飞行器常用坐标系(4学时)

5个轴系之间的关系
地面系和机体系的关系
定义了三个欧拉 角，由地面系先绕 立轴右转偏航角， 再绕横轴转俯仰， 再绕纵轴转滚转得 机体系
稳定系和机体系的关系
稳定坐标轴系 和机体轴差一 个迎角，机体 系绕横轴向下 转一个迎角得 稳定系
稳定系和气流系的关系 稳定系绕立 轴向右转一 个侧滑角即 得气流系
机体坐标系的角速度分量与姿态角变化率之间的关系
⎧ p = φ −ψ sin θ ⎪ ⎨ q = θ cos φ + ψ cos θ sin φ ⎪ r = −θ sin φ + ψ cos θ cos φ ⎩
⎧ ⎪ θ = q cos φ − r sin φ ⎪ ⎨φ = p + (r cos φ + q sin φ ) tan θ ⎪ 1 ⎪ ψ = (r cos φ + q sin φ ) cos θ ⎩
b
欧拉角(姿态角)
航迹角
航迹角是由气流坐标系于地面坐 标系之间的关系确定的 。 ① 航迹倾斜角 γ —速度矢量与 地平面 o g x g y g之间的夹角； ② 航迹方位角 χ —速度矢量在 地平面o g x g y g 的投影与 o g x g轴的夹 角； ③ 航迹滚转角 μ — ozw 轴与包 含 oxw 轴的垂直平面的夹角。
稳定坐标轴系 和机体轴差一 个迎角，机体 系绕Oy轴向下 转一个迎角得 稳定系，稳定 系再绕立轴向 右转一个侧滑 角即得气流系
5.航迹坐标轴系
①原点O取在飞机质心处，坐标系与飞 机固连 ②xk轴与飞行速度V重合一致 ③zk轴在位于包含飞行速度V在内的铅 垂面内，与xk轴垂直并指向下方 ④yk轴垂直于Oxkzk平面并按右手定则 确定 航迹系Ox轴和气流坐标系相同，航迹系 绕Ox轴转动一个航迹滚转角得到气 流系，地面系绕OZ轴转一个航迹方 位角，在绕Oy轴转一个航迹倾斜角 得航迹系
一、常用坐标系（欧美系）
1.地面坐标系 S (o x y z ) o o o 地面任意点， g x g 水平面任意方向， z 垂直地面指 o 向地心，g x g y g水平面（地平面），符合右手规则。
g g g g g
g
g
g
地面坐标系常用于指示飞机的方位， 近距离导航和航迹控制
2.机体坐标系 S (o x y z )
飞机的运动参数和常用坐 标系及飞机的操纵机构
1.常用坐标系（5种） 2.飞机的运动参数定义 3.常用坐标系之间的变换 4.欧美系和苏式坐标系的区别和联系 5.常规飞机的操纵机构和操纵舵面极性
刚体飞行器的空间运动可以分为两部分：质心 运动和绕质心的转动。描述任意时刻的空间运动需 要六个自由度：三个质心运动和三个角运动。 作用在飞机上的重力、推力和气动力及其相应 的力矩产生原因各不相同，选择合适的坐标系来方 便的描述飞机的空间运动状态是非常重要的。 在一般情况下，由于飞机均在大气层内飞行， 其飞行高度有限，为了简化所研究问题的复杂性， 有必要进行下列合理假设： ①忽略地球曲率，即采用所谓的“平板地球假设”； ②认为地面坐标系为惯性坐标系。
转换矩阵的性质
预备知识 基元旋转
基元旋转，坐标系绕它的一个轴旋转
沿ox轴正向看是顺时针旋转 沿 oy轴正向看是顺时针旋转 沿 oz 轴正向看是顺时针旋转 但坐标排列次序相反 但坐标排列次序相反
0 ⎡1 T (φ ) = ⎢0 cos φ ⎢ ⎢0 − sin φ ⎣ 0 ⎤ sin φ ⎥ ⎥ cos φ ⎥ ⎦ ⎡cos θ T (θ ) = ⎢ 0 ⎢ ⎢ sin θ ⎣ 0 − sin θ ⎤ 1 0 ⎥ ⎥ 0 cos θ ⎥ ⎦ ⎡ cosψ T (ψ ) = ⎢ − sinψ ⎢ ⎢ 0 ⎣ sinψ cosψ 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
一定要注意变换的次序。 先偏航，再俯仰， 再滚转
由地面坐标系到机体坐标系的转换矩阵为
Sψθφ cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θ ⎤ ⎡ = ⎢(sin φ sin θ cosψ − cos φ sinψ ) (sin φ sin θ sinψ + cos φ cosψ ) sin φ cos θ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢(cos φ sin θ cosψ + sin φ sinψ ) (cos φ sin θ sinψ − sin φ cosψ ) cos φ cos θ ⎥ ⎣ ⎦
⎡ xq ⎤ ⎡cos α Lpq = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎣ yq ⎦ ⎣ sin α
顺时针旋转的转换矩阵
