广义相对论的基本原理

广义相对论的基本原理
爱因斯坦提出马赫原理、广义协变性原理和等效原理作为广义相对论的基本原理。

他采用弯曲时空的黎曼几何来描述引力场，给出引力场中的物理规律，进而提出引力场方程，奠定了广义相对论的理论基础。

1、1马赫原理
狭义相对论完全废除了以太概念，即电磁运动的绝对空间，但却仍然没有对经典力学把绝对空间当作世界的绝对惯性结构的理由做出解释，也没有为具有绝对惯性结构的力学提供新的替换。

也就是说，惯性系的存在，对于力学和电磁学都是必不可少的。

狭义相对论紧紧地依赖于惯性参考系，它们是一切非加速度的标准；它们使一切物理定律的形式表达实现了最简化。

惯性系的这种特权在很长时间里保持着一种神秘性。

为了满足狭义相对论而修改牛顿引力（平方反比）理论的失败，导致了广义相对论的兴起。

爱因斯坦是出于一种哲学欲望才把绝对空间彻底地从物理学中清除出去的。

自一开始，狭义相对论就把惯性系当作一种当然的存在。

可能，爱因斯坦本来也不反对在狭义相对论基础上建立的引力论。

由此，爱因斯坦不得不超越狭义相对论。

在这一工作中，他十分诚恳地反复强调，他得益于物理学家兼哲学家马赫的思想。

爱因斯坦说：“没有人能够否认，那些认识论的理论家们曾为这一发展铺平了道路；从我自己来说，我至少知道：我曾经直接地或间接地特别从休漠和马赫那里受到莫大的启发。

”爱因斯坦建立广义相对论的一个重要思想是认为时间和空间的几何不能先验地给定，而应当由物质及其运动所决定。

这个思想直接导致用黎曼几何来描述存在引力场的时间和空间，并成为写下引力场方程的依据。

爱因斯坦的这一思想是从物理学家和哲学家马赫对牛顿的绝对空间观念以及牛顿的整个体系的批判中汲取而来的。

爱因斯坦把这一思想称为马赫原理。

马赫原理早在17世纪就已经有了萌芽。

马赫的惯性思想包括四个方面的内容：（1）空间本身并不是一种“事物”，它纯粹是物质间距离关系总体的抽象。

（2）粒子的惯性是由这个粒子与宇宙中所有其他物质的相互作用造成的。

（3）局部的非加速度标准决定于宇宙中所有物质的平均运动。

（4）力学中的所有物质都与所有物质存在相对运动。

由此，马赫写道：“……如果我们认为地球在绕轴自转或处于静止状态，同时恒星在围绕着它公转，这都没有关系……惯性定律必定能证明，第二个假设和第一个假设得出的结果是精确地一致的。

”我们说地球在“自旋”，自旋的弹性球在赤道上会凸起来。

但是，弹性球是怎么“知道”自旋必然导致凸起的呢？对于这个问题，牛顿的回答是，它“感受”到了绝对空间的运动；马赫的回答则是，变凸的弹性球“感受”到了宇宙物质在围绕它转。

对于牛顿来说，相对于绝对空间的旋转产生离心力。

这种离心力完全不同于万有引力。

对于马赫来说，离心力也是引力。

它是由物质与物质之间的作用引起的。

爱因斯坦在走向广义相对论的进程中，曾经推测牛顿的平方反比理论可能与完全的引力理论存在许多差异。

1953年，夏马（D．W．Sciama）复活并推广了19世纪天体力学家、勒维烈的学生提泽兰（F．Tisserand，1845～1896）的一种麦克斯韦式的引力理论。

