最全面二次函数(最全的中考二次函数知识点总结(精华版)

第一部分 二次函数基础知识

相关概念及定义

2

2

y ax

bx c y ax

bx c

二次函数的概念：一般地，形如

a ，

b ，

c a ，b ，c 是常数， a 0 a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强 （ b ，c b ，c 可以为零．二

a 0 a 0 ，而 调：和一元二次方程类似，二次项系数 次函数的定义域是全体实数． 2

2

y ax

bx c y ax

bx c 的结构特征：

二次函数 x x 的二次式， x x 的最高次数是 ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量

2．

⑵ a ，b ，c a ，b ，c 是常数， a a 是二次项系数， b b 是一次项系数，

c 是常数

项．

二次函数各种形式之间的变换

2

2

y ax

bx c 用配方法可化成：

y a x h

k 的形式，其中

二次函数 2

b 2a

4ac 4a

b h

， k .

2 2

y ax y ax

k ；② ；

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2

2

y ax

bx c .

y

a x h y a x h

k ；⑤ ③ ；④ 二次函数解析式的表示方法 2

y ax

bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；

一般式： 2

y a(x h) k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；

顶点式： y a(x x 1)( x x 2 ) x 1 ， x 2 是抛物线与 a 0 ， x 轴两交点的横坐标） . （ 两根式： 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函 2

x 轴有交点，即 b

4ac 0 时，抛物线的解

数都可以写成交点式，只有抛物线与

析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .

2

y ax

bx c 图象的画法

二次函数 2

y ax bx c 五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 化 为 顶 点 式

2

y a( x h)

k

，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， y 左 右 对 称 地 描 点 画 图 . 一 般 我 们 选 取 的 五 点 为 ： 顶 点 、 与 轴 的 交 点 0 ，c

0 ，c

0，c

0 ，c

2h ，c

、与 x 轴的交点

、以及

关于对称轴对称的点

x 1 ，0 x 1 ，0 x 2 ，0 x 2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称

， 的点） .

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 交点 . x 轴的交点，与 y 轴的

y ax 2

的性质

二次函数 a a 的符号

开口方 向

对称 轴 y 顶点坐标 性质

y 轴

a 0 a 0

y y 随 0 ，0 0 ，0

x 0 x 0 时， x x 的增大而增 y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而

大； 向上

y 0 时， y

有最小值

x 0 x 减小； 0 0 ．

y y 轴

a 0 a 0

y y 随 0 ，0 0 ，0

x 0 x 0 时， x x 的增大而减 y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而

小； 向下

y 0 时， y 有最大值

x 0 x 增大； 0 0 ．

2

2

y ax c y ax

c 的性质

二次函数 a a 的符号

开口方 向

对称 轴 y 顶点坐标 性质

y 轴

a 0 a 0

y y 随 0 ，c 0 ，c

x 0 x 0 时， x x 的增大而增 y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而 大； 向上

0 时， y 有最小值

c c ．

y x 0 x 减小； y y 轴

a 0 a 0

y y 随 0 ，c 0 ，c

x 0 x 0 时， x x 的增大而减

y y 随 x 0 x 0 时， x x 的增大而 小； 向下

y y 有最大值

x 0 x 0 时， 增大； c c ．

2

y a x h

的性质： 二次函数 a a 的符号

开口方 向

对称 轴

顶点坐标

性质

a 0 a 0

y y 随 h ，0 h ，0

x h x h 时， x x 的增大而增 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而

大； 向上 X=h

y y

有最小值

x h x h 时， 减小； 0 0 ．

a 0 a 0

y y 随 h ，0 h ，0

x h x h 时， x x 的增大而减 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而

小； 向下 X=h

y y 有最大值

x h x h 时， 增大； 0 0 ．

2

y a x h

k

的性质

二次函数 a a 的符号

开口方 向

对称 轴

顶点坐标 性质

a 0 a 0

y y 随 h ，k

h ，k

x h x h 时， x x 的增大而增 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而

大； 向上 X=h

h 时， y 有最小值

y x h x 减小； k k ．

a 0 a 0

y y 随 h ，k h ，k

x h x h 时， x x 的增大而减 y y 随 x h x h 时， x x 的增大而

小； 向下 X=h

h 时， y

有最大值

y x h x 增大； k k ．

2

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y ax

bx c y ax

bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点

.

抛物线 a 的符号决定抛物线的开口方向：当

a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向