乳腺癌诊断的数学模型

SST SSR
R


q

a
b
ya yb
y0
N


S0
S1
4 问题分析
在乳腺癌的诊断中，乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、 细胞形状 的均匀性、边缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核 仁、有丝分裂等九项指标作为一般的判断标准，但是在实际检查过程中过多的检 查项目会导致程序比较复杂，并具有较大的盲目性，检验中存在的误差也会导致 病情的诊断失误。 怎样在检查项目较少的情况下准确的判断出中肿瘤的性质是本 问题讨论的关键。 4.1 问题一分析 问题一要求提出一种或多种方法判别乳腺肿瘤属于良性还是恶性， 并检验方 法的正确性。选取前 50 个患者作为样本数据，以各元素的含量 xi (i 1, 2,...,9) 为 自变量， 用是否患有乳腺肿瘤作为因变量去建立多元回归模型 （因变量用 y 表示， 当 y 1时，表示恶性；当 y 0 时，表示良性） 。利用 Matlab 编程求得线性回归 方程， 并将剩下的数据作为检测样本代入模型中进行检验， 得出误判率为 7.14%，
乳腺癌诊断的数学模型
摘要
本文解决的是乳腺癌判别的问题。我们先用 Excel 软件对 80 组数据进行统 计分析，把患者分为良性组和恶性组，以方便后面建立模型。为了解决这三个问 题，我们建立了以下三个模型。 对于问题一，我们建立了多元回归分析模型和 Fisher 模型。首先我们利用 计算机随机排列抽样，选取前 50 个患者作为样本数据，以各元素的含量
则

