第一章 应力ppt

—— 面力分布集度（矢量）
z
—— 面力矢量在坐标轴上投影 单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
O x y
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的; (3)
的正负号由坐标方向确定。
二、应力矢量
(1) 一点应力的概念
(不考虑) 内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互作用力; (2) 由于外力作用引起的相互作用力.

P ΔA
ΔF

n
(法线)
F T (n) lim A0 A
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
(2) 应力矢量. F 的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
应力分量 单位:
应力的法向分量 应力的切向分量 MPa (兆帕)
—— 正应力 —— 剪应力
应力关于坐标连续分布的
应力分量沿坐标轴的分量： 用 表示坐标轴单位矢量
重要公式
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
例：
3 1 1 1 0 2 1 2 0
I1 3 + 0 + 0 3 3 1 0 2 0 1 I2 + + 6 1 0 2 0 1 3 I 3 8
求主应力和主方向 解：
代入特征方程： 解得 求
1 4 对应的主方向
3 6 + 8 0 1 4, 2 1, 3 2
除以S，移项后，得
当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的 微量，所以V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同 样，由平衡条件
F
y
0, Fz 0
可以得出其余两式。
斜面应力(Cauchy)公式
重要公式
设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得 重要公式
将Cauchy公式代入，得
§1-6 主应力与应力张量不变量
已知一点的应力分量 力矢量 ，则任意斜截面上的应

斜截面上的应力不仅与该点的应力状态 与斜面的方向 有关。
有关，且
问：是否存在一特定的斜截面，剪应力为零。 其上应力矢量T与截面法线同向。即T为该截 面上的正应力 ，

已知
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正 应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上 的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线 方向）称为主方向。
（2）两主应力相等，设
由第一式自然满足 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。 该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。
§1-8 Mohr应力圆（自学）
§1-9 应力张量的分解 （应力球形张量与偏应力张量）
描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应 力张量
x xy xz yx y yz zx zy z
引入平均应力

则

应力张量可分解为两个张量之和
第一章 应力分析
主要内容： 1. 应力分量、应力张量概念 2. 斜截面应力公式 3. 平衡微分方程 4. 应力边界条件 5. 应力分量坐标变换 6. 主应力，最大剪应力，Mohr应力圆 7. 偏应力张量，等效应力，主应力空间
§1-1 应力矢量
一、外力概念
体力、面力 （材力：集中力、分布力。） (1) 体力 —— 物体内单位体积上所受的外力
y
yx
zx
zy
yz
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
z
yx
z
zx
zy
y
xz
O x
yx yz x zx zy z
由斜面应力(Cauchy)公式
z z’
T3
T
y’ T2 y
T1
x’ x
T在新坐标系下的三个分量为 Tx’ 、 Ty’ 、Tz’ 则
用矩阵表示：
x xy xz yx y yz zx zy z
同理：
合并：
x' x' y ' x'z ' ' y 'x' y ' y 'z ' z ' x ' z ' y ' z '
3. 主应力的极值性； （1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意 截面上正应力的最大（或最小）值； 设： ，则 （2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任 意截面上全应力T的最大（或最小）值。
§1-7 最大剪应力
设3个主应力及主方向已知。以3个主方向 为坐标轴方向。则应力分量：
1 0 0 0 2 0 0 0 3
简写为

式中
称
为应力偏量，
为应力球形张量，
为单位张量。
球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。

应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。 静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。

上述方程为 的齐次线性方程组， 且常数项都为 零。因为： ，故 不能同时为零， 所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方 程，称为应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为

，则
展开后有 （特征方程）

比较上两式，有
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的， 不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换 而变化的量，称为应力张量不变量。 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
y yz P
yx
dz
e
e'
dx
o A
zy
dy
zx
y y y+ dy y yx yx + dy B y
z
y
x
整理，并略去微量后，得
同样可以得出
剪应力互等定理
列出x轴方向的力的平衡方程
由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方
程。化简，除以dxdydz，得
y
xy
yz
y
与材力中剪应力τ正负 号规定的区别： 规定使得单元体顺时 转的剪应力τ为正， 反之为负。
z
O x
y y
在用应力莫尔圆时必 须用此规定求解问题
x
剪应力互等定理
xy yx yz zy zx xz
其中，只有6个量独立。
x xy xz yx y yz zx zy z
z
zy
A
o
z
x x + dx x
xz xz + dx x x
xy +
xy x
y
dx
首先，以连接六面体前后两面中心的直线
为矩轴，列出
力矩的平衡方程
z
z z + dz z C zy zy + dz zx z + yz zx + dz dy z yz
由斜面应力公式
由

