A题最优捕鱼策略

1996年A题最优捕鱼策略

A题最优捕鱼策略

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益，

考虑对某种鱼（鱼题鱼）的最优捕捞策略：

假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比为1.22×1011/1.22×1011+n）

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数，通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）

2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122 ,29.7 , 10.1 , 3.29(×109条)，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

A题最优捕鱼策略

一、假设

1、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。

2、各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。

3、所有的鱼都在每年最后的四个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程，孵化成活的幼

鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄鱼组。

4、产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后，

5、相龄两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，也就是说，第K年底第i年龄

组的鱼的条数等于第K+1年初第i+1年龄组鱼的条数。

6、四龄以下的鱼全部死亡

7、采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数，比例系

数为捕捞强度系数。

一、模型

1、符号

x i(t)——t时刻i年龄组的鱼群的大小

r——鱼的平均自然死亡率

f i——i年龄组鱼的产卵率

t——时间（以年为单位）

W i——i年龄组鱼的平均重量

Q i——i年龄组的捕捞强度系数

2、数据

r=0.8

(f1,f2,f3,f4)=(0,0,0.5A,A), A=1.109×105

(W1,W2,W3,W4)=(5.07,11.55,17.86,22.99)

(q1 ,q2 ,q3 ,q4)=(0,0,0.42E,E)，称E为捕捞努力量

t=2/3（产卵月份）。

3、模型

1）无捕捞时的鱼群的增长

dx i(t)/dt=-rx i(t)(假设1,2), k≤t＜k+1,i=1,…,k=0,1,2,…;

x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1)=lmt t→k+1 x j(t)(假设5，6)，

x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+t)],

x0(k+t)=0.5Ax3(k+t)+Ax4(k+t)(假设3,4)

2）固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞量的模型

由题设知捕捞期为k≤t＜k+t故有模型

dx i(t)/dt=-rx i-q i(E)x i, k≤t＜k+t (1)

dx i(t)/dt=-rx i k+t≤t＜k+1 (2)

x i(0)=x i,x i+1(k+1)=x i-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2…; (3)

x1(k+1)=1.22×1011x0(k+t)/[1.22×1011+x0(k+t)], (4)

x0(k+t)=0.5Ax3(k+t)+Ax4(k+t) (5)

★鱼群的增长：求解方程组（1）（2），并注意到连续性条件（3）可得

x i+1(k+1)=s l i(E)x i(k),i=1,2,3 (6)

x1(k+1)=[b/(b+x0(k))]x0(k) (7)

x0(k+t)=0.5As2/3 l3(E)x3(k+t)+ As2/3 l4(E)x4(k+t) (8)

其中

s=e-r=0.4493 , l1(E)=l2(E)=1,

l3(E)=e-0.42tE=p E3 ,l4(E)=e-tE=P E4

P3= e-0.42t= e-0.28=0.7558，p4=e-t=e-2/3=0.5132

A=1.109×105 b=1.22×1011

★捕捞量

单位时间第i年龄组鱼的捕捞量（条数）y i(t)=q i(E)x i(t),k≤t＜k+t第K年全年（八个月）第i年龄组鱼的捕捞量（条数）

Y i(k)= ⎰t0i dt)t(y=⎰t0i

i dt)t(

x)

E

(

q=[q i(E)/(r+q i(E))](1-s t p i E)x i(k)

第K年总捕捞量（重量）Y（K）=W3Y3（K）+W4Y4(k) (9)

3)可持续捕捞的模型

可持续捕捞的概念意味着，如果每年通过自然死亡，捕捞和产卵繁殖补充，使得鱼群能够在每年年初捕捞开始时保持平衡不变，那么这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去，因此可持续捕捞的鱼群应该是模型（6）（7）（8）的平衡解，即模型不依赖于时间的解x*i由（6）（7）（8）有

x*i+1=Sli(E) x*i i=1,2,3