y 0.3900 0.0661x 0.0484x
1

2
0.0597 x3 0.0250 x4 0.0264x5 0.0271x6 0.0035x7
0.0429 x8 0.0525x9
6.1.3 多元回归模型的检验 对回归方程进行显著检验：
SST ( yi y ) 2
相应的矩阵方程式为：
y x
( X T * X ) * X T *Y
6.1.2 模型的求解 将样本数据代入中，利用 Matlab（源程序见附录三）软件求得各参数的线性 回归系数分别为：
[0.3900, 0.0661, 0.0484, 0.0597, 0.0250, 0.0264, 0.0271, 0.0035, 0.0429, 0.0525]
5.数据处理
5.1 利用 Excel 软件对数据进行处理 本文中需要对该医院乳腺肿瘤患者 80 组数据进行数据处理， 首先由于题目中 有两组数据的一组指标信息残缺，所以不要这两组数据建模。对于剩下 78 组数 据我们利用 Excel 软件把患者分为良性组和恶性组。 （具体数据见附录一） 表一：
病例号 1 2 3 4 5 75 76 77 78 乳腺肿瘤肿 细胞大小的 细胞形状 边缘的 块的厚度 均匀性 的均匀性 粘连 5 5 3 6 4 5 3 2 2 1 4 1 8 1 3 1 1 2 1 4 1 8 1 1 1 1 2 1 5 1 1 · · · · · · 3 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 3 1 1 3 2 3 2 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
பைடு நூலகம்
2 模型的假设
假设一：题目所给的数据均是合理的、正确的。 假设二：题目中所提供的 100 例诊断结果均符合一般规律。 假设三： 乳腺肿瘤属于良性还是恶性只与题目中所给的 9 个指标相关而与其他因 素无关。 假设四：题目中所给的九项指标对肿瘤性质的影响是相互独立。 假设五：题目中各项指标的测定时带来的误差忽略不计。 假设六：误差项ε 是一个服从正态分布的随机变量，即 ε ~N(0,σ 2)，且相互独 立
xi (i 1, 2,...,9) 为自变量，用是否患有乳腺肿瘤作为因变量因变量（用 y 表示，当
y 1时，表示恶性；当 y 0 时，表示良性）去建立多元回归模型。利用 matlab
编程，得到多元回归方程，并将剩下的 28 个患者样本作为检测值代入模型检验， 得出误判率为 7.14%。误判率较高，因而我们引入了 Fisher 模型。通过理论推导 及在 matlab 中编程，得到 Fisher 判别函数为 y c1x1 c2 x2 c p x p ,其中系数 为 0.0291，-0.0218，0.0201，0.0089,0.0106,0.0096,-0.0038,0.0164,0.0189. 仍然将剩下的 28 个患者样本作为检测值代入 Fisher 模型检验，得出误判率为 3.57%<7.14%，可以看出 Fisher 模型能降低误判率，较好地满足要求，因此问题 一我们采用更为准确的 Fisher 模型。 对于问题二，运用模型一中的 Fisher 判别模型对已知病例判断。将待诊断的 20 个患者数据代入 Fisher 模型中，从而可以判断出 20 名患者中有 8 人的肿瘤 为恶性，他们的病例号分别为 1、4、5、7、10、11、15、19，剩余 12 名患者的 肿瘤为良性。 对于问题三，我们通过统计产品与服务解决方案软件（即 Spss 软件） ，利用 主成分分析模型对已知的九个指标进行分析，通过剔除法， 保留对因变量作用显 著的指标，剔除作用不显著的指标。得到乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀 性、细胞形状的均匀性、正常的核仁四个主要指标。在四项主要指标的基础上， 建 立 Fisher 模 型 。 在 matlab 中 编 程 ， 得 到 Fisher 判 别 函 数 为 ：
3 符号说明
符号
xi yi
符号说明 乳腺患者的第 i 个指标（i=1,2„9） y=1,肿瘤为恶性；y=0，肿瘤为良性
i
待估系数 线性回归系数 总离差的平方和 回归平方和 回归系数 随机误差项 误判率 显著性水平系数 肿瘤呈良性的患者的个数 肿瘤呈恶性的患者的个数 良性组的判别值 恶性组的判别值 判别函数的零界值 总体中抽取的一个样本 良性组的离差矩阵 恶性组的离差矩阵
y=0.024 5x 1 0x .2 0 034 x3 0 . 0 0 2 9 x，然后进行模型检验，得到模型的误 0.0124 4
判率为 3.57%，达到了减少化验指标的效果。
关键字:
Fisher
主成分分析法
Spss
多元线性回归
1 问题重述
