捕鱼方案一

三、模型的建立与求解 3.1 问题一模型的建立与求解 假设把在前 8 个月鱼群受到一定强度的捕捞，同时存在自然死亡这两个因素视为连 续过程。 则由题中可知，捕捞时由于网的因素，只能捕到 3 龄鱼和 4 龄鱼，其捕捞强度系数 之比为 0.42 : 1 。在第 9 个月的前几天，所有 3 龄鱼和 4 龄鱼一次产卵，然后进入 4 个月 的孵化期，到年末孵化完成，一部分成为 1 龄鱼，同时存在自然死亡。为了简化模型， 不计鱼产卵持续的一段时间。 设 r 为自然死亡率，则在 t , t t 内，根据自然死亡率的定义，由于不捕捞 1、2 龄鱼，所以 N (t , s) N i (t t , s) dNi (t , s) 1 r lim i , i 1,2,0 s 365 t 0 t N i (t , s) N i (t , s) dt 变形则得
课 程 设 计
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可持续捕捞最优捕鱼策略
摘要
资源和环境的合理开发和保护是国民经济发展中的一个十分重要问题，特别是可再 生资源的持续开发和利用问题已经是全世界关注热点问题。本文就可持续捕捞稳定状态 下对最优捕鱼方法做了合理的分析。 针对问题一，基于鳀鱼产卵、孵化的突变性、死亡、被捕捞的连续性的假设，建立 了鳀鱼生态系统微分方程模型， 解决在可持续捕捞的前提下， 实现捕捞量的最大化问题。 用数值模拟方法，分析了在各种捕捞强度下系统的稳定状态。在此基础上，假设 4 龄鱼 以上的鳀鱼退出鱼群系统，通过对 0,1 区间所有满足保持稳定状态捕捞强度系数 p 的搜 索 ， 得 到 使 年 捕 获 量 最 大 的 最 优 强 度 系 数 为 p 0.15 ， 对 应 最 大 年 捕 获 量 为 maxgain p 8.159万吨。本文还进一步考虑了模型的改进，即 4 龄鱼以上的鳀鱼同样 作为捕捞对象， 并且全部被捕捞。 则最终结果为 maxgain p 9.7 万吨， 此时 p 0.155。 针对问题二，考虑采用固定努力量捕捞方式，分别讨论 5 年中 p 不变和每年 p 值发 生变化的两种情况，以 5 年的总捕获量为目标函数，5 年后各龄鱼的数量没有发生太大 的变化为条件，建立承包期总产量模型，用逐步求精的搜素方法分别求解。得出当 5 年 内 p 值不发生变化，则 5 年内的每一年的捕捞量都不变，因此五年的总捕捞量为每一年 之和，其最大产量为： 40 .795 万吨；当 5 年内的每一年的 p 值都发生变化，则五年内的 总捕捞量为 64.427 万吨，此时 p1 0.05 ， p2 0.0455， p3 0.0435， p4 0.043 ，
N1 t,0 f t 1er 0.42 p 243 N3 t 1,0/ 2 f t 1er p 243 N4 t 1,0
N 2 t ,0 N1 t 1,0e365r
N3 t,0 N2 t 1,0e365r N4 t,0 N3 t 1,0e2430.42 p365r
0
f t 1e r p 243 0 0 0
矩阵 At 1 ，形似 Leslie 矩阵，但并非是一个常数矩阵，因此对其特征根及特征向 量作出定量分析较为困难，为此，根据每年年初各组鱼数目的转化关系编写程序，用它 对一定初值和捕捞强度下各年初的鱼群分布作出了动态模拟，并对模拟的结果进行观 察，容易得到鱼群的稳定分布及稳定时的年份。 在这种稳定状态下，捕捞强度影响年收获量，要得到最高年收获量，考虑到前面的 方程，可以得到以下的优化模型，即可计算出该稳定状态下的年捕捞量 gain p ：


1.2 具体问题 1． 建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼 群条数不变） ，并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量） 。 2． 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求 5 年后鱼群的生产能力不能 受到太大破坏。 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122， 29.7， 10.1， 3.29 109 条 ， 如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
可持续捕捞要求每年年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，即要求满足以下条件：
N1 t ,0 M 1.22 1011 M 1.22 1011
N 2 t ,0 N1 t 1,365
N3 t ,0 N 2 t 1,365 N 4 t ,0 N3 t 1,365
m3 17.86 克； m4 22.99 克。
● 约束条件 由于 p 为 4 龄鱼的捕捞强度系数，即 p
4龄鱼捕捞数目 ，因此有约束条件： 4龄鱼总数目
s.t.
p 0,1
然后运用搜索算法，可以得到捕获量最大值，具体实现如下： 设初值 N 0 122109 ,29.7 109 ,10.1109 ,3.29109 ， 在 0, 1 区间上用搜索算法，
n M N3 t 1.2 4 3 2 N 4 t 1.2 4 3
其中， M 为每年 3,4 龄鱼的产量总量； n 为产卵量。 在可持续捕捞的情况下，每年年初时各龄鱼的数目保持不变，因此分析鱼群 的稳 定性时需要各年年初鱼群分布的定量描述以及它们之间的关系，根据以上两组方程组之 间的联系得到：
g t 1 1.22 1011 1.22 1011 n e r 0.42 p 243 N 3 t 1,0 2 e r p 243a N 4 t 1,0


