物理中求极值的常用方法精品

物理解题中求极值的常用方法
运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出 现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结 合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点” 。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提 供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面 重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值 对于典型的一元二次函数 y=ax 2+bx+c,
若 a>0,则当 x=- b 时 ,y 有极小值，为 2a
b 4a
c b 2
a<0,则当 x=-
b
时,y 有极大值，为
y max = 4ac b
2a 4a
2、利用一元二次函数判别式求极
值
对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，用判别式法 利用 Δ ＝ b 2-4ac ≥ 0。

(式中含 y) 若 y ≥A ，则 y min ＝A 。

若 y ≤A ，则 y max ＝ A 。

3、利用配方法求极值
对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，函数解析式经配方可变为 y=(x-A) 2+常数：(1)当 x ＝A 时，常数为极小值； 或者函数解析式经配方可变为 y = －( x －A )2+常数。

(2)当 x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值
均值定理可表述为 a b ab ，式中 a 、 b 可以是单个变量，也可以是多项式。

2
当 a ＝ b 时， (a+b) min ＝ 2 ab 。

当 a ＝ b 时， (a+b) max ＝ 。

2
5、利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为
1A
y=Asin cos ”的形式，则 y= Asin2 α ，在 =45o 时， y 有极值 。

22 对于复杂的三角函数， 例如 y=asin θ +bcos θ ，要求极值时先需要把不
同名的三角函数
变成同名的三角函数，比如 sin(θ +ф) 。

这个工作叫做“化
4ac b 2
y
min =
；
4a
sin θ 和 cos θ ，。

首先应作辅助角如所示。

V
考虑 asin θ +bcos θ ＝ ＝
a 2
b 2
图1
(
a
2 b
2 sin a
2 b
2
cos )
(cos ф sin θ +sin фcos θ )
＝ a 2 b 2 sin(θ +ф)
其最大值为 a 2 b 2 。

6、用图象法求极值
通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。

7、用分析法求极值 分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。

下面针对上述 7 种方法做举例说明。

例 1 ：如图 2 所示的电路中。

电源的电动势 ε＝12伏，内阻 r ＝0.5欧，外电阻 R 1＝2 欧，R 2＝3 欧， 滑动变阻器 R 3＝5 欧。

求滑动变阻器的滑动头 P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值 ? 最大值 是多少 ?
R 3
分析：设aP 间电阻
为x ，外电路总电阻为R. 则：
图2
、r
V
(R 1 X )(R 2 R 3 X ) R 1 R 2 R 3 (2
X )(3 5 X) 235
(2 X )(8 X )
10
[方法一 ] 用顶点坐标法求解 抛物线方程可表示为 y ＝ax 2+bx+c 。

2
考虑
R ＝
( 2 x)(8 x) = x 2 6x 16 ，
10 = 10
设 y ＝-x 2+6x+16 ，
b 6
(3)2 6 3 16
当
x ＝
＝ —
＝
3时， R
max (3)
＝ ＝2.5Ω。

2a 2( 1) 10
[方法二 ] 用配方法求解
x 2 6x 16 (x 3) 2 25
10 = 10
[方法三 ] 用判别式法求解
Δ＝b 2-4ac ＝36-4(-1)(16-10R) > 0，即： 100-40R ≥ 0，
R ≤2.5Ω ，即 R max
＝
2.5 Ω 。

[方法四 ] 用均值定理法求解
考虑 R ＝ (2 x)(8 x) ，设 a ＝ 2+x ； b ＝ 8-x 。

10
当 a ＝b 时，即 2+x ＝ 8-x ， 即 x ＝3Ω时， R max(3)
＝
(2 3)(8 3)
＝
2.5
Ω。

10
先求出外电阻的最大值 R max 再求出伏特计示数的最大值
U
max 。

本题的关键是求
面用四种方法求
解R max
考虑 R ＝
(2 x)(8 x)
10
即 x ＝ 3Ω时， R max
＝
2.5Ω。

10
考虑 R ＝ 2
x 2
6x 16
10
2
，则有 -x 2+6x+16-10R ＝
(a b)
max R max ＝
＝ 10
25
＝ 2.5Ω。

