matlab入门经典教程--第四章 数值计算
Matlab第4章 数值运算基础
【例4-4】求多项式3x^2+2x+1在5、7和9处的值。
p = [3 2 1]; polyval(p,[5 7 9])
y=polyvalm(p,x) 将矩阵整体（而不是矩阵元素） 作为自变量进行计算。p是多项式的系数向量； 相当于用矩阵x代替多项式的变量对矩阵而不 是对数组进行计算，x必须是方阵
P [a0
a1 ...
an
]
注意：多项式中缺少的幂次系数一 定要用“0”补齐。
物理与电气工程学院 2
一、创建多项式
1、系数矢量直接输入法 在命令窗口直接输入多式的系数向量
【例4-1】输入系数矢量，创建多项式 x^3-4*x^2+3*x+2。 p=[1 -4 3 2] poly2sym(p) %将矢量P表示为多项式的手写形式 Polynomial coefficient vector to symbolic polynominal
13
b(x) 5x^3+3x^2-2x+7
【例3-11】两多项式的比为—— = ————————,
a(x)
求部分分式展开。
-4x^3+8x+3
a = [-4 0 8 3]; b = [ 5 3 -2 7]; [r, p, k] = residue(b,a) [b1,a1] = residue(r,p,k) %分母最高次项归1 [r2,p2,k2] = residue([1 1],[1 -2 1]) %出现重根
3、根矢量创建
p=poly(A) A为待求多项式的根 矢量，则返回值将 是对应多项式的系 数行矢量，该多项 式的根为矢量A。此 时 p=poly(A) 与 A=roots(p)互逆。系 统定义P0=1。 A＝[x1 x2 x3] p=[1 p1 p2 p3]
MATLAB科学计算软件入门教程
MATLAB科学计算软件入门教程第一章：MATLAB基础知识MATLAB是一种专业的科学计算软件，具有强大的数学计算和数据分析能力。
在使用MATLAB进行科学计算前，我们需要先了解一些基本知识。
1.1 MATLAB界面打开MATLAB后，我们会看到一个主界面。
主界面中有命令窗口、当前文件夹窗口、工作空间窗口和编辑器窗口等基本功能区域。
1.2 MATLAB变量和数据类型MATLAB中的变量可以用来存储各种类型的数据，如数字、字符串、矩阵等。
常见的数据类型包括：double（双精度浮点数）、char（字符）、logical（逻辑值）等。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB中，可以使用基本的数学运算符进行加、减、乘、除等计算操作。
另外，还可以通过内置函数实现更复杂的数学运算。
例如，sin函数可以计算正弦值，sum函数可以计算矩阵元素的和等。
第二章：MATLAB矩阵和向量操作2.1 创建矩阵和向量在MATLAB中，可以使用方括号来创建矩阵和向量。
例如，使用[1，2；3，4]可以创建一个2x2的矩阵。
2.2 矩阵和向量的加减乘除运算MATLAB提供了丰富的矩阵和向量运算函数，可以进行加法、减法、乘法、除法等运算操作。
例如，可以使用矩阵相乘函数*来计算矩阵的乘法。
2.3 矩阵和向量的索引和切片在MATLAB中，可以使用索引和切片操作来获取矩阵和向量中的特定元素或子集。
例如，使用矩阵名加上行和列的索引可以获取矩阵中指定位置的元素。
第三章：MATLAB数据可视化3.1 绘制二维图形MATLAB提供了丰富的绘图函数，可以绘制二维曲线、散点图、柱状图、等高线图等。
例如，可以使用plot函数来绘制二维曲线。
3.2 绘制三维图形MATLAB还可以绘制三维图形，如三维曲线、三维散点图、三维曲面等。
例如，可以使用plot3函数来绘制三维曲线。
3.3 图像处理与显示MATLAB提供了图像处理和显示的函数，可以加载、编辑和保存图像。
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
MATLAB的数值计算
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
a./b=b.\a a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元 素除 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
—— 给出a,b对应元素间的商.
