平衡问题-静态平衡

最小时，B、C 两弹簧的形变量之比为
()
A．1∶1
B．3∶5
C．4∶3
D．5∶4
解析：以小球 m1 和 m2 整体为研究对象，受力分析如图所示，由 图可知， 当 FC 与 FB 垂直时，FC 最小， 此时FFBC＝tan137°＝43， 再由 FB＝kxB，FC＝kxC 可得：xxBC＝43，C 正确。 答案：C
＝
mgtan
θ
，
解
得
q d
＝
mgtan k
θ，选项
B
错误，C
正确；由受力分析可知，斜面对
小球的支持力不可能为 0，选项 D 错误。
答案：AC
1．(2013·山东高考)如图 1-1-2 所示，
用完全相同的轻弹簧 A、B、C 将
两个相同的小球连接并悬挂，小
球处于静止状态，弹簧 A 与竖直
方向的夹角为 30°，弹簧 C 水平，
ห้องสมุดไป่ตู้
[2008年高考四川延考卷·21·]两个可视为质点的小球a和b，用质量 可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。 己知小球a和b的质量之比为 3，细杆长度是球面半径的 2倍。两 球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 ( )
A．45° B．30° C．22.5 D．15°
对a、b分别受力分析，将三个力归结到三角形Oac与Obc 中，由牛顿第三定律可设两球受到杆的作用力大小Nac=Nbc， 依题意可知，ab 2oa 2oc 故三角形Oab为等腰直角三角形。
④
从初始位置到最大速度位置，根据动能定理
IaB L sin mg L1 cos 1 mv2
⑤
2
④⑤联立解得 v=1m/s
2.物体平衡问题分类及解题思路
a．在重力场中的平衡
(1)分类 b．在电场、磁场中的平衡 c．在重力场、电场和磁场的复合场中的平衡
(2)解题方法： 三力平衡
单体 多力平衡
直角三角形
2、在复合场中,带电粒子在重力或电场力、磁场力及其他 力作用下，处于静止或匀速直线运动状态。 3、在复合场中,通电导体在重力和安培力及其他力作用下， 处于静止或匀速直线运动状态，尤其是通电导体的动态平 衡问题。
二.知识概要与方法
1. 共点力作用下物体的平衡
(1) 平衡条件：合外力为零, 即 F合=0 (2) 平衡条件的推论： 当物体处于平衡状态时,它所受的某 一个力与它所受的其余力的合力大小相等,方向相反. (3) 三力汇交原理：物体在作用线共面的三个非平行力作 用下,处于平衡状态时,这三个力的作用线交于一点.
可设∠aOc=90°－∠bOc=α，根据矢量三角形定则及正弦定理可得：
3mg Nac
sin 450 sin
mg sin 450
Nbc
sin(900 )
O b
ac
解得α=30°，由几何关系可得θ=15° 。
如图所示,一个重力为mg的小环套在竖直的半径为r的光滑
大圆环上,一劲度系数为k,自然长度为L(L<2r)弹簧的一端
T
mg cos 60
2m g
T cos 30 T cos 60 3 2
T 2T
O T' B F TA A 乙 mg
mg
[多选](2014·浙江高考)如图所示，水平
地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与
水平面的夹角为 θ。一根轻质绝缘细线
的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球 A，细线与斜面
C．3 mg , 1 mg
42
D． 1 mg , 3 mg
24
m
（2011江苏）如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的
对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度
为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹
力的大小为
（ A）
A．2 sming
B．2cmogs C．1 mg tan
2
D．12 mgco t
（2）铜棒在摆动过程中的最大速率(结果保留一位有效 数字)．
解析：（1）从初始位置到最大摆角位置，根据动能定理
IaB L sin 60 0 mg L 1 cos 60 0 0 ①
代入数据解得 I= 2 3A
②
（2）当铜棒具有最大速度时，设铜线与竖直夹角为θ，
tan IaB
③
mg
②③代入数据解得 300
解：B端移到B1 、B2位置，挂钩将分别移动到C1 、
C2位置，如图示：
B1
由于绳长不变，由几何关系知， 夹角∠ACB不变，绳子张力保持 不变。
A C1
C2
B B2