并且发现，它大大地包括了马赫原理：惯性力对应于宇宙的引力“辐射场”，并与距离的一次方成反比。

然而，不幸的是，这种理论在其他方面严重违背相对论。

比如，在狭义相对论中，质量是随速度变化的；在麦克斯韦理论中，电荷却是不变的。

还有，因为E＝mc2的关系式，物体的引力束缚能具有（负的）质量；这样，系统的总质量不可能等于部分的质量之和；而麦克斯韦理论中电荷（类比于质量）却是严格增加的。

爱因斯坦的广义相对论对惯性问题的解决，比麦克斯韦理论要复杂得多。

然而，在“一级近似”上，它可化为牛顿理论；在“二级近似”上它则具有麦克斯韦特征。

1、2 等效原理
等效原理是广义相对论最重要的基本原理。

这个原理的实验依据是由匈牙利物理学家厄缶（R ．von ）所做的著名的厄缶实验精确证明的引力质量和惯性质量的等价性。

所谓惯性质量，是指由牛顿第二定律F ＝ma 所决定的物体在一定力的作用下获得加速度时的那种质量，它是物体惯性大小的量度。

而引力质量则是指由万有引力定律221r
m m G F 所决定的表征物体吸引能力大小的那种质量。

对这一事实，经典力学只能承认它，但不能解释它。

爱因斯坦认为，惯性质量和引力质量的定义是完全不同的，但它们的数值却完全相同，这绝不是偶然的，其中必有更深一层的理由。

只有把这种相等都归结为两个概念的真正本质上的相同之后，科学才有充分理由来规定这种数值上的相等。

等效原理的得出是通过爱因斯坦升降机一个思想实验完成的。

让一个观察者登上一个密闭的电梯，则下述过程是人所共知的：当电梯静止时，观察者受到地球引力场的作用，他的脚对地板的压力等于他的体重，即等于mg ；当电梯向上以加速度a 开动时，他感到脚下的压力增大，即自己的体重增加了，变为m （g ＋a ）；当电梯又以匀速运动上升时，情况又恢复正常，即他对地板的压力又恢复为mg ；当上升的电梯欲停止时，在减速过程中，他感到脚下压力减轻，即自己的体重变为m （g －a ）。

这样一个过程，对于电梯内的观察者而言，他虽然感觉不到自身的运动，但能感觉到作用力的变化，他可以认为，电梯开动时加速度的效应，等价于地球引力场的增加，而欲停止时的减速效应则等价于地球引力场的削弱。

由此，一个加速度为a 的参考系（电梯）即非惯性系等价于一个静止参考系（地球）即惯性系内存在一个附加的强度为a 的均匀引力场。

这种等价性意味着两者在物理观察上的不可分辨性。

考虑下列情况，其意义则更加明显：封闭在电梯中的观察者无论如何是判断不出他是处在一个以加速度g 向上运动的非惯性系中，还是处于一个内部有强度为g 的引力场的惯性系中，因为他所感觉的物理效应都是地板对他的支持力为mg 。

总之，对于观察者来说，用一个非惯性系S ′，与用内部存在均匀引力场的惯性系S 来描述的物理过程的规律，是完全等效的，这就是所谓的等效原理。

爱因斯坦认为，这个等价性的重要推论是：在自由下落的升降机里，由于升降机以及其中所有的仪器都以同样的加速度下降，因而无法检验外引力场的效应。

换句话说，自由下落升降机的惯性力和引力互相抵消了。

不过，在真实的引力场和惯性力场之间并不存在严格的相消。

比如，真实的引力场会引起潮汐现象，而惯性力场却并不导致这种效应。

但是，在自由下落的升降机里，除开引力以外，一切自然定律都保持着在狭义相对论中的形式。

事实上，这正是真实引力场的重要本质。

如果把自由下落的升降机称为局部惯性系，那么，等效原理就可以比较严格地叙述为：在真实引力场中的每一时空点，都存在着一类局部惯性系，其中除引力以外的自然定律和狭义相对论中的完全相同。

接着爱因斯坦认识到，惯性质量同引力质量相等，这意味着引力场加给物体的加速度与物体的本性无关，因为引力场间的牛顿方程为：惯性质量×加速度＝引力强度×引力质量。

由此方程可知，只有当惯性质量同引力质量相等时，加速度才同物质的本性无关，而在引力场中的同一地点，一切物体的加速度都是相同的，它同物体的本性无关。

1、3 广义协变原理
爱因斯坦认为运动的相对性原理必须进一步推广，即自然定律对于任何参考系而言都应具有相同的数学形式。

这一思想被爱因斯坦提升为广义相对论的一条基本原理——广义协变原理。

广义协变原理的结论是：物理定律必然在任意参照系下，都具有相同的形式。

这就是
说，它们必须在任意坐标系的变换下，保持形式不变。

接着，爱因斯坦又利用等效性原理与广义协变原理通过纯理论方式考察了引力场的性
质。

他的思路是这样的：先假定已知惯性系S中某一物理过程的时空进程，根据广义协变
原理，由于物理规律的不变性，即可推知相对S做加速运动的参照系S′中的物理过程的时
空进程，再根据等效性原理，S′中必然存在有一个引力场。