10
以上用四种方法求出
R max ＝2.5Ω，下边求伏特计的最大读数。

I min ＝
＝
12
＝4(A)。

U max ＝ε- I min r ＝12-4 0.5＝10(V) 。

即变阻器的滑动头 P 滑到 R 3
R max r 2.5 0.5
的中点 2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为 10 伏。

例 2：如图 3 所示。

光滑轨道竖直放置， 半圆部分的半径为 R ，在水平轨道上停着一个质量为 M ＝
0.99kg 的木块，一颗质量为 m ＝0.01Kg 的子弹，以 V 0=400m/s 的水平速度射入木块中， 然后一起运动到轨道
最高 点水平抛出，试分析：当圆半径 R 多大时，平抛的水平位移是最大 ?且最大值为多少 ?
[解析 ]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为 V 1，则： mV 0＝ (m+M)V 1，
所以：V 1= m V 0 ＝
0.01
400m/s 4m/s
m M 0 0.01 0.99 设在轨道最高点平抛时物
块的速度为
V 2，
由于轨道光滑，故机械能守恒：
1 2 1 2
(M m)V 12 2(m M)gR (m M )V 22 22 所以： V 2= [(m M)V 12
4(M m)gR] /(m M)
= V 12 4Rg
42 4R 10 16 40R
则平抛后的位移可以表示为：
s =V 2t =V 2 4g R
(16 40R) 140R
＝ 4 R 0.4R 。

因为 a=-1<0,所以水平位移 S 应该存在最大值。

当 R= b 0.4 =0.2m 时，
也可以用上面公
式
(a+b) max ＝
[(2 x)(8 x)]2
2 ＝25，
图3
2a 2 ( 1)
S max＝0.8m
例 3 ：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s 的
速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。

［解析］要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足
12
V0t- at 2 Vt S (式中S 为汽车刹车时与自行车间距)
2
代入数据整理得：3t2-18t+S>0 ，
显然，当满足＝b2-4ac 0，
即＝182-4 3S 0 得：S 27m，S min=27m。

当汽车刹车时与自行车间距为27 米时是汽车不与自行车相撞的条件。

例 4 ：如图 4 所示。

一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车
顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大? 最大值是多少?
图4
［解析］：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg 与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律
和牛顿第二定律有：
2
mV
mgR cos
3
可以看出：当 sin2 θ=1, 即θ =45o 时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：
f max = m
g 。

2
例 5 ：如图 5 所示。

质量为 m 的物体由力 F 牵引而在地面上匀速直线运动。

物体与地面间的滑动摩擦 系数为 μ,求力 F 最小时的牵引角 θ。

(F 的方向是随 θ 变化的。

)
图5
G
［解析 ］：因物体匀速直线运动，所以有： Fcos θ -f ＝ 0
①
f ＝μ N ＝ μ (mg-Fsin θ )
②
②代人①得： Fcos θ -μ mg+ μFsin θ ＝ 0 即： F ＝
mg。

分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化
cos sin
一”。

由前面的“化一”结论得： a sin θ +b cos θ＝ a 2 b 2 sin(θ + ф ) 考虑本题分母： μ sin θ+cos θ与 a sin θ +b
cos θ用比较法，得： a ＝μ； b ＝1。

1 1
2 1
，则 ф＝arc tg 。

所以， μ sin θ +cos θ＝ 1 sin(θ +arc tg )。

1
要使 F 最小，则分母 μ s in θ +cos θ需最大，因此， θ +arc tg ＝ 。

2 所以有： θ＝ -arc tg ＝ -arc ctg μ =arc tg μ 。

解得小球对小车的压力为：
3
N=3mgcos θ ，其水平分量为： N x =3mgsin θ cos θ = mg sin 2 2
V 2
3
根据平衡条件，地面对小车的
静摩擦力水平向右，大小为：
f= N x = 3
mgsin2
N mgcos m
于是 tg ф ＝ b
a
即：θ=arc tg μ时， F 最小。