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z = 1.00 4.00 9.00 z=a.^b z = 1.00 32.00 729.00
对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150
2. 数组乘除(，./，.\） ab —— a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10]; a.*b ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90
MATLAB基础及其应用教程 第4章 数值计算
方程ax=b(a为非奇异) x= a-1b 矩阵逆
* 两种解: x=inv(a)b — 采用求逆运算解方程 x=a\b — 采用左除运算解方程
2xx11
2x2 3x2
8 13
1 2方程ax=b2 3 x1 x2
8 13
a=[1 2;2 3];b=[8;13]; x=inv(a)*b
4.5 代数方程求解
matlab中有两种除运算左除和右除。 对于方程ax=b，a 为an×m矩阵，有三种情况：
当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当n>m时，此方程成为“超定”方程 当n<m时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程
1、恰定方程组的解
• 其中，odefun表示函数句柄，可以是函数文件名、匿名函数句柄或内联函数名； • tspan表示区间[t0 tf]或者一系列离散点[t0,t1,...,tf]； • y0表示初始值向量； • T表示返回列向量的时间点； • Y表示返回对应T的求解列向量。
例 求解微分方程 x x2 1 x x 0 3
>>plot(t,x), figure(2),plot(x(:,1),x(:,2)) %绘制x的变化以0及轨迹
-1
-2
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
为什么矩阵在数值计算值中那么重 要?
与基本计算相比，数值计算增加了 哪些计算功能？
说明用于曲线拟合的最小二乘法原 理。
例 >>p=[1 -5 -4 3 -2 1];
>>y=poly2sym(p) y= x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-2*x+1 >> y=poly2str(p,'x') y=
Matlab学习指导第四章 数值计算
2x1-x2-x3=4
3x1+4x2-2x3=11 3x1-2x2+4x3=11
A=[ 2,-1,-1 ; 3,4,-2; 3,-2,4 ]; b=[4; 11; 11]; det(A), rank(A), rank([A,b]) x=A\b
方程组的解的三种情况:
对于方程Ax=b, A为Am×n矩阵,有三种情况: 当m=n时,此方程成为"恰定"方程,求解精确解 当m>n时,此方程成为“超定”方程,寻求最小二乘解 (直线拟
合)
1) 恰定方程组的解
当m<n时,此方程成为"欠定"方程,寻求基本解 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程 x = 方程组Ax=b (A非奇异)，解为x=A\b 例4.2.1-2 求下列方程组的解 3.00 1.00 1.00
通俗地讲, 拟合就是由已知点得到一条曲线, 使该曲线 最能反映点所代表的规律.比如做欧姆定理的实验的时 候,由于实验中存在误差,最后拟合得到的曲线是一条 直线,而且肯定只有部分点落在拟合的直线上,但此时 该直线和测试点的方差最小.由拟合直线的斜率就可以 知道电阻的阻值.拟合是探测事物变化规律的办法. 插值就是根据函数上某些已知点(或实验数据),按一定 规律(插值方法)寻求未知的点,比如已知一个常用对数 y=log(x)表,是按照x=0.1:0.1:10制表的,如果按已知数 据求y=log(2.897)就可以用插值得到.表制得越密,插值 越准确．
16
对于方程组Ax=b, 采用x=A\b计算，如果方程组为yC=d, 要使用右除，即指令为y=d/C
Ax=bx'A'=b'yC=d x=A\bx'=b'/A'y=d/C 例4.2.1-1 解下列方程组 2x1+2x2+3x3=3
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算在科学计算领域，MATLAB被广泛应用于数值计算，它提供了强大而简便的工具和函数，可以帮助科学家们进行复杂的数学计算和数据分析。
本文将介绍如何在MATLAB中进行数值计算，并探讨一些常用的技巧和技术。
MATLAB中的数值计算是通过矩阵和向量运算来实现的，因此熟悉矩阵运算和向量操作是使用MATLAB进行数值计算的关键。
首先，让我们来看看如何定义和操作矩阵和向量。