B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时,
由于绳长不变，夹角∠ACB变小，
绳子张力变小
AC
BB
（03全国）如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口
θθ R
O
均可以忽略，问两个小圆环分
别在哪些位置时，系统可处于
平衡状态？
m
m
【解】(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重
物速度为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h，
由机械能守恒定律得:
TN
M g h = 2m g ( h 2 + (R sin θ)2 - R sin θ) 解得 h = 2R （另解h=0舍去）
C αα θθ R T O
(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能
位置为:
T
a．两小环同时位于大圆环的底端． b．两小环同时位于大圆环的顶端．
m
m
mg
c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆
环的底端．
d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能
平衡，则
两小圆环的位置一定关于大圆环竖直
对称轴对称．设平衡时，两小圆环在 大圆环竖直对称轴两侧α角的位置上(如 图所示)．对于重物m，受绳子拉力T与 重力mg作用，有:T=mg 对于小圆环， 受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、 竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N. 两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大 小相等，方向相反 Tsinα=Tsinα/ 得
解三角形
正弦定理
斜三角形 余弦定理
正交分解
相似三角形
连接体
整体法 隔离法
（04广东广西）用三根轻绳将质量为m的物块悬
挂在空中,如图所示。已知ac和bc与竖直方向的夹
角分别为300和600，则ac绳和bc绳中的拉力分别
为 （
A
）
A． 3 mg , 1 mg
22
B． 1 mg ,
2
3 mg 2
a
b c
A．b点场强 B．c点场强 C．b点电势 D．c点电势
如图所示，质量为60g的铜棒长为a=20cm，棒的两端与 长为L=30cm的细软铜线相连，吊在磁感应强度B=0.5T、 方向竖直向上的匀强磁场中．当棒中通过恒定电流I后， 铜棒向上摆动，最大偏角θ=60°，g取10m/s2，求： （1）铜棒中电流I的大小．
0
C．当qd＝
mg
tan k
θ时，细线上的拉力为
0
D．当qd＝
k
mg tan
θ时，斜面对小球
A
的支持力为
0
如图，质量为 M 的楔形物块静置在水平地面上，其斜面
的倾角为 θ．斜面上有一质量为 m 的小物块，小物块与
斜面之间存在摩擦．用恒力 F 沿斜面向上拉小物块，使
之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持
水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根
细线跨过碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小
球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连
A 线与水平线的夹角为α=600。两小球的质量比 m2 为 m1
3
A. 3
B. 2
3
C. 3 D. 2
2
2
如图，OA、OB是两根轻绳，AB是轻杆，它们构
的两端都系上质量为M的重物,忽略小圆环的大小.(1)将两个小圆环
固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=300的位置上(如图).在两个小圆环
间的绳子的中点C处,挂上一个质量M= m2的重物,使两个小圆环间的
绳子水平,然后无初速释放重物M,设绳子与大、小圆环间的摩擦均
可忽略,求重物M下降的最大距
C
离.(2)若不挂重物M，小圆环 可以在大圆环上自由移动，且 绳子与大、小圆环之间的摩擦
A
φFy Oф x
mN mg 2ф
解得 arccos kL
2(kr mg)
请练习用相似比法求解: 力F、N、mg构成首尾相连的三
角形,与三角形AOm相似,对应边成比例.
