一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计
第十二章 回归设计
n
ˆ i y) 2 ST S E S R ( y
4．失拟检验 当在某些点有重复试验数据的话，可以在检验回归方程显 著性之前，先对y 的期望是否是 x1 , x2 ,, x 的线性函数进行检 p 验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设： H0： Ey 0 1 x1 p x p H1： Ey 0 1x1 p x p 当在 ( xi1 , xi 2 ,, xip )上有重复试验或观察时，将数据记为 其中至少有一个 mi 2 ，记 N m 。此时残差平方和可进一 步分解为组内平方和与组间平方和，其中组内平方和就是误 差平方和，记为 S e，组间平方和称为失拟平方和，记为 S Lf ， 即：
y 0 j z j jj z 2 j ij zi z j
j j i j
(7.1.1)
这里各 0 , j , jj , ij , 为未知参数，也称为回归系数，通 常需要通过收集到的数据对它们进行估计。 若用 b0 , b j , b jj , bij , 表示相应的估计，则称
假定回归模型为：
yi 0 1 xi1 p xip i，i 1,2,, n 2 各 i iid ~ N (0, ) (7.1.5)
记随机变量的观察向量为
0 1 p
y1 y Y 2 y n
当H0j为真时，有 Fj ~ F (1, f E ) 。 给定的显著性水平 ，当 Fj F1 (1, f E ) 时拒绝假设H0j，即认 为 j 显著不为零，否则可以将对应的变量从回归方程中删除。 注：当有不显著的系数时，一般情况下一次只能删除一个F 值最小的变量，重新计算回归系数，再重新检验。通常要到余 下的系数都显著时为止。
第七章 回归正交试验设计
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m
一次回归正交设计
第五讲回归设计及统计分析设目标性状y与z1、z2……z m等因素有关，我们可以应用回归分析的方法建立y与诸因素的回归方程,以此对y进行预测和控制，或筛选y的最优指标。
z1、z2……z m构成一个因子空间，每一组z1、z2……z m值对应一个y值。
如何在因子空间中选择最适当的试验点,以最少的试验点寻求y的最优区域，这就要将回归分析与正交设计结合起来应用,称为回归正交设计。
按回归模型的次数,回归正交设计又分为一次回归正交设计和二次回归正交设计。
一、一次回归正交设计一次回归正交设计主要是应用2水平正交表进行设计,其设计和分析步骤如下。
1．确定试验因素的变化范围例如研究m 个栽培因素z 1、z 2……z m 与作物产量y 的数量关系，首先需确定各个栽培因素的变化范围。
设因素z j 的变化区间为（z 1j ，z 2j )，则z 1j 和z 2j 分别为因素z j 的下水平和上水平。
那么1202j jj z z z +=为因素z j 的零水平.212jjj z z ∆=-为因素z j 的变化区间。
2。
对各因素的水平编码编码就是对各个因素的取值作如下线性变换：0j jj jz z x =∆-式中x j 为编码值。
如：10121121212jjj jj j j jjz zz z z x z z =∆-+--==-0000j jj jz z x =∆-=20122221212jjj jj j j jjz zz z z x z z =∆+--==-这样就建立了z j 与x j 的一一对应关系: 下水平 z 1j x 1j （-1）零水平z0j x0j （0 )上水平z0j x0j （+1)通过上面的编码可知，当z j在区间（z1j，z2j)变化时,它的编码值x j就在区间（-1,+1）内变化。
多个因素的编码工作可在因素水平编码表（表1)上进行。
表1 因素水平编码表z j因素Z1Z2……Z m下水平Z11Z12 (1)零水平Z01Z02 0上水平Z21Z22 (2)变化间距△j△1△2……△m对因素的水平进行编码后,y对z1、z2……z m的回归问题就转化为对x1、x2……x m的回归问题。
四种回归设计方法的比较
四种回归设计方法比较表试验设计方法一次回归正交二次回归正交二次回归正交旋转二次回归通用旋转特点正交性在p维因素空间内，如果试验方案使所有j个因素的不同水平x ij 满足:);,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1(11jtNtxxNjNixNiitijNiij≠=====∑∑==则该方案具有正交性。
则，一次回归正交、二次回归正交，及二次回归正交旋转试验均具有正交性，具有以下特点：1.利用正交试验设计安排试验，运用回归分析方法处理数据；2.减少试验次数，适用于因素水平不太多的多因素试验；3.“均匀分散，整齐可比”；4.由于试验设计的正交性，消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性。
注：二次回归正交旋转中，由公式pmmc2)1(42/1-+=计算出m0为整数时，则旋转组合设计是完全正交的；当m0不为整数时，则旋转组合设计是近似正交的。
一次项系数b j与交互项系数b ij具有正交性，但常数项b0与平方项回归系数b jj，以及各平方项回归系数b jj之间均存在相关，因此不具有正交性。
旋转性具有旋转性无具有旋转性（在p维因素空间中，若使用方案使得试验指标预测值ŷ的预测方差仅与试验点到试验中心的距离ρ有关，而与方向无关，因此具有旋转性。
）通用性无具有通用性（各试验点与中心的距离ρ在因子空间编码值区间0< ρ<1范围内，其预测值ŷ的方差基本相等，即具有通用性。
）优点科学地安排实验，用最少的试验次数，获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析，从而得到最佳实验条件，迅速建立经验公式，简化计算。
1.中心点试验次数m0有所减少。
2.试验方案具有通用性与旋转性。
消除回归系数之间的相关性，使其具有独立性，剔除回归方程某一变量时，其余变量的回归系数不变。
1.可直接比较各点预测值的好坏，找出预测值相对较优的区域；2.有助于寻找最优生产的过程中排除误差的干扰。
缺点1.只适用于因素水平不太多的多因素试验，且水平数一般不大于3；2.适用性具有局限，一次回归方程经检验可能在区域内部拟合不好。