在MATLAB中，可以使用矩阵和向量来存储和操作多个数值。
矩阵是一个二维数组，而向量是一个一维数组。
通过使用方括号和逗号来定义矩阵和向量。
例如，以下是一个3x3的矩阵的定义：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];可以通过使用A(i, j)的形式来访问矩阵中的元素，其中i和j分别表示行和列的索引。
例如，要访问第二行第三列的元素，可以使用A(2, 3)。
向量可以通过类似的方式定义，只需要使用一个维度。
例如，以下是一个包含5个元素的行向量的定义：v = [1, 2, 3, 4, 5];可以使用v(i)的形式来访问向量中的元素，其中i表示索引。
例如，要访问第四个元素，可以使用v(4)。
在进行数值计算时，通常需要进行一些基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。
在MATLAB中，这些运算可以直接应用于矩阵和向量。
加法运算可以使用加号来实现。
例如，要将两个矩阵A和B相加，可以使用以下代码：C = A + B;减法运算可以使用减号来实现。
例如，要将矩阵A减去矩阵B，可以使用以下代码：D = A - B;乘法运算可以使用乘号来实现。
例如，要将矩阵A乘以矩阵B，可以使用以下代码：E = A * B;除法运算可以使用除号来实现。
例如，要将矩阵A除以矩阵B，可以使用以下代码：F = A / B;除了基本的运算，MATLAB还提供了很多其他的函数和工具箱，可以帮助进行更复杂的数值计算和数据分析。
例如，MATLAB提供了一些常用的数学函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
Matlab第四章详细讲解
v11 v21 V = v12 v22
λ 1 v11 A .v1 = λ 1 v1 = λ 1 v12
λ 2 v 21 A.v 2 = λ 2 v 2 = λ 2 v 22
A .v1
A .v 2
a11 a12 v11 v21 a11v11 + a12v12 a11v21 + a12v22 A*V = v v = a v + a v a v + a v a21 a22 12 22 21 11 22 12 21 21 22 22
2 − at
f ( t ) = (sin
t )e
−b=fzero(fun ,x0 ,option,p1,p2)
%（1）使用字符串表示被处理函数 P1=0.1;P2=0.5;
%按泛函指令要求，这里参数必须用P1,P2表示
y_C='sin(x).^2.*exp(-P1*x)-P2*abs(x)';
1、求函数的零点 （1）字符串表达式 q=quad(fun,a,b) 2、数值积分 （2）内联函数 3、解微分方程 q=quadl(fun,a,b) （3）“M函数文件”的函数句柄
[t,y]=ode45(fun ,tspan,y0)
4.3.1 求函数的零点
例：求以下函数的零点。
零点初始 猜测值
向函数fun传 递的参数
4.4 多项式和卷积
4、多项式的根
功能：计算多 项式P的根。
R=roots(P)
p1 x + p2 x
n
n −1
+ ... + pn x + p
-27 ];
MATLAB数值计算
(1)代数多项式求值
y = polyval(P,x)
若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则 对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
（2）矩阵多项式求值 Y = polyvalm(P,X)
•
polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值
设A为方阵，P代表多项式x3-5x2，那么polyvalm(P,A)的含义是： A*A*A-5*A*A 而polyval(P,A)的含义是： A.*A.*A-5*A.*A
[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)
(2) k = polyder(P,Q)
例：求有理分式的导数。 命令如下： P=[1]; Q=[1,0,5]; [p,q]=polyder(P,Q)
求两个多项式乘积P·Q的导函数
(3) [p,q] = polyder(P,Q)
求两个多项式除法P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
8. 多项式积分
例：求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S=
0.9008 n= 77
(2) 牛顿－柯特斯法
➢ method 用 于 指 定 插 值 的 方 法 ： ‘ l i n e a r ’ 、 ‘nearest’、‘cubic’、‘spline’
➢ X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会 给出“NaN”错误。