其中， g t 1 为 t 1 年的鱼群成活率； a 为 4 龄鱼的产卵量。
N t 1 N1 t 1,0, N 2 t 1,0, N3 t 1,0, N 4 t 1,0
0 365 r At 1 e 0 0 0 0 e
365 r
1 f t 1e r 0.42 p 243 2 0 0 e 2430.42 p 365 r
● 目标函数
243 243 r 0.42 p t r p t 0.42 pdt பைடு நூலகம் pdt max gain p m3 0 N 3 e m 4 0 N 4 e
其中， N 3 , N 4 分别为稳定状态下 3,4 龄鱼数目， gain p 为稳定状态下的年捕捞量；
dN 3 t , s rN 3 t , s 0.42 pN 3 t , s ,0 s 243 ds rN 3 t , s ,243 s 365 dN 4 t , s rN 4 t , s pN 3 t , s ,0 s 243 ds rN 3 t , s ,243 s 365
p5 0.0425。
关键词：微分方程
可持续捕捞
逐步求精
数值模拟
一、问题的重述 1.1 问题背景
考虑对鳀鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分 4 个年龄组，称为 1 龄鱼，2 龄鱼，3 龄鱼，4 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17.86，22.99（克） ， 各年龄组的自然死亡率为 0.8（/年） ，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条 4 龄鱼 的产卵量为（个） ，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄和 1 龄鱼不产卵，产卵和孵化 期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（1 龄鱼条数与产卵量 n 之比） 为 1.221011 1.221011 n 。 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月进行捕捞作业。如果每年 投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄 组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用 13mm 网眼的拉网，这种 网只能捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42∶1。渔业上称这种方式 为固定努力量捕捞。


p 8.1 5 9万吨，此时 p 0.15 ，鱼群分布为 g a in 得到最大可持续捕获量，即 m ax
dN 1 t , s rN 1 t , s ds ， 0 s 365
dN 2 t , s rN 2 t , s ， 0 s 365 ds
对于 3、4 龄鱼由于捕捞在前 8 个月进行，因此，前 8 个月内，捕捞与死亡均影响鱼 的变化，因而有微分方程变形为
其中，N i t , s i 1,2,3,4 为 i 龄鱼在 t 年 s 天的数目；r 为鳀鱼的日均自然死亡率； p 为 4 龄鱼的捕捞强度系数。 对以上微分方程组求解得到：
N1 t , s N1 t,0e rs ， 0 s 365
N 2 t , s N 2 t ,0e rs ， 0 s 365
r 0.42 p s ,0 s 243 N 3 t ,0e 0 s 365 N 3 t , s 0.42 p243 rs ,243 s 365 N 3 t ,0e r p s ,0 s 243 N 4 t ,0e N 4 t , s p243 rs ,243 s 365 N 4 t ,0e
由题中数据得， 2,3,4 龄鱼的数量即使在自然条件下都无法达到。 故认为这种鱼的年 龄分布是由某种异常的自然原因引起的，是一种不稳定状态。今后无论捕捞量如何少， 都不可能维持原有鱼群各年龄组的数目。因此，我们理解所谓生产能力不受太大破坏是 指对于一种稳定状态而言。在本题中即取问题 1 中可获得最大捕捞量的状态。


二、问题的分析 2.1 问题一的分析 针对问题一，如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量） ， 由题中可以得到各龄鱼在年底转化的具体情况：1 龄鱼数量由 3 龄鱼和 4 龄鱼的产卵孵 化而来； 2,3 龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来； 4 龄鱼是 由上一年段 3 龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的 4 龄鱼组成的，并且规定只在 每年的前八个月出船捕捞。 那么根据以上信息可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连 续变化的， 将每一龄鱼的初始数量减去第 8 个月末的数量， ,即可得到该龄鱼的捕捞数量， 然后可得到这八个月内总的捕捞量，当然这也要满足可持续捕捞的约束条件。最后利用 matlab 进行求解。 2.2 问题二的分析 针对问题二， 本文将此题转化为在已知条件下， 求最大捕获量的问题。 从文中可知， 该渔业公司五年的捕捞作业后，鱼群的生产能力不能受到太大破坏，这和问题一的可持 续捕捞条件有点区别， 就是该题的约束条件已变为五年捕捞后各龄鱼的数量比承包前的 要少，只要程度控制在一定的范围内就不会对鱼群的生产能力造成太大破坏。对固定努 力量捕捞方式有两种理解：一是认为五年期捕捞强度系数 p 为同一值；二是认为五年期 各年 p 值不同，记第 i 年的捕捞强度系数为 pi 。
f t 1 n g t 1
其中， f t 1 为 t 1 年 4 龄鱼所产卵的成活数目。 为了直观显示以上关系，将其写成矩阵形式，则有
N t At 1N t 1
其中， N t N1 t ,0, N 2 t ,0, N3 t ,0N 4 t ,0