高三一轮复习二项式定理

为 T3＋1＝C36(4x2)3(－1x)3＝－1 280x3.
二项式系数的性质
(1)(1＋2x)15 的二项展开式中系数最大的项为( D )
A．第 8 项
B．第 9 项
C．第 8 项和第 9 项
D．第 11 项
(2)(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋ 1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3 ＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为( A )
二项式定理与函数的交汇
(2013·高考陕西卷)设函数 f(x)＝（x－x1）6，x<0， － x，x≥0，
则当 x>0 时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( A )
A．－20
B．20
C．－15
D．15
[解析] ∵f(x)＝（x－1x）6，x<0， － x，x≥0，
∴当 x>0 时，f(x)＝－ x<0， ∴f[f(x)]＝f(－ x)＝(－ x＋ 1 )6
【解析】(1)法一：由已知得CC33nn>>CC4n2n，，即 I5<n<7，
∵n∈N*，∴n＝6.令 x＝1，则原式＝(1－12)6＝614. 法二：由题意知，只有第 4 项的二项式系数最大，所以 n＝
6，令 x＝1，则原式＝(1－12)6＝614. (2)由于 x3 与 x4 项的二项式系数相等，则 n＝7. ∴Tk＋1＝Ck7(2x)k， 由CCk7k722kk≥≥CCk7k7－＋1122kk－＋11，得133≤k≤136， ∴k＝5，∴系数最大项为 C57(2x)5＝672x5.
(1)二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都 成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值 法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、 －1 或 0”，有时也取其他值． (2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a、b∈R)的展开形式 系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数
二项展开式中的特定项或特定项的系数
(1)(2013·高考天津卷)x－ 1x6的二项展开式中的
常数项为___1_5____；
(2)(2013·高考安徽卷)若(x＋ a )8 的展开式中，x4 的系数为 7， 3 x
1 则实数 a＝____2____.
(3)(2014·安徽合肥市质量检测)已知 a＝20π (sin2x2－12)dx，则
解析：(1)令x＝1，得1＋a＝2，∴a＝1。
则原式为x＋1x2x－1x5。
对2x－1x5求通项Tr＋1＝Cr5·(2x)5－r·－1xr ＝(－1)r·25－rC5r ·x5－2r。 令5－2r＝－1，得r＝3，x－1的系数为
(－1)3·22·C35＝－40。
令5－2r＝1，得r＝2，x的系数为(－1)2·23·C52＝80与x＋1x相乘可得常数项为40。
分别为
A1，A2，…，An＋1，且第
k
项系数最大，应用Ak≥Ak－1， Ak≥Ak＋1
从而解出 k 值．
2．(1)如果(x2－21x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最
大，那么展开式中的所有项的系数之和是( D )
A．0
B．256
C．64
D.614
(2)(1＋2x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x3 与 x4 项的二项 式系数相等，则系数最大项为__6_7_2_x_5__．
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0， 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，故a0＋a2＋a4＝8。 答案：B
二项式定理的综合应用
(2012·高考湖北卷)设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 012
＋a 能被 13 整除，则 a＝( D )
A．0
B．1
C．11 [课堂笔记]
D．12
【解析】512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012522 012－C12 012522 011＋…＋C22 001112×52×(－1)2 011＋C22 001122×(－1)2 012＋a.因为 52 能 被 13 整除，所以只需 C22 001122×(－1)2 012＋a 能被 13 整除，即 a ＋1 能被 13 整除，所以 a＝12.
＝4，所以关于 x 的一次项的系数为 C49(－12)9－4·(－1)4＝－6136.
求二项展开式中的项或项的系数的方法： (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分 别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母 的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等， 一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等 式(组)求取值范围．
C．240
D．－240
【解析】(1)由二项展开式可得 Tr＋1＝Crn( x)n－r·(－ 1 )r＝ 3
2x
(－
1)r2－
n－
rCrnx 2
rx－3r，
从而
n－5
T4＝T3＋1＝(－1)32－3C3nx 2 ，由
题意可知n－2 5＝0，则 n＝5.