1.1 问题背景 全世界每年约有 120 万妇女患乳腺癌，50 万人死于乳腺癌，乳腺癌已经成 为全球女性发病率最高的恶性肿瘤。 怎样在乳腺肿瘤的辅助诊断时合理的进行判 断，来达到更好的预防或治疗目的是本问题的关键。 1.2 某医院患者的相关信息 下面是某医院乳腺肿瘤患者的一组数据（数据见附录一） ，其中前面 9 个指 标分别表示乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、 细胞形状的均匀性、边 缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核仁、有丝分裂， 尾数 0 表示确诊为“良性” ，1 表示确诊为“恶性” ，数据已经归一化为 0 到 10 之间的自然数。 1.3 需要解决的问题 问题一：根据以上数据，请提出一种或多种判别乳腺肿瘤属于“良性” 还 是 “恶性”的方法，并检验你提出的方法的正确性。 问题二：现有一组乳腺肿瘤患者的九个指标数据如下，请你按照你在问题一 中提出的方法分别判别属于“良性”还是“恶性” 。具体数据见附录二。 问题三：试确定哪些指标是区分乳腺肿瘤是“良性”还是“恶性”的主要指 标，请采用主要指标建立区分“良性”和“恶性” 乳腺肿瘤的模型，以便用于 乳腺肿瘤的辅助诊断时可以减少化验的指标。
因而，多元回归分析法的精确度并不高，不能较好地满足题目的要求，因而换用 其他的数学模型 。 乳腺癌的数学诊断同属于判别分析问题，再次建立 Fisher 模型求解。根据 已知的多元回归关系的数据，利用 Matlab 编程找出其判别函数。利用判别函数 的最优性质，就能对乳腺肿瘤是良性还恶性进行判断。同样将检测样本代入判别 函数中分析，得出正确率为 96.43%，因而此种程序能较好的满足题目的要求。 4.2 问题二的分析 问题二要求利用问题一提出的方法， 对附录二中的乳腺肿瘤属于良性还是恶 性进行判断。在 Fisher 模型中即为对于一个新样本，能判定这个样本归属于哪 一类。只需将数据输入，代入判别函数与 0、1 进行比较就可得出肿瘤的是属于 良性还是恶性。 4.3 问题三的分析 问题三要求确定区分乳腺肿瘤是良性还是恶性的主要指标， 以便用于乳腺肿 瘤的辅助诊断时可以减少化验的指标。 即是要求九个变量之间相关关系研究的基 础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，并且使这些较少的新变量尽可能多 地保留原来较多的变量所反映的信息。我们将建立利用 Spss 软件的主要成分分 析模型，利用 Matlab 计算得出其相关系数，取出其中相关度较高的四项作为研 究的指标。然后利用 Fisher 模型建模，以达到减少化验指标效果。
y = 0 +1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6 7 x7 8 x8 9 x9
其中： y 为因变量 ， x1, x2, x3....., x9 为自变量， 0, 1.....9 为待估参数， 为随 机误差项。 对于 n 组实际观察数据（ yi , xi1, xi 2...... xi 7 ） ， （5 0 i ,. .., 2 ,1 ） ，由上式得：
i 1 50 50
ˆi y )2 SSR ( y
i 1
SSR SST 经过 matlab 编程算得 R= 0.8707。R 接近于 1，则他们相关,即线性回归方 程正确。 R
将检测样本代入回归方程中检验得出： 表 2：多元回归分析模型检验结果表
病例号 结果 病例号 结果 病例号 结果 病例号 结果 3 5 7 8 10 11 12
1 1 1 1 1
裸核 2 7 2 3
单层上皮细 温和的染 良性 （或 有丝分裂 正常的核仁 胞的大小 色质 恶性） 1 10 2 4 3 3 3 3 1 2 1 7 1 1 1 1
0 0 0 0
5.2 利用计算机的随机排列对数据进行处理 在此题中我们把 78 组数据中的 50 组去建模， 而把剩下的 28 组去进行模型 的检验。因此需要我们利用计算机随机排列这 78 组数据，然后选取其中前 50 组数据建模，以增强模型的说服力和随机性。 （计算机排列的源程序见附录三） 6.问题一的解答 针对问题一，我们建立多元回归分析模型和 Fisher 模型。 6.1.1 多元回归模型的建立 考虑一次线性回归模型，从整体中随机（源程序见附录三）的选取 50 组病 例作为研究的样本，以文中所给的各项指标 xi 为自变量，肿瘤的性质为因变量， （因变量用 y 表示，当 y 1时，表示恶性；当 y 0 时，表示良性） 。得出多元线 性回归的一般形式为：
良性
13
良性
15
良性
16
良性
18
良性
20
良性
30
良性
32 恶性 59
良性
33
恶性
38
恶性
40
良性
42
良性
49
良性
58
良性
63
良性
64
良性
65
恶性
66
恶性
68
恶性
71
恶性
78
恶性
良性
良性
良性
恶性
恶性
良性
根据题目的已知信息与检验结果进行比较， 得出 13 组和 38 组检验结果出错， 即运用所求的线性回归方程的检验方法与实际情况存在一定的误差， 也就是说运 用一次线性回归模型检验是存在误差的，其误判率大约为 q 2 / 28 7.14% ，误 判率较高。因而可采用其他方法来进行判断，从而减少误判率。
yi 0 1 x1i 2 x2i 3 x3i 4 x4i 5 x5i 6 x6i 7 x7 i 8 x8i 9 x9i
根据上式多元线性回归模型可表示为：
y1 0 1 x11 + 2 x21 ... 9 x91 y x + x ... x 2 0 1 12 2 22 9 92 ...... yn 0 1 x1n 3 x2 n ... 9 x9 n