【测试】阶段性测试题3

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阶段性测试题三(导数及其应用)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分

钟．

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为( )

A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2

C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2

[答案] B

[解析] 用f(1)＝－1验证即可．

2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是( )

A．甲大B．乙大

C．相等D．无法比较

[答案] B

[解析] v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1，所以在t＝2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．

3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )

A．ln2 B．－ln2

C．D．－

[答案] A

[解析] 易知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)是奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，即a ＝1，所以f′(x)＝ex－e－x＝，解得x＝ln2，所以切点的横坐标为ln2.

4．(文)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为( )

A．f(x)＝x2－lnx B．f(x)＝xex

C．f(x)＝sinx D．f(x)＝＋

[答案] D

[解析] 本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D符合题意．

(理)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝( ) A．－e B．－1

C．1 D．e

[答案] B

[解析] 由f(x)＝2xf ′(1)＋lnx ，得f ′(x)＝′(1)＋， ∴f ′(1)＝′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.

5．(文)若曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x0)<0 B ．f ′(x0)>0 C ．f ′(x0)＝0 D ．f ′(x0)不存在

[答案] B

[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f ′(x0)＝3.故选B ．

(理)已知t>0，若(2x －2)dx ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4 D ．4 [答案] D

[解析] 由(2x －2)dx ＝8得，(x2－2x)|＝t2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，选D ．

6．已知函数f(x)＝x3－x2－x ，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( ) A ．f(－a2)≤f(－1) B ．f(－a2)

D ．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定 [答案] A

[解析] 由题意可得f ′(x)＝x2－2x －，令f ′(x)＝(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1

所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，所以f(－a)2≤f(－1)． 7．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f ′(x)>0，且f(0)＝0，f(－)＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )

A ．{x|x<}

B ．{x|0

C ．{x|x<－或0

D ．{x|－≤x ≤0或x ≥} [答案] C

[解析] 根据图像得不等式f (x )<0的解集为{x |x <－12或0

}．

8．(文)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1

[答案] A

[解析] 本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用，要使函数图像与x 轴有两个不同的交点，则需要满足极值中一个为零即可，因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＝±1时取得极值，由f (1)＝0或f (－1)＝0可得c －2＝0或c ＋2＝0，即c ＝±2.

(理)(2014·湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠

⎛1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－

1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：

①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 1

2x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.

其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

[答案] C

[解析] 本题考查定积分的运算，函数的新定义．

由题意，要满足f (x )，g (x )是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－1

1f (x )g (x )d x ＝0.

① ⎠⎛－1

1f (x )g (x )d x ＝⎠

⎛－1

1sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－1

1sin x d x ＝(－1

2cos x )|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；

②⎠⎛－1

1

f (x )

g (x )d x ＝⎠

⎛－1

1

(x ＋1)(x －1)d x ＝(x 33－x )|1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；

③⎠⎛－1

1

f (x )

g (x )d x ＝⎠⎛

－1

1

x ·x 2d x ＝

x 44|1

－1

＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数． 综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.