运行结果如下图所示。
代数方程
线性方程
MatLab4第四讲 数值计算
MatLab & 数学建模第四讲数值计算符号数学工具箱符号表达式的运算Numeric 符号到数值的转换Pretty 显示悦目的符号输出Subs 替代子表达式Sym 建立符号矩阵或表达式Symadd 符号加法Symdiv 符号除法Symmul 符号乘法Symop 符号运算Sympow 符号表达式的幂运算Symrat 有理近似Symsub 符号减法Symvar 求符号变量符号表达式的简化Collect 合并同类项Expand 展开Factor 因式Simple 求解最简形式Simplify 简化symsum 和级数符号多项式Charpoly 特征多项式Horner 嵌套多项式表示Numden 分子或分母的提取poly2sym 多项式向量到符号的转换sym2poly 符号到多项式向量的转换符号微积分Diff 微分Int 积分Jordan 约当标准形Taylor 泰勒级数展开符号可变精度算术Digits 设置可变精度Vpa 可变精度计算求解符号方程Compose 函数的复合Dsolve 微分方程的求解Finverse 函数逆Linsolve 齐次线性方程组的求解Solve 代数方程的求解符号线性代数Charploy 特征多项式Determ 矩阵行列式的值Eigensys 特征值和特征向量Inverse 矩阵逆Jordan 约当标准形Linsolve 齐次线性方程组的解Transpose 矩阵的转置一、方程求解求解单个代数方程MATLAB具有求解符号表达式的工具,如果表达式不是一个方程式(不含等号)，则在求解之前函数solve将表达式置成等于0。
>> solve( ' a*x^2+b*x+c ' ) % solve for the roots of the eqution ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^1/2)][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^1/2)]结果是符号向量，其元素是方程的2个解。
MATLAB教程-第4章
4.6 稀疏矩阵
本小节的主要内容包括： 稀疏矩阵与全矩阵 创建与转换稀疏矩阵 操作稀疏矩阵
4.7 小结
本章主要讲解如何在MATLAB中进行矩阵分析。矩阵运算 和分析是MATLAB的基础应用，几乎所有的高等应用都 需要使用到矩阵分析的内容。矩阵分析包括的范围很广 ，本章讲解最基本的内容
本章讲解的知识点包括： 矩阵运算 线性方程组 特征值和特征向量 矩阵分解 矩阵函数 稀疏矩阵
4.1 矩阵运算
本小节的主要内容包括： 矩阵加减运算 矩阵乘法 矩阵除法 矩阵的幂 矩阵的按位运算
4.2 线性方程组
本小节的主要内容包括： 线性方程的形式 计算矩阵行列式 计算矩阵的逆 计算条件数 计算范数 计算矩阵的秩
EVD分解 Schur分解 Cholesky分解 LU分解 QR分解 SVD分解
MATLAB函数 eig、eigs schur chol、cholinc lu、luinc qr svd、svds
4.5 矩阵函数
矩阵函数是以矩阵为参变量的函数。虽然MATLAB中有很 多函数都支持矩阵作为输入参数，但是这其中大部分是 对矩阵进行按位运算。
4.3 特征值和特征向量
MATLAB中的eig函数用于求矩阵特征值和特征向量，其调 用格式为：
D = eig(A) [V, D] = eig(A)
4.4 矩阵分解
矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单矩阵的组合，以进 行理论分析或数值计算。通常矩阵分解将复杂矩阵分解 为几个简单矩阵的乘积。下表列出了一些常用的矩阵分 解及其对应的MATLAB实现函数。
MATLAB数值计算入门教程
MATLAB数值计算入门教程第一章：MATLAB基础知识1.1 MATLAB简介MATLAB是一种用于解决科学与工程问题的高级技术计算环境。
它结合了数值分析、可视化和编程，提供了强大而灵活的工具来处理各种计算任务。
本章将介绍MATLAB的基本操作和界面。
1.2 MATLAB的安装和配置首先，我们需要下载和安装MATLAB软件。
在安装过程中，可以选择安装附带的工具箱，如统计工具箱和优化工具箱，以扩展MATLAB的功能。
安装完成后，还需进行基本配置，如设置工作目录和界面外观。
1.3 MATLAB的基本语法MATLAB使用面向向量和矩阵的语言，具有简洁而强大的语法。
本节将介绍MATLAB的基本数据类型、运算符、控制结构等。
例如，MATLAB中的向量和矩阵可以通过简单的行列运算实现。
第二章：MATLAB数值计算2.1 常用数值计算函数MATLAB提供了许多常用的数值计算函数，如求解线性方程组、插值、数值积分和微分等。
本章将介绍这些函数的使用方法，并给出实例演示。
2.2 数值计算方法数值计算方法是解决数值计算问题的核心。
本节将介绍常用的数值计算方法，如迭代法、数值求解微分方程和数值优化等。