如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服
的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两
根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态．如果
图 1-1-2
则弹簧 A、C 的伸长量之比为
()
A. 3∶4
B．4∶ 3
C．1∶2
D．2∶1
解析：将两小球及弹簧 B 视为一个整体系统，该系统水平方向 受力平衡，故有 kΔxAsin 30°＝kΔxC，可得 ΔxA∶ΔxC＝2∶1，D 项正确。 答案：D
2．(2014·豫东、豫北十校联考)轻质弹簧 A
平行。小球 A 的质量为 m、电量为 q。小球 A 的右侧固定放置带等
量同种电荷的小球 B，两球心的高度相同、间距为 d。静电力常量为
k，重力加速度为 g，两带电小球可视为点电荷。小球 A 静止在斜面
上，则
()
A．小球 A 与 B 之间库仑力的大小为kdq22
B．当qd＝
mg
sin k
θ时，细线上的拉力为
2.哪些情况可作平衡来处理
（1）静止：v=0，a=0；
（2）匀速直线运动：v =恒量，a=0；
（3）匀速转动：ω=恒量；切向加速度 a 0
说明：对平衡条件的理解 ∑F=0 a=0
（2004江苏)如图所示,半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面
内,两个轻质小圆环套在大圆环上,一根轻质长绳穿过两个小圆环,它
保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位
置。下列判断正确的是 ( A D ) A．B端移到B1位置时，绳子张力不变 B．B端移到B2位置时，绳子张力变小 C．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时,
绳子张力变大 D．B端在杆上位置不动，将杆移 动到虚线位置时，绳子张力变小 A
B1 B B2
解见下页
α=α/, 而α＋α/=900，所以α=450。
TN C α αα R T O
T
m
m
mg
如图所示，水平固定的小圆盘A，带电荷量为 Q，电势为 零，从盘心处O由静止释放一质量为m，带电荷量为＋q 的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘 中心竖直线上的c点，Oc＝h，又知道过竖直线上的b点时， 小球速度最大，由此可知在Q所形成的电场中，可以确定 的物理量是（AD ）
平衡类问题
2020/11/23
一.命题趋向与考点
物体的平衡、平衡条件及其运用历来是高考的热点， 它不仅涉及力学中共点力平衡，还常常涉及带电粒子在电 磁场或复合场中的运动平衡问题。近几年的高考题中有运 用平衡条件进行判断的选择题，也有运用平衡条件结合其 他知识进行求解的论述题。
1、在重力场中,物体在重力、弹力、摩擦力及其他力作用 下，处于静止或匀速直线运动状态，求其中某些力的大小， 特别是摩擦力求解较多。
的两端分别连在质量为 m1 和 m2 的小球
上，两球均可视为质点。另有两根与 A 图 1-1-5
完全相同的轻质弹簧 B、C 的一端分别与两个小球相连，B 的另
一端固定在天花板上，C 的另一端用手牵住，如图 1-1-5 所示。
适当调节手的高度与用力的方向，保持 B 弹簧轴线跟竖直方向夹
角为 37°不变(已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，当弹簧 C 的拉力
静止．地面对楔形物块的支持力
（）
A．（M＋m）g
B．（M＋m）g－F
C．（M＋m）g＋Fsinθ
D．（M＋m）g－Fsinθ
F
m
M
θ
解析：根据库仑定律可得两小球之间的库仑力大小为 F＝kdq22，
选项 A 正确；当细线上的拉力为 0 时，小球 A 受到库仑力、斜
面
支
持
力
、
重
力
，
由
平
衡
条
件
得
kq2 d2
固定在小环上,另一端固定在大圆环的最高点A.当小环静
止时,略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦.求弹簧与
竖解直: 小方环向受之重间力的m夹g、角大φ.圆环的支持力N、弹簧
的拉力F的作用,显然, F k(2r cos L)
运用正交分解法
Fx 0, F sin N sin 2 0
FFyy0,0, FFcocsosmgmgNcoNs 2cos20 0
成一个正三角形，在A、B两处分别固定质量均为m
的小球，此装置悬挂在O点，开始时装置自然下垂，
现对小球B施加一个水平力F，使装置静止在图乙所
示的位置，此时OA竖直，设在图甲所示的状态下
OB对小球B的作用力大小为T，在图乙所示的状态
下OB对小球B的作用力大小为T/ ，下列判断正确的
是
（ C）
A．T' = 2T
B．T' > 2 T
O
O BF
C．T' < 2T
A
D．条件不足，无法比较
甲
BA
乙
T 和T′的大小关系
解见下页
解:
在图甲状态分析B球受力如图示，由平衡条件 mg
O
T
T cos 30 在图乙状态分析A球受力如图示， AB
A甲
BN
轻杆对A球无作用力，由平衡条件
mg
TA =mg
在图乙状态分析B球受力如图示，由平衡条件