初中数学因式分解的应用专项训练题1(附答案)
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①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值．
16．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
例如：x2+8x+7
=x2+8x+16-16+7
=(x+4）2-9
=(x+4+3)(x+4-3)
=(x+7)(x+1)
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
①x2+6x+8；
②x2-6x-7．
7．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
8．已知 ， ， ，则 的值为（）
A．16B．12C．10D．无法确定
9．请先观察下列算式，再填空：
①32﹣12＝8×1
②52﹣32＝8×2
③72﹣52＝8×；
④92﹣2＝8×4；
⑤﹣92＝8×5；
14．n为整数，证明：（2n+1）2－1能被8整除．
15．(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝，16x2+24x+9＝，9x2﹣12x+4＝
(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系．
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1=；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
18．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
（2）请你将正确的解答过程写下来．
12．已知 为正整数．
（1）证明： 不能表示为两个以上连续整数的乘积；
（2）若 能表示为两个连续整数的乘积，求 的最大值．
13．仔细阅读下列解题过程：
若 ，求 的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值．
11．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：因为பைடு நூலகம்2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②
所以c2＝a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
例如：分解因式x2+2x﹣3=（x2+2x+1）﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6=2（x2+2x﹣3）=2（x+1）2﹣8．可知当x=﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
⑥132﹣2＝8×；
（1）通过观察归纳，你能用字母n来表示上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来；
（2）请运用因式分解的知识来说明你的猜想的正确性．
10．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
（1）分解因式：n2﹣4n﹣5=．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+28有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．
A．﹣1B．0C．1D．2
5．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）
A．1B．2C．3D．4
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
17．观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
初中数学因式分解的应用专项训练题1（附答案）
1．若 ，则 的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．已知 ，且 、 、 互不相等，对 （）．
A．0B．1C．2016D．2017
3．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为()
A．2B．4C．6D．8
4．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值．
16．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
例如：x2+8x+7
=x2+8x+16-16+7
=(x+4）2-9
=(x+4+3)(x+4-3)
=(x+7)(x+1)
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将x2+2x-3化成a（x+m）2+n的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解：
①x2+6x+8；
②x2-6x-7．
7．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
8．已知 ， ， ，则 的值为（）
A．16B．12C．10D．无法确定
9．请先观察下列算式，再填空：
①32﹣12＝8×1
②52﹣32＝8×2
③72﹣52＝8×；
④92﹣2＝8×4；
⑤﹣92＝8×5；
14．n为整数，证明：（2n+1）2－1能被8整除．
15．(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝，16x2+24x+9＝，9x2﹣12x+4＝
(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系．
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1=；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
18．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
（2）请你将正确的解答过程写下来．
12．已知 为正整数．
（1）证明： 不能表示为两个以上连续整数的乘积；
（2）若 能表示为两个连续整数的乘积，求 的最大值．
13．仔细阅读下列解题过程：
若 ，求 的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值．
11．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：因为பைடு நூலகம்2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②
所以c2＝a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
例如：分解因式x2+2x﹣3=（x2+2x+1）﹣4=（x+1）2﹣4=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6=2（x2+2x﹣3）=2（x+1）2﹣8．可知当x=﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
⑥132﹣2＝8×；
（1）通过观察归纳，你能用字母n来表示上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来；
（2）请运用因式分解的知识来说明你的猜想的正确性．
10．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）和完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接运用完全平方公式分解因式时，可应用下面方法分解因式，先将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
（1）分解因式：n2﹣4n﹣5=．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+28有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+28有最小值，并求出这个最小值．
A．﹣1B．0C．1D．2
5．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）
A．1B．2C．3D．4
6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（ ）
A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定
(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为________；
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
17．观察下列式子的因式分解做法：
①x2-1=(x-1)(x+1)；
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
初中数学因式分解的应用专项训练题1（附答案）
1．若 ，则 的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．已知 ，且 、 、 互不相等，对 （）．
A．0B．1C．2016D．2017
3．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为()
A．2B．4C．6D．8
4．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）