《弧长和扇形面积》课件
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• 左图： S弓形=S扇形-S三角形 • 右图：S弓形=S扇形+S三角形
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
当堂练习
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为
2
.
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为
AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置， 则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ） A1 O1 B H1 C1
弓形的面积=S扇形 S△OAB 240 1 2 0.6 0.3 0.6 3 360 2 0.24 0.09 3 0.91 cm 2 .
S 扇形 1 lR 2
n R 2 S扇形 = 360
n R R 1 n R 1 R lR 180 2 2 180 2
S 1 ah 2
S 扇形
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
试一试 1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定. 2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为
n° 1° O
要点归纳
弧长公式
n R l 180
注意
用弧长公式
，进行计算时，要注意公式中 n的
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧
2 长为____.
典例精析
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm) A 解：由弧长公式， 可得弧AB的长 C
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
讲授新课
一 弧长公式的推导
思考:
(1)半径为R的圆,周长是多少？ (2)1°的圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1°圆 心角所对的弧长的多少倍？ n倍
C=2πR
2 R R 360 180
(4) n°的圆心角所对弧长l是多少？
n R l 180
100 °
B
O
D
100 900 l 500 1570 (mm), 180 因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
练一练：
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长 为 ．
3
cm，则扇形的圆心角
2．一个扇形的半径为8cm，弧长为 为 ．
7 7 4 7 3 3 A. B． 3 8 3 8
C.
H
A O
C
D.
4 3 3
3．一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2， 则该扇形的圆心角为多少度?
解：设扇形半径为R，圆心角为n0,由扇形
1 公式 S扇形 2 lR 可得: 2S扇形 2 240 R 24 l 20 n R
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积： S＝S扇形OAB - S ΔOAB A O D B
120 π 1 2 0.6 AB OD 360 2 1 0.12 π 0.6 3 0.3 2 0.22(m 2 )
C (3)
要点归纳
弓形面积公式
O
n R 360
2
要点归纳
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为
n°的扇形的面积
A O
B
n R S扇形 = 360
2
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不
带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
O
A O
B
n R l 180
16 3
120
二 扇形及扇形的面积
概念学习
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是 扇形. B B 弧 O 圆心角 A O A 扇形
判一判： 下列图形是扇形吗？
公式推导
思考
(1)半径为R的圆,面积是多少？ S=πR2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?
R
2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形 n倍 的面积的多少倍？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
由l 得:
（cm）
180 180l 180 20 n 150 R 24
答：该扇形的圆心角为150度．
4.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm .
2
C B
A
D
5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O. D
C (3)
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 B
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交AB于点C,连接AC. O. D C (3)
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ Leabharlann BaiduD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC，
A
B
∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC.
O
典例精析
例 ：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图 上哪一部分？ A O
.
阴影部分. C (1)
B
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应 A O D . C (2) 该怎样画出来？ B 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并 长交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ A
第二十四章
圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
导入新课
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在 第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 乙 甲
4 ，则这个扇形的 3
面积S扇=
4 cm 2 ． 3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的 4 面积S扇= 3 .
4.如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为
10cm，圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗? 纸扇和纸扇的半径构成的面积是多少?
A
120°
B R=10cm
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
当堂练习
1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为
2
.
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为
AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置， 则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ） A1 O1 B H1 C1
弓形的面积=S扇形 S△OAB 240 1 2 0.6 0.3 0.6 3 360 2 0.24 0.09 3 0.91 cm 2 .
S 扇形 1 lR 2
n R 2 S扇形 = 360
n R R 1 n R 1 R lR 180 2 2 180 2
S 1 ah 2
S 扇形
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
试一试 1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定. 2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为
n° 1° O
要点归纳
弧长公式
n R l 180
注意
用弧长公式
，进行计算时，要注意公式中 n的
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧
2 长为____.
典例精析
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm) A 解：由弧长公式， 可得弧AB的长 C
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
讲授新课
一 弧长公式的推导
思考:
(1)半径为R的圆,周长是多少？ (2)1°的圆心角所对弧长是多少？ （3）n°圆心角所对的弧长是1°圆 心角所对的弧长的多少倍？ n倍
C=2πR
2 R R 360 180
(4) n°的圆心角所对弧长l是多少？
n R l 180
100 °
B
O
D
100 900 l 500 1570 (mm), 180 因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
练一练：
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长 为 ．
3
cm，则扇形的圆心角
2．一个扇形的半径为8cm，弧长为 为 ．
7 7 4 7 3 3 A. B． 3 8 3 8
C.
H
A O
C
D.
4 3 3
3．一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2， 则该扇形的圆心角为多少度?
解：设扇形半径为R，圆心角为n0,由扇形
1 公式 S扇形 2 lR 可得: 2S扇形 2 240 R 24 l 20 n R
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积： S＝S扇形OAB - S ΔOAB A O D B
120 π 1 2 0.6 AB OD 360 2 1 0.12 π 0.6 3 0.3 2 0.22(m 2 )
C (3)
要点归纳
弓形面积公式
O
n R 360
2
要点归纳
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为
n°的扇形的面积
A O
B
n R S扇形 = 360
2
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不
带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
O
A O
B
n R l 180
16 3
120
二 扇形及扇形的面积
概念学习
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是 扇形. B B 弧 O 圆心角 A O A 扇形
判一判： 下列图形是扇形吗？
公式推导
思考
(1)半径为R的圆,面积是多少？ S=πR2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?
R
2
360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形 n倍 的面积的多少倍？ （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
由l 得:
（cm）
180 180l 180 20 n 150 R 24
答：该扇形的圆心角为150度．
4.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm .
2
C B
A
D
5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
O. D
C (3)
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 B
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交AB于点C,连接AC. O. D C (3)
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ Leabharlann BaiduD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC，
A
B
∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC.
O
典例精析
例 ：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图 上哪一部分？ A O
.
阴影部分. C (1)
B
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应 A O D . C (2) 该怎样画出来？ B 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并 长交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ A
第二十四章
圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
导入新课
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在 第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 乙 甲
4 ，则这个扇形的 3
面积S扇=
4 cm 2 ． 3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的 4 面积S扇= 3 .
4.如图是圆弧形状的纸扇示意图，纸扇的半径为
10cm，圆心角为120°,你能求出纸扇边沿的长度吗? 纸扇和纸扇的半径构成的面积是多少?
A
120°
B R=10cm