同时，我们还会介绍MATLAB中对应的函数和工具箱。
第三章：MATLAB数据可视化3.1 绘图函数数据可视化是MATLAB的一个重要功能。
MATLAB提供了丰富的绘图函数，可以绘制二维曲线、三维曲面、散点图等。
本节将介绍这些绘图函数的使用方法，并给出实例演示。
3.2 图形操作与修改除了绘制基本图形外，MATLAB还提供了对图形进行操作与修改的函数。
例如，我们可以修改坐标轴范围、添加图例和标签，以便更好地展示和解读数据。
本节将详细介绍这些图形操作的方法。
第四章：MATLAB编程与应用4.1 MATLAB脚本和函数编写MATLAB不仅是一个交互式环境，还可以编写脚本和函数来实现更复杂的计算任务。
本节将介绍MATLAB脚本和函数的编写方法，并给出实例演示。
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算MATLAB是一种用于数值计算和科学计算的程序设计语言和环境。
它提供了各种函数和工具箱，用于处理数值计算问题，包括线性代数、数值积分、数值微分、常微分方程求解、优化、插值等。
下面将介绍如何在MATLAB中进行数值计算的基本步骤和常用函数。
首先，启动MATLAB软件，创建一个新的脚本文件（.m文件），用于编写和保存MATLAB代码。
1.数值计算基础在MATLAB中进行数值计算的基本单位是矩阵和向量。
可以使用MATLAB提供的各种函数来创建和操作矩阵和向量。
例如，可以使用"zeros"函数创建一个全零的矩阵，使用"ones"函数创建一个全一的矩阵，使用"rand"函数生成一个随机矩阵。
2.线性代数计算MATLAB提供了丰富的线性代数函数，用于处理线性方程组、矩阵运算和特征值计算等问题。
例如，可以使用"inv"函数计算矩阵的逆，使用"det"函数计算矩阵的行列式，使用"eig"函数计算矩阵的特征值和特征向量。
3.数值积分MATLAB提供了多种数值积分方法，用于计算函数的定积分。
可以使用"quad"函数进行一维数值积分，使用"quad2d"函数进行二维数值积分，使用"quad3d"函数进行三维数值积分。
4.数值微分MATLAB提供了多种数值微分方法，用于计算函数的导数和偏导数。
可以使用"diff"函数计算函数的导数，使用"gradient"函数计算函数的梯度，使用"hessian"函数计算函数的Hessian矩阵。
5.常微分方程求解MATLAB提供了多种数值方法，用于求解常微分方程组。
可以使用"ode45"函数求解一阶常微分方程，使用"ode15s"函数求解刚性常微分方程。
MATLAB数值计算基础指南
MATLAB数值计算基础指南第一章：MATLAB入门MATLAB是一种用于数值计算和数据可视化的强大工具。
本章将介绍MATLAB的基本特性和操作，包括MATLAB环境的安装和启动、变量和运算符、基本数据类型、向量和矩阵的操作等。
1.1 MATLAB环境的安装和启动MATLAB可以从官方网站下载并安装。
安装完成后，通过双击MATLAB图标即可启动MATLAB环境。
MATLAB的环境包括命令窗口、编辑器、工作区和命令历史记录等。
1.2 变量和运算符在MATLAB中，可以使用变量来存储数值和数据。
变量的命名必须以字母开头，可以包含字母、数字和下划线。
MATLAB支持常见的数学运算符，如加减乘除等。
同时，MATLAB还支持逻辑运算符和比较运算符。
1.3 基本数据类型MATLAB支持多种数据类型，包括数值型、字符串型、逻辑型等。
常用的数值型数据类型有整数型、浮点型和复数型。
MATLAB还支持大型数据类型，如矩阵和多维数组。
1.4 向量和矩阵的操作在MATLAB中，向量和矩阵是常用的数据结构。
可以使用方括号来定义向量和矩阵，也可以使用一些特殊的函数来创建特定类型的向量和矩阵。
MATLAB提供了一系列函数来进行向量和矩阵的运算，如求和、乘法、转置等。
第二章：数值计算基础本章将介绍MATLAB中常用的数值计算方法和函数，包括数值积分、数值求解、数值优化等。
通过学习这些内容，可以帮助我们解决实际问题中的数值计算需求。
2.1 数值积分数值积分是求解函数定积分的一种方法。
MATLAB提供了多种数值积分函数，如梯形积分、辛普森积分等。
使用这些函数，我们可以通过近似的方法来计算函数的积分值。
2.2 数值求解数值求解是求解方程或函数零点的一种方法。
MATLAB提供了多种数值求解函数，如fzero、fsolve等。
通过这些函数，我们可以找到方程或函数的解。
2.3 数值优化数值优化是求解最优化问题的一种方法。
MATLAB提供了多种数值优化函数，如fmincon、fminunc等。
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第四章数值计算4.1引言本章将花较大的篇幅讨论若干常见数值计算问题：线性分析、一元和多元函数分析、微积分、数据分析、以及常微分方程（初值和边值问题）求解等。
但与一般数值计算教科书不同，本章的讨论重点是：如何利用现有的世界顶级数值计算资源MATLAB。