作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。

F＝mg。

考虑dF 0，则有μcosθ
cos sin d
-sinθ ＝0则θ ＝arc tg μ，即当F最小时，牵引角θ＝arc tg μ。

例6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为 4 米／秒2， 4 秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为 2 米／秒2，10 秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。

分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。

由题意可知， 4 秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲=a 甲t 甲＝ 4 4＝16（m／s）。

乙10 秒后做匀速运动的速度为：V 乙＝a乙t乙＝2 10＝20（m／s）。

可画出v—t 如上图 6 所示。

图线在A（8 ，16）点相交，这表明在t＝8 秒时，两物体的速度相等，因此．在t＝8 秒时，两者间的距离最大。

此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。

11
即S max＝ 4 16 + 4 16 —8 16＝32（m）。

22
用分析法求极值在物理计算中较常见。

经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。

例7：如图7 所示。

AB 、CD 是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L ，导轨平面与平面的夹角是θ ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B。

在导轨的AC 端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。

已知ab 与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计。

求ab 棒的最大速度。

mgsin θ—μmgcos θ— B2L2Vmax =0 ②
R
22
B
2 L
2
综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、 三角函数中“化一”法、图解法、分析法。

针对有些习题所给的条件的“有界性”
要特别注意，求出的极值不能“出界” ，要注意定义域和值域的对应关系。

例 8：如图 8 所示。

已知电流表内阻忽略不计。

ε＝10V ，r ＝1Ω，Ro ＝R ＝4Ω，其中 R 为滑动变阻 器
的最大值。

当滑动片 P 从最左端滑到最右端的过程中， 电流表的最小 值是多少 ?最大值是多少 ?电流表的示数将怎样变化 ?
、r
［解析 ］：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。

金属
棒 ab 横截面受力如上图 7 所示。

在下滑过程中， ab 受重力 mg ， B 2L 2
V
支持力 N ＝ mgcos θ，摩擦力 f ＝ μ mgcos θ ，安培力 F ＝。

沿
R
导轨平面有：
B
2
L 2
V
mgsin θ -μmgcos θ- =ma
ab 由静止加速下滑会导致：
当 a ＝0 时， ab 速度到达最大，即： V ＝ V max 所以①式变为
mg(sin cos )。

②解式得： V max
，运用求极值的方法时
B
R 0
解：设滑动变阻器滑片 P 左端的电阻为 R 左，通过电流表的电流为 I A ，通过 R o 的电流为 I o ，由并联电 路可知
I 0 I
A
R 左
由欧姆定律得：
I
R
①
R 总 r
10
即
I=
②
R 并 ( R R 左) r
4R 左
左
4 R 左
1
4 R 左
I=I 0+I A = I A （ R 左
1） ③ R 0
用配方法对④式求极值。

40
(R 左 5)2 26.25 左
2
40
当 R ＝2.5Ω时， I A 有极小值 I Amin ＝
1.52(A) 。

26.5
当求电流表的最大值时，就需考虑 R 的取值范围是“有界”的。

这时的极值要与“界”的定义域对应，
当 R 左＝R ＝4Ω时，由④式得 I A P 在b ＝
2
1.67 (A)。

42 5 4 20 由此可得，电流表先从 2A 减小到 1.52A ，然后再增
加到 1.67A 。

所以电流表的最大值是 2A ，其变化
是先减小后增大。

把③代入②式整理得 I A ＝
40
2
R 2左 5R 左 20
40
I A
＝
2
R 2左 5R 左 20
40
不能“出界” 。

当 R 左＝0 时，即由④式得 I A p 在a ＝ 40 ＝
2(A) 。

20
40。