是m，n的函数，
取极值（
也取极值）的条件是

即

上式第一式除
，第二式除
，得
（1）当
第一组解： 对应主平面，其剪应力为零。（极小值） 第二组解：
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与 主平面成45°）的平面，其剪应力取极大值。
剪应力极大值（六个面）：
设
，最大剪应力为：
§1-5 应力分量的坐标变换
在给定载荷作用下，物体内的任意斜 截面上应力的大小和方向是确定的，即一 点的应力状态是确定的。不随所取坐标系 的不同而变化。 一点的应力（应变）状态是用6个应力 分量来定义，而应力分量是在一定的坐 标系下确定的，且随坐标系的不同的变 化。 本节重点是讨论坐标变换时应力分量的 变化规律。
用张量表示：
重要公式
11 12 13 21 22 23 32 33 31
§1-2 Cauchy公式（斜面应力公式）
已知物体在任一点P的六个应力分量
求经过P点的任一斜面上的应力。
令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为
设三角形ABC的面积为S，则三角 形BPC、CPA、APB的面积分别为lS 、 mS、 nS。四面体PABC的体积用V 表示。三角形ABC上的应力 T (n) 在坐标 轴方向的分量 根据四面体的平衡条件 ，
z
y
zy zy + dz zx yz zx + z dz x yz + dy z y yx xy e y y+ dy dz xz y yx e' yx + B dy yz P dy y zx
dx
C
z + z dz
—— 体力分布集度 （矢量） X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 kN/m3 单位： N/m3
z
O
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
(2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力
斜面应力矢量大小
重要公式 重要公式
斜面剪应力分量大小
重要公式
在物体的任意一点，如果已知六个应力分量
就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就
是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状
态。
§1-3 平衡微分方程
在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行 六面体，棱边的长度分别为PA=dx，
PB=dy，PC=dz。
空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）
重要公式
如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理, 在体力项中引入惯性力:
运动微分方程
§1-4 力边界条件
如果斜截面ABC是物体的边界面，则Tx、Ty、Tz 成为面
力分量
，于是得出
重要公式Байду номын сангаас
即应力边界条件。 它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关 系。
y , yx , yz
z , zx , zy
用矩阵表示：
z
z
x xy xz yx y yz zx zy z
应力符号的意义：
x
O
xz xy y y yx yz x zx zy z
坐标变换包括平移、旋转和反射。 对右手坐标系，平移和旋转变换后仍 保持右手系，反射变换则变成左手系。

对平移变换，一点的应力分量保持不变。 本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化 规律
考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其 单位矢量为ex、ey、ez，相应的应力分量为
z z’

设ox’y’z’为新坐标，其 单位矢量为ex’、ey’ 、 ez’ 。相应的应力分量为
e3’ e1
e3 e2’ e2
y’
y
e1’
x’ x
新旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为
x x’
y’ z’
y m1=a1’2
m2=a2’2 m3=a3’2
z n1=a1’3
n2=a2’3 n3=a3’3
l1=a1’1
l2=a2’1 l3=a3’1
作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为T。T 在旧坐标系下的三个分量为Tx， Ty和Tz ，则
3 2
1 l 0 1 1 1 4 2 m 0 2 4 1 n 0
2 1 1 l ,m ,n 6 6 6
主应力的重要性质
1. 主应力为实数； 2. 三个主应力相互垂直； 即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主 平面，及对应的三个主应力。 （1）当 ，有3个相互垂直的主应力； （2）当 ，与 垂直的平面上的任意方向都 为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力 值相同。 （3）当 ，空间任意方向都是主方向，且应 力值相同。