1 + 3 tmp2, ptlist i + 3 tmp2, ptlist i + 4 tmp2, ptlist i + tmp1 + 4 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 + 4 tmp2, ptlist i + 3 tmp1 + 4 tmp2,
tmp = Join tmp,
ln01 =
ListPlot Nest redominkowski, ln01, 3 , PlotJoined ® True, AspectRatio ® 1 GoldenRatio, Axes ® None
@ D @D @8 8< < @8 @D @ D @D @DD D @D @< @8 @D @ D@ @D@D DD @D@D @ @D D @ @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D @@D D @D @D D< @ @ DD < D< < 8@ 88 @ DD
, tmp1, i, pnum = Length ptlist ,
- ptlist
i ,
i + 1, 2
,
- ptlist
i, 1
4;
ptlist
* 3 4 + ptlist i + 1 4, * 3 4 + ptlist i + 1 4 + tmp1, 2 + ptlist i + 1 2 + tmp1, 2 + ptlist i + 1 2, 2 + ptlist i + 1 2 - tmp1, 4 + ptlist i + 1 * 3 4 - tmp1, 4 + ptlist i + 1 * 3 4,
@@
;
D
4、龙曲线
dragon ptlist_List := Block
ln01 =
ListPlot Nest dragon, ln01, 12 , PlotJoined ® True, AspectRatio ® 1 1.6, Axes ® None
@ D @ 8 @D < @HHL @D @ D L 8 @D @D < @ @D H@ L D D D D8< < 8 D @@ D
tmp = ptlist, tmp1, i, pnum = Length ptlist ptlist i, 2 , For i = 1, i < pnum, i ++, tmp1 = -1 ^ i - 1 ptlist tmp = Insert tmp, ptlist i 2i i + 1, 1
- ptlist i + 1, 2 ,
ptlist
@8 D @ D 8 @< 8 < @H @D @L DD 8 @D @D D @< @ @ @@ D 8 < D @ @ 8 @ D@ D D @ D @ @ D D @ D @ D @ @@ D DD @ D @ D @ D
, i, j, pnum = Length ptlist , tmp1, tmp2, d = ,
Show Graphics Line Nest redokoch, lnko01, 6 AspectRatio ® Sqrt 3 6 ,
@8 D @ D @< 8 < @ @8 @ DD @D@L D @D H @ D @ 8 @ D @D @ @ @D@D D D< < @< D< D D @@@ D 88 @ @D D
@@<8 L< D H L@ 8 D D
s - 2 k Sin lambda^ k x ,
反例 3，Van Koch 雪花曲线
大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不
规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等 也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van
, i, pnum = Length ptlist 3 i +1 , 3 ,
+ ptlist + ptlist + ptlist + ptlist + ptlist + ptlist
3 i +2 3 i +3 3 i +2 3 i +3 3 i +3 3 i +3
2, 2, 2, 2, 2, 2,
ptlist
3 i+ 2
,
ptlist
3 i+ 3源自文库
; tmp
showsierpinski ptlist_List := Block tmp = For i = 0, i < pnum, i ++, AppendTo tmp, Polygon ptlist ptlist ptlist
@ D@ D< @8 8< @@ @ @D 8D @ DD @ D D < D @@ D8 < < @ 88 D <
* 2 3 + ptlist i + 1 3, ptlist i + ptlist i + 1 2+ ptlist i, 2 - ptlist i + 1, 2 , ptlist i + 1, 1 - ptlist i, 1 * Sqrt 3 6, ptlist i 3 + ptlist i + 1 * 2 3, ptlist i + 1 tmp ; lnko01 = 0, 0 , 1, 0 ;
• 分形的维数
1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样 ，则定义 F 的维数为
d ( F ) log( m) / log( c)
例如，对于Cantor集， d ( F ) log 2 / log 3 对于Van Koch 雪花曲线，d ( F ) log 4 / log 3
@ D@ D @8 8< < @ @8 @ D @@ D DD H@D @D @D @ D D @L H@D @D @D @D L H@ D L @D @D @D @D H@D @D @D @D L H@D @D @D @D L H@ D @ D @D L @D @< DD D
, i, pnum = Length ptlist 3 , 3 i+ 1 , ; , 3 i+ 2 3 i+ 3 Show Graphics tmp , AspectRatio ® 1 GoldenRatio
pol =
-1, 0 , 1, 0 , 0, Sqrt 3
showsierpinski Nest redosierpinski, pol, 6
- ptlist i 5; - ptlist i + 1, 2 ,
i + 1, 1
ptlist
d = Join d,
-1, - 1, 1, - 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, - 1, -1 ; tmp = Join tmp, ptlist i , ptlist i - tmp2, ptlist i - 2 tmp2, ptlist i + tmp1 - 2 tmp2, ptlist i + tmp1 - tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 2 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 3 tmp2, ptlist i + tmp1 - 3 tmp2, ptlist i + tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + tmp1 - 5 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 5 tmp2, ptlist i + 2 tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + 3 tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + 4 tmp1 - 4 tmp2, ptlist i + 5 tmp1 - 4 tmp2
• 对于一条直线段，将它等分，每段长度为 原来的1/N，共分为N段。 • 将一个正方形每边等分成N段，共有N2个小 正方形。 • 将一个立方体每边等分成N段，共有N3个小 立方体。 • 一般地，设一图形可分解为m个与之相似的 子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的 维数D满足：cD=m.
2、盒子维数：设 F R是有界集合， 其中 R 是正方形。将 R 分成边长为 的 子正方形。记 N ( ) 为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。定义 F 的盒子 维数为 ln N ( ) d ( F ) lim 0 ln( 1 / ) 例如，对于 Weierstrass处处连续、处处 不可微的函数，其分形维数为 s.
i+ 1 1, 0
; tmp ;
0, 0 ,
;
3、Sierpinski地毯
redosierpinski ptlist_List := Block tmp = For i = 0, i < pnum, i ++, tmp = Join tmp, ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist ptlist 3 i+ 1 3 i+ 1 3 i+ 1 3 i+ 2 3 i+ 1 3 i+ 2