− sin α ⎤ ⎡ x p ⎤ ⎥ ⎢y ⎥ cos α ⎦ ⎣ p ⎦
⎡ yq ⎤ ⎡ cos α ⎢x ⎥ = ⎢ ⎣ q ⎦ ⎣ − sin α
sin α ⎤ ⎡ y p ⎤ ⎥ ⎢x ⎥ cos α ⎦ ⎣ p ⎦
绕 ox 轴的旋转矩阵
绕 oy 轴的旋转矩阵
绕 oz 轴的旋转矩阵
转换矩阵的计算和旋转顺序的选择原则
转换矩阵的计算 坐标系之间的转换矩阵可以通过若干个基元矩阵依次左乘得 到 旋转顺序的选择原则 选择旋转顺序是一个工程问题，下列原则： 使Euler角有明确的物理意义角有明确的物理意义 遵循工程界的传统习惯遵循工程界的传统习惯 使Euler角可测量角可测量
机体坐标系和气流坐标系之间的转换
①从机体坐标系 Sb (oxb yb zb )转动迎角 α 到稳定坐标系 Ss (os xs ys zs ) ，即有 ⎡ xs ⎤ ⎡ cos α 0 sin α ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢y ⎥ = ⎢ 0 为什么？ 1 0 ⎥ ⎢ y⎥ ⎢ s⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ zs ⎥ ⎢ − sin α 0 cos α ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ②再从稳定坐标系 S s (os xs ys zs ) 转动侧滑角 β 到气流坐标系 Sw (ow xw yw zw )，即 ⎡ xw ⎤ ⎡ cos β sin β 0 ⎤ ⎡ xs ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢ − sin β cos β 0 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ w⎥ ⎢ ⎥⎢ s⎥ ⎢ zw ⎥ ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ zs ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
w w w w w
w w
w w
w w
速度坐标系常用来 描述飞机的气动力 若无侧滑，则气 流系横轴和机体 系横轴一致
4.稳定坐标轴系(Stability coordinate frame)Ss------Oxsyszs①原点O取在飞机质心处，坐标系与飞机固连② xs轴与飞行速度V在飞机对称平面内的投影重合一致③zs 轴在飞机对称平面与xs轴垂直并指向机腹下方,与气流系 Zw一致 ④ys轴与机体轴yb重合一致
地面坐标系与气流坐标系的转换
采用和从地面坐标系到机体坐标系类似的转 换次序，先转出航迹方位角，再旋转出航迹 倾斜角，最后得航迹滚转角，得到从地面坐 标系到气流坐标系的转换方向余弦阵
Sγχμ cos γ cos χ cos γ sin χ − sin γ ⎤ ⎡ = ⎢sin γ cos χ sin μ − sin χ cos μ sin γ sin χ sin μ + cos χ cos μ cos γ sin μ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢sin γ cos χ cos μ + sin χ sin μ sin γ sin χ cos μ − cos χ cos μ cos γ cos μ ⎥ ⎣ ⎦
常用坐标系之间的转换
为了方便地描述飞机的空间运动状态，必须选择合适的坐标 系。通常将作用在飞机机体上的力和力矩分别投影到机体坐 标系中来分析飞机的角运动，而气流坐标系主要通过两个气 流角和来描述飞机相对于气流的位置，进而确定作用在飞机 上空气动力的大小。如果选机体坐标系来描述飞机的空间转 动状态，则推力可以直接在机体坐标系中表示，而气动力则 要有气流坐标系转换到机体坐标系，重力则需要从地面坐标 系转换到机体坐标系，这样才能够使得作用在不同坐标系中 的力统一到所选定的坐标系中，进而建立沿各个坐标轴的力 的方程以及绕各轴的力矩方程。所以，坐标系之间的转换是 建立飞机运动方程不可缺少的重要环节。
飞机的运动参数
的夹角，ψ 与o g z g 轴方向一致，垂直于地平面,右偏航为正； ③ 滚转角φ — ozb 轴与包含 oxb 轴的垂直平面的夹角，φ 与 oxb 轴方向一致，右滚转为正。
1.姿态角（Euler角） 飞机的姿态角是由机体坐标系和地面坐标系之间的 关系确定的 φ ① 俯仰角θ —机体轴 oxb 与地平面 o g x g y平面的夹角， = 0 时 g θ与 oyb轴方向一致，俯仰角 抬头为正； ψ ② 偏航角 —机体轴ox 在地平面o g x g y g平面的投影与 o g x g 轴