因此，可以利用从理论上考察那
些惯性系中的物理过程，获得关于引力场中物理过程的进程。

此时，引力场对物理过程的影
响就全部弄清楚了。

等效原理及广义协变原理表明，在自然过程面前，惯性系不具有任何特
殊的地位。

令人惊叹的是，这一重要结论的得出又是那样的自然与简单。

爱因斯坦以他那一
贯思考问题的方式，即只是从普通的经验与常见的事实出发，通过严密的思考，其间没有掺
杂任何复杂的东西，最后得出令人惊奇的结论，其过程确实绝妙无比。

爱因斯坦也认为产生
等效性原理的想法是他“一生中最令人愉快的思维”。

2、弯曲时空
如果一个矢量从一点平行移动到另一点的结果与连接这两点所选取的路径有关，我们就
说空间是弯曲的。

如果一个被移动的矢量恰好在移动路径的某点处与该路径相切，则平行移
动这一性质是否能在沿该路径移动的全过程中都保持下来取决于所选的路径。

如果保持下
来，就说这条路径是自平行曲线。

对于一个确定的点和一个确定的方向，总是精确地存在一
条自平行曲线，它沿所给定的方向通过该给定的点。

在球面上，大圆就是自平行曲线。

在平
直空间中，自平行曲线是直线。

如果由一点平行移动到另一点的结果依赖于所连接的路径的
选择，那么从一点出发沿一闭合路径平行移动1周回到出发点所得到的矢量会与出发时的矢
量不同。

由于矢量的大小在平行移动的过程中保持不变，沿闭合路径平行移动最多只能使矢
量产生转动而没有伸缩。

如果一组矢量沿闭合路径一起移动，整个矢量组将作为一个固定的
位形整体转动，而矢量之间的夹角不变。

在多维空间中，考虑到取向，曲率就变得复杂了。

将曲率看作是空间的局域性质，即
与空间中任一给定点邻近的区域性质，人们就只需考虑在这一个小区域中的小闭圈上进行平
行移动。

如果闭圈足够小，则一个矢量沿闭圈平行移动1周所转动的角度正比于这个闭圈所
包围的面积。

而与路径的形状无关。

因此，曲率的适当的测量是绕行单位面积所转的角度。

但是，这种测量与闭圈所回的面的取向有关，这种取向可以方便地由切于这个面的2个线性
方向来描述。

在四维连续统中，如时空流形中，对于二维曲面而言，存在6个独立的可能取
向，这指的是任何可能的取向可以由这6个基本取向构造出来。

在闵可夫斯基时空中，用标
准的洛伦兹参考系描述，这6个基本取向就是4个坐标轴的方向的所有可能组合所形成的：（xy），（yz），（zx），（xt），（yt）及（zt）。

除了由闭圈所围面积的取向外，转角还依赖于被
移动的矢量的方向。

不同的矢量绕行同一闭圈1周后所发生的大小和方向的改变并不是相互
独立的，而是作为一个坚固的整体一起转动。

在四维连续统中，也有6个基本的独立的刚体
转动方式，其他转动方式可由这6个基本方式构造出来。

看来似乎要有6 ×6＝36个基本
的曲率分量与所有可能的移动路径的闭圈的取向及所有可能的几个矢量整体作为刚体转动
的方式相对应。

曲率的实际的独立分量数是20，它比36小的原因是由于一些进一步的考虑。

在四维时空中，曲率的20个分量可分为2组、每组10个，分
组的方法与坐标系的选择无关。

这两组中的第一组关系到在一曲面
上平行移动的那些矢量的转动，曲面是由转动的矢量与另一固定的
矢量所张成的，这组分量通常称为里奇张量（Ricci tensor），是以意
大利数学家里奇（Ricci）的名字命名的。

将这些分量稍作重新安排，
里奇张量又可称为爱因斯坦矢量。

另外10个分量形成第二组，称为
魏尔张量，以德国出生的数学家魏尔（Weyl Hermann，1885～1955）
图9-6为晚年时的爱因斯坦
在工作
的名字命名。

全部的曲率分量总称为黎曼—克里斯托费尔曲率张量（Riemann-Christoffel curvature tensor），以纪念两位数学家——德国人黎曼（Riemann Bernhard，1826～1866）和瑞士的克里斯托费尔（Christoffel）。

有了弯曲空间的概念，就可以描述和解释爱因斯坦的引力理论了。