第七章 回归正交设计
y 26. 9 28. 3 28. 7 28. 9 29. 6 30. 0 30. 4
y2 723. 61 800. 89 823. 69 835. 21 876. 16 900. 00 924. 16
l iy
k
2
(k ) yk
14.8 28 0. 5286 7.823 1
y 202 .8
(1 )
z 16 2
ˆ (2) y ˆ (1) b 2 2 ( x ) y ˆ (1 ) 0 . 04762 ( x 2 8 x 12 ) y
0 . 04762 z 16 2 z 16 12 8 2 2
根据表 7. 2. 2 的计算，得回归计算 ˆ (1 ) b 0 b1 1 ( x ) 28 . 971 0 . 5286 ( x 4 ) y
26 . 857 0 . 525 x 26 . 857 0 . 525
=22. 628+0. 2625z. 或 =
ˆ y
方差分析
方差来源
平方和
自由度
平均平方和 7. 823 0. 190 0. 135 0. 131 0. 0175
F
显著性 **
一次 二次 回归 三次 四次
7 . 716 Q1 0 . 190 Q2 8 . 279 Q3 0 . 135 Q4 0 . 137
其中 k (x) x a1k x 是l 次待定系数多项式
k k 1
a 2k
k 2
a k 1,k x a kk , (k 1,2,p)
y b0 b1 φ (x) b2φ (x) bpφ 1 2 p(x)
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。
实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。
因素编码Z j(x j) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）30 50 2 20上水平Z2j（+1）40 60 6 40零水平Z0j（0）35 55 4 30变化间距 5 5 2 10编码公式X1=（Z1-35）/5 X2=(Z2-55）/5X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/1选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi1 1 1 1 1 1 1 9.72 1 1 1 -1 -1 1 4.63 1 1 -1 1 -1 -1 10.04 1 1 -1 -1 1 -1 11.05 1 -1 1 1 -1 -1 9.06 1 -1 1 -1 1 -1 10.07 1 -1 -1 1 1 1 7.38 1 -1 -1 -1 -1 1 2.49 1 0 0 0 0 0 7.910 1 0 0 0 0 0 8.111 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy 87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0aj=∑xj2 11 8 8 8 8 8bj = Bj7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00/aj393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000Qj =Bj2 /aj可建立如下的回归方程。
Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS平方和Df自由度MS均方F显著水平x1 5.4451 5.44576.250.01 x20.84510.84511.830.05 x38.00018.000112.040.01 x4 18.000118.000252.100.01 x1x2 32.000132.000448.180.01 回归64.29 5 12.858180.080.01 剩余0.357 5 0.0714失拟0.097 3 0.0323 0.25 <1 误差e 0.2620.13总和64.64710经F检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
第8章回归正交试验设计
②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ：
(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)
z ji
'
z
j
2 i
1 n
n i 1
z
j
2 i
二元二次回归正交组合设计编码表
试验号
z1
1
1
z2
z1 z2
z12
1
1
1
2
1
－1
－1
1
3
－1
1
－1
1
4
－1
－1
1
1
5
1
0
0
1
6
－1
0
0
1
7
0
1
0
0
8
0
－1
0
1.414
1.483
3 1.147 1.353
1.471
1.547
4 1.210 1.414
1.525
1.607
5 1.267 1.471
1.575
1.664
6 1.320 1.525
1.623
1.719
7 1.369 1.575
1.668
1.771
8 1.414 1.623
1.711
1.820
9 1.457 1.668
bkj
i 1 n
(zk z j )i2
i 1
二次项偏回归系数bjj ：
n
(
z
' ji
)
yi
b jj
i 1 n
(
z
' ji
)
2
i 1
⑤回归方程显著性检验
正交回归设计(2)
2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
1u 表示为行向 其中 ，1u 表示元素均为1的u维列向量， 量， I u 表示u阶单位阵，J uv 表示u行v列的矩阵，其元素均为 1， h mc 2 2 ，G是p阶对称方阵，其对角元均为 f mc 2 4 ， 非对角元均为mc，即 f mc mc m c f mc G m m f c c
0
S e ( y 0i y 0 ) 2，f e m0 1
i 1
m0
S Lf S E S e，f Lf f E f e
可对二次回归模型的合适性进行检验。