(2)由微积分基本定理知 a＝4，(4x2－1x)6 展开式中的第 4 项
通关特训2 (1) x＋ax 2x－1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数 项为( D )
A．－40 B．－20 C．20 D．40
(2)设
22＋x2n＝a0＋a1x1＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2
－(a1＋a3＋…＋a2n－1)2＝____4_n _____。
解析：(1)由题意可知，a＝C2mm，b＝Cm2m＋1， 又∵13a＝7b， ∴13·m2！mm！！＝7·m！2mm＋＋11！！， 即173＝2mm＋＋11。解得m＝6。故选B项。 (2)依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5。因此，该二项展开式中
的各项系数的和等于12－115＝0。 答案：(1)B (2)C
4．设二项式 x－
a x
6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B。若B＝4A，
则a的值是__________。
解析：由Tr＋1＝Cr6x6－r－xar＝Cr6(－a)rx6－32r， 得B＝C46(－a)4，A＝C26(－a)2， 由B＝4A，a＞0，解得a＝2。 答案：2
考点二
二项式系数或各项系数和
x2＋ax6展开式中的 x3 项的系数为( C )
A．－20
B．20
C．－160
D．160
π
【解析】因为 a＝0π(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)0＝－2，
所以二项式x2＋ax6＝x2－2x6，所以展开式的通项公式 Tk＋1 ＝Ck6(x2)6－k－2xk＝Ck6x12－3k·(－2)k，由 12－3k＝3，得 k＝3，
(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形 构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除， 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一 个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式 f(x)与除式 g(x)(g(x)≠0)，商 式 q(x)与余式的关系及余式的范围．
∴C38a3＝7，∴a＝12.
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
1 x
)r＝Cr9(－12
)9－r·(－
1)rx9－2r，令
9－2r＝1，r
2．二项式系数的性质
1．( x＋x22)n 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n
等于( C )
A．6
B．8
C．10
D．12
2．(2013·高考江西卷)x2－x235展开式中的常数项为( C )
A．80
B．－80
C．40
D．－40
3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中
(ax＋21ax)9 的展开式中，关于 x 的一次项的系数为__－__61_36___．
[课堂笔记]
【解析】(1)x－
1 6的展开式通项为 x
Tr＋1＝(－1)rCr6x6－r·
1 r x
＝(－1)rCr6x6－32r，令 6－32r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C46
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
1.从近几年的高考试题来看，考查的重点是二项式定理的通 项公式、二项式系数及项的系数，如求系数和、求某项的系数、 求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围问题等．
温馨提醒：(1)二项式的展开式共有 n＋1 项，Cknan－kbk 是第 k＋1 项，即 k＋1 是项数，Cknan－kbk 是项． (2)通项是 Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0，1，2，…，n)．其中含有 Tk＋1，a，b，n，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五 个元素． (3)在 Tk＋1＝Cknan－kbk 中，Ckn就是该项的二项式系数，它与 a， b 的值无关；而 Tk＋1 项的系数是指化简后字母外的数．
A．1 或－3
B．－1 或 3
C．1
D．－3
[课堂笔记]
【解析】(1)Tk＋1＝Ck152 k x k，Ck1－5 12 k－1≤Ck152 k， Ck15＋12k＋1≤Ck152 k ⇒239≤k≤332，k＝10， 所以第 11 项的系数最大． (2)令 x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令 x＝－2， 得到 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39， 即 m2＋2m＝3，解得 m＝1 或－3.
3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－
1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
故 3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
x
＝( x－ 1 )6. x
∴展开式中常数项为 C36(
x)3(－ 1 )3 x
＝－C36＝－20.
(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是 当 x>0 时，将 f[f(x)]表达式转化为二项式． (2)对二项式定理的考查还常与求定积分交汇，由单一问题变 为小综合问题进行考查．
(20源自文库4·山东潍坊质检)设 a＝0π(cos x－sin x)dx，则二项式
x2 的系数为 5，则 a＝( D )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
4．(2014·深圳市调研考试)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3 ＋a4x4＋a5x5，则 a3＝___8_0____． 5．若 C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2Cnn－1＋3n－1＝85，则 n 的值 为___4_____．
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
A．32 B．－32 C．0 D．1
高三一轮复习二项式定理
1．二项式定理 (1)试写出二项式定理的展开式． 提示：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn (n∈N*)
(2)其通项公式是什么？二项式系数是什么？
提示：Tr＋1＝Crnan－rbr,表示第 r＋1 项;Crn(r＝0,1,…，n)
1．(1)(2014·东北三校联考)若( x－ 1 )n 的展开式中第四项 3
2x
为常数项，则 n＝( B )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)(2014·湖北八校联考)设 a＝12(3x2－2x)dx，则二项式(ax2
－1x)6 展开式中的第 4 项为( A )
A．－1 280x3
B．－1 280