至于数学描述，本章将遵循“最低限度自封闭”的原则处理，以最简明的方式阐述理论数学、数值数学和MATLAB计算指令之间的在联系及区别。
对于那些熟悉其他高级语言（如FORTRAN，Pascal，C++）的读者来说，通过本章，MATLAB 卓越的数组处理能力、浩瀚而灵活的M函数指令、丰富而友善的图形显示指令将使他们体验到解题视野的豁然开朗，感受到摆脱烦琐编程后的眉眼舒展。
对于那些经过大学基本数学教程的读者来说，通过本章，MATLAB精良完善的计算指令，自然易读的程序将使他们感悟“教程”数学的基础地位和局限性，看到从“理想化”简单算例通向科学研究和工程设计实际问题的一条途径。
对于那些熟悉MATLAB基本指令的读者来说，通过本章，围绕基本数值问题展开的容将使他们体会到各别指令的运用场合和在关系，获得综合运用不同指令解决具体问题的思路和借鉴。
由于MATLAB的基本运算单元是数组，所以本章容将从矩阵分析、线性代数的数值计算开始。
然后再介绍函数零点、极值的求取，数值微积分，数理统计和分析，拟合和插值，Fourier分析，和一般常微分方程初值、边值问题。
本章的最后讨论稀疏矩阵的处理，因为这只有在大型问题中，才须特别处理。
从总体上讲，本章各节之间没有依从关系，即读者没有必要从头到尾系统阅读本章容。
读者完全可以根据需要阅读有关节次。
除特别说明外，每节中的例题指令是独立完整的，因此读者可以很容易地在自己机器上实践。
MATLAB从5.3版升级到6.x版后，本章容的变化如下：●MATLAB从6.0版起，其矩阵和特征值计算指令不再以LINPACK和EISPACK库为基础，而建筑在计算速度更快、运行更可靠的LAPACK和ARPACK程序库的新基础上。
因此，虽然各种矩阵计算指令没有变化，但计算结果却可能有某些不同。
这尤其突出地表现在涉及矩阵分解、特征向量、奇异向量等的计算结果上。
对此，用户不必诧异，因为构成空间的基向量时不唯一的，且新版的更可信。
本书新版全部算例结果是在6.x版上给出的。
●在5.3版本中，泛函指令对被处理函数的调用是借助函数名字符串进行的。
这种调用方式在6.x版中已被宣布为“过渡期允许使用但即将被淘汰的调用方式”；而新的调用方式是借助“函数句柄”进行的。
因此，关于述泛函指令，本章新版着重讲述如何使用“函数句柄”，同时兼顾“函数名字符串”调用法。
●MATLAB从6.0版起，提供了一组专门求微分方程“边值问题”数值解的指令。
适应这种变化，本章新增第4.14.5节，用2个算例阐述求解细节。
● 5.3版中的积分指令quad8已经废止；6.x版启用新积分指令quad l；6.5版新增三重积分指令triplequad。
本章新版对此作了相应的改变。
4.2LU分解和恰定方程组的解4.2.1LU分解、行列式和逆4.2.2恰定方程组的解【例4.2.2-1】“求逆”法和“左除”法解恰定方程的性能对比（1）randn('state',0);A=gallery('randsvd',100,2e13,2);x=ones(100,1);b=A*x;cond(A)ans =1.9990e+013（2）ticxi=inv(A)*b;ti=toceri=norm(x-xi)rei=norm(A*xi-b)/norm(b)ti =0.7700eri =0.0469rei =0.0047（3）tic;xd=A\b;td=toc,erd=norm(x-xd),red=norm(A*xd-b)/norm(b)td =erd =0.0078red =2.6829e-0154.2.3数、条件数和方程解的精度【例4.2.3-1】Hilbert矩阵是著名的病态矩阵。
MATLAB中有专门的Hilbert矩阵及其准确Hx 近似解和准确解进行比较。
逆矩阵的生成函数。
本例将对方程bN=[6 8 10 12 14];for k=1:length(N)n=N(k);H=hilb(n);Hi=invhilb(n);b=ones(n,1);x_approx=H\b;x_exact=Hi*b;ndb=norm(H*x_approx-b);nb=norm(b);ndx=norm(x_approx - x_exact);nx=norm(x_approx);er_actual(k)=ndx/nx;K=cond(H);er_approx(k)=K*eps;er_max(k)=K*ndb/nb;enddisp('Hilbert矩阵阶数'),disp(N)format short edisp('实际误差 er_actual'),disp(er_actual),disp('')disp('近似的最大可能误差 er_approx'),disp(er_approx),disp('')disp('最大可能误差 er_max'),disp(er_max),disp('')Hilbert矩阵阶数6 8 10 12 14实际误差 er_actual1.5410e-010 1.7310e-007 1.9489e-004 9.1251e-0022.1257e+000近似的最大可能误差 er_approx3.3198e-009 3.3879e-006 3.5583e-003 3.9846e+000 9.0475e+001最大可能误差 er_max7.9498e-007 3.8709e-002 1.2703e+003 4.7791e+007 4.0622e+0104.3矩阵特征值和矩阵函数4.3.1特征值和特征向量的求取【例4.3.1-1】简单实阵的特征值问题。
