4—简单的线性规划、基本不等式

4—简单的线性规划、基本不等式

知识块一：求目标函数的最值

归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数.

角度一：求线性目标函数的最值

1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，

3x －y －5≥0，

则z ＝2x －y 的最大值为( )

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2

解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.

2．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤1，x －y －1≤0，

x ＋y －1≥0，

则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________.

解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1.

答案：1

角度二：求非线性目标的最值

3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，

3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM

斜率的最小值为( )

A ．2

B ．1

C ．－1

3

D ．－12

解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得

A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13

.

4．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2y －x ≤2，

y ≥1，

则x 2＋y 2

的取值范围是( )

A ．[1,2]

B ．[1,4]

C ．[2，2]

D ．[2,4]

解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2

＋y 2

表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为

AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．

角度三：求线性规划中的参数

5．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，

y ≥0，

且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )

A ．2

B ．－2

D ．－1

2

解析：选D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，

y ≥0

的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行

域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．

当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．

当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2k

，0，C (0,2)所围成的三角形区域，

当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.

6．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，

2x －y ＋2≥0.

若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值

为( )

或－1 B ．2或1

2

C ．2或1

D ．2或－1

解析：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B

或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.

法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.

一、选择题

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)

C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.

2．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋|y |≤1，

x ≥0，

则z ＝OA ·OP 的

最大值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

解析：选D 如图作可行域，

z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D. 3．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥0，y ≥x ，

x ＋y ≤4

上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分

为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆

的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫422

＝4π，故选D.