b b b b b
o 飞机Leabharlann Baidu心位置，ox 取飞机设计轴指向机头方
b
向，ozb 处在飞机对称面垂直oxb 指向下方， oyb 垂直oxb zb面指向飞机右侧，符合右手规则。
机体坐标系常用来 描述飞机的气动力 矩和绕质心的转动
横轴
纵轴
立轴
俯仰
滚转
偏转
3.气流坐标系 S (o x y z ) ，也称速度坐标系 ow飞机质心位置，o x 取飞机速度方向且重合， ow zw 处在飞机对称面垂直 o x 指向下方， w yw垂直 o 面 ox z 指向飞机右侧，符合右手规则。
当 θ = 0 时，上面的公式是奇异的 如何解决？ 用四元数（Quaternion）法计算
机体坐标系的速度分量
v w 机体坐标系的三个速度分量( u ， ，)是飞行 速度 V 在机体坐标系各轴上的分量。 ① u ：与机体轴 oxb 重合一致； ② v ，与机体轴 oyb 重合一致； ③ w ，与机体轴 ozb 重合一致。
b
③由机体坐标系到气流坐标系的转换阵为
Sαβ ⎡ cos α cos β = ⎢ − cos α sin β ⎢ ⎢ − sin α ⎣ sin β cos β 0 sin α cos β ⎤ − sin α sin β ⎥ ⎥ cos α ⎥ ⎦
从地面坐标系到机体坐标系的转换
①从地面坐标系 Sg 转动偏航角 ψ 到过渡坐标系 S ′ − ox′y ′z ′ ，即 ⎡ x ′ ⎤ ⎡ cosψ sinψ 0 ⎤ ⎡ xg ⎤ ⎢ y ′⎥ = ⎢ − sinψ cosψ 0 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ g⎥ ⎢ z′ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ zg ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ②从过渡坐标系 S ′ − ox′y ′z ′ 转动俯仰角 θ 到过渡坐标系 S ′′ − ox′′y ′′z ′′，即 ⎡ x′′ ⎤ ⎡cos θ 0 − sin θ ⎤ ⎡ x′ ⎤ ⎢ y ′′⎥ = ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ y ′⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎥⎢ ⎥ ⎣ z ′′ ⎥ ⎢ sin θ 0 cos θ ⎦ ⎣ z ′ ⎦ ③从过渡坐标系 S ′′ − ox′′y ′′z ′′ 转动滚转角 φ 到机体坐标系Sb (oxb yb z b ) ，即 0 0 ⎤ ⎡ x′′ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1 ⎢ y ⎥ = ⎢0 cos φ sin φ ⎥ ⎢ y ′′⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢0 − sin φ cos φ ⎥ ⎢ z ′′ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
气流角
是由飞行速度矢量与机体坐标系之间的关系确定的 ① 迎角 α ，也称攻角—飞机速度矢量在飞机对称面的投影 与 oxb 轴的夹角，以速度投影在 oxb 轴下为正，当 φ = 0 时 α =θ −γ ② 侧滑角 β —飞机速度矢量与飞机对称面的夹角，当φ = 0 时， = χ −ψ。 β
迎角不同于飞机的姿态角
航迹系和气流系的关系
航迹系Ox轴和气流坐 标系相同，航迹系绕 纵轴转动一个航迹滚 转角得到气流系
航迹系和地面系的关系 地面系绕立轴转一 个航迹方位角，再 绕横轴转一个航迹 倾斜角得航迹系
5个轴系之间的关系
机体坐标系的角速分量
r 机体坐标系的三个角速度分量 p ，q ， 是机体坐标系相对于 地面坐标系的转动角速度在机体坐标系各轴上的分量。 ① 角速度 p ，与机体轴oxb 重合一致； ② 角速度 q ，与机体轴oyb 重合一致； ③ 角速度r ，与机体轴ozb 重合一致。 应当注意：上述三个角速度分量，在有些教材中分别表述成 滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度，其实是不准确的。 这样容易被理解成滚转角速度 φ ，俯仰角速度 θ 和偏航角速 度 ψ ，而 p 只有在俯仰角θ 为零且偏航角也为零时才等 于φ ， q 只有在飞机无滚转且无偏航时才等于θ ， r 只有 在无滚转或无偏航时才等于ψ 。