A=[1,-3;2,2/3];[V,D]=eig(A)V =0.7746 0.77460.0430 - 0.6310i 0.0430 + 0.6310iD =0.8333 + 2.4438i 00 0.8333 - 2.4438i【例4.3.1-2】本例演示：如矩阵中有元素与截断误差相当时的特性值问题。
A=[3 -2 -0.9 2*eps-2 4 -1 -eps-eps/4 eps/2 -1 0-0.5 -0.5 0.1 1 ];[V1,D1]=eig(A);ER1=A*V1-V1*D1[V2,D2]=eig(A,'nobalance');ER2=A*V2-V2*D2ER1 =0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 -0.0000 -0.0000 -0.00000.0000 -0.0000 -0.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 -0.5216ER2 =1.0e-014 *-0.2665 0.0111 -0.0559 -0.10550.4441 0.1221 0.0343 0.08330.0022 0.0002 0.0007 00.0194 -0.0222 0.0222 0.0333【例4.3.1-3】指令eig与eigs的比较。
rand('state',1),A=rand(100,100)-0.5;t0=clock;[V,D]=eig(A);T_full=etime(clock,t0)options.tol=1e-8;options.disp=0;t0=clock;[v,d]=eigs(A,1,'lr',options);T_part=etime(clock,t0)[Dmr,k]=max(real(diag(D)));d,D(1,1)T_full =0.2200T_part =3.1300d =3.0140 + 0.2555ians =3.0140 + 0.2555ivk1=V(:,k);vk1=vk1/norm(vk1);v=v/norm(v);V_err=acos(norm(vk1'*v))*180/piD_err=abs(D(k,k)-d)/abs(d)V_err =1.2074e-006D_err =4.2324e-0104.3.2特征值问题的条件数【例4.3.2-1】矩阵的代数方程条件数和特征值条件数。
B=eye(4,4);B(3,4)=1;Bformat short e,c_equ=cond(B),c_eig=condeig(B)B =1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1c_equ =2.6180e+000Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 1.110223e-016. > In D:\MATLAB6P1\toolbox\matlab\matfun\condeig.m at line 30 c_eig =1.0000e+0001.0000e+0004.5036e+0154.5036e+015【例4.3.2-2】对亏损矩阵进行Jordan分解。
A=gallery(5)[VJ,DJ]=jordan(A);[V,D,c_eig]=condeig(A);c_equ=cond(A);DJ,D,c_eig,c_equA =-9 11 -21 63 -25270 -69 141 -421 1684-575 575 -1149 3451 -138013891 -3891 7782 -23345 933651024 -1024 2048 -6144 24572DJ =0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0D =Columns 1 through 4-0.0408 0 0 00 -0.0119 + 0.0386i 0 00 0 -0.0119 - 0.0386i 00 0 0 0.0323 + 0.0230i0 0 0 0Column 50.0323 - 0.0230ic_eig =1.0e+010 *2.12932.07962.07962.00202.0020c_equ =2.0253e+0184.3.3复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵的转化【例4.3.3-1】把例4.3.1-1中的复数特征值对角阵D转换成实数块对角阵，使VR*DR/VR=A。