例8.4.1 为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察 钻头的寿命与钻头轴向振动频率F及振幅A的关系。在试验中， F与A的变动范围分别为：[125 Hz，375Hz]与[1.5，5.5]，采用 二次回归正交组合设计，并在中心点重复进行三次试验。
(2)用二水平正交表L4(23)安排试验，试验方案与结果如下：
(3)建立一次回归方程：
所得一次回归方程为：
ˆ 40.425 0.775 x1 0.325 x2 y
链接31
对回归方程与回归系数作显著性检验的方差分析表如下：
若取 0.05 ，那么 F0.95 (2,1) 200 ，所以方程在显著性水 平0.05上是显著的，又 F0.95 (1,1) 161 ，则两个系数也是显著 的。
第六章 §6 二次回归的旋转设计
五,k>2 实现旋转设计借助于组合设计思想
1.中心组合思想
(1)m c 个点布置在半径 R c = k的球面上 (2 )2k个点布置在半径 R = r的球面上,通常位于 (3)m 0 个点布置在因子区域的 中心
n = m c + 2k + m 0 坐标轴上,称 r为星号臂
2. k = 2 D = 1 1 1 1 r r 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 r r 0 0
§6 二次回归的旋转设计
一,问题
y = β 0 + ∑ βi x i + ∑ βij x i x j + ∑ β ii x i2 + ε
i i< j i
要寻找旋转设计 D, X′X满足旋转性条件 0 第 (0,)元素为 n x 2 = λ 2 n i = 1, , k ∑ ji j ∑ x 4 = 3∑ x 2 1 x 2 2 = 3λ 4 n i1 ≠ i 2 ji ji ji j j k λ4 ≠ 2 λ2 k + 2
∑x
j j
ji
= ∑ x ji1 x ji 2 = ∑ x x ji 2 = 0
2 ji1 j j
x 2 = 4 + 2r 2 ∑ ji x21x2 2 = 4 ∑ ji ji
j
x 4 = 4 + 2r 4 ∑ ji
j
为满足旋转性条件
∑x
j
4 ji
= 3∑ x x
2 ji1 j
2 ji 2
∴ 4 + 2 r 4 = 12 r =
2
3.k ≥ 3
∑x
j j
ji
= ∑ x ji1 x ji 2 = ∑ x 2 1 x ji 2 = 0 ji
第八章回归正交试验设计
8回归正交试验设计本章要点：主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。
重点：回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。
难点：二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。
8.1 回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。
但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。
线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。
当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。
例如，一个3因素4水平的试验，总共有43＝64个试验处理，而4因素5水平的试验就有54＝625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。
正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。
如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而回归正交试验设计应运而生。
回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。
在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量(因素)向量间满足正交性以便于回归分析。
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说
明
一次回归正交设计是一种广泛应用于实验设计中的设计方式，该设计最基本的特点是每一个自变量只考虑一次。
这种设计方法可以通过排列组合的方式得到各种不同的设计方案，使得实验者可以通过设计来达到用最少的实验次数获取尽可能多的信息的目的。
一次回归正交设计在实验设计中被广泛使用，尤其在化学制药、工业生产等领域得到了广泛运用。
二次回归正交设计是一种基于一次回归正交设计的设计方式，这种设计方式可以进一步增加实验信息的获取。
在二次回归正交设计中，依然按照一次正交设计的方式来设计实验，但是在每个单独的自变量上，提高对其的测量次数，使得对这些自变量的测量更加准确。
同时，在某些需要深入探究的因素上，可以通过将这些因素的实验次数进一步提高，来获取相关信息。
二次回归旋转设计是一种在二次回归正交设计的基础上发展而来的设计方式。
在二次回归旋转设计中，实验者可以通过旋转矩阵来达到实验变量间的协方差为0的目的。
这样可以在保证基本信息获取的同时，增加获取高阶信息的可能性。
旋转设计特别适合于需要同时考虑多个变量的实验设计，可以使各个变量之间更加独立，减少不必要的干扰。
总的来说，在实验设计领域中，三种设计方法各自有着各自的优势。
对于需要更精准的信息获取的实验，应该选择更高阶的设计方法，在更基础的实验中则可以选择更为简单的设计方法。
另外，在选择设计方法的过程中，还应该根据实验具体情况灵活选择，使得实验设计更加科学合理。
高分子材料与纺丝技术教学大纲
目录（下）《高分子材料与纺丝技术(jìshù)》教学大纲 (2)《非织造布后整理(zhěnglǐ)》教学大纲 (6)《非织造布性能与测试(cèshì)》教学大纲 (9)《非织造学》教学大纲(jiào xué dàɡānɡ) (13)《非织造产品设计》教学大纲(jiào xué dàɡānɡ) (17)《纺织厂空调》教学大纲 (20)《试验设计与数据处理》教学大纲 (23)《新型纤维》教学大纲 (29)《数字纺织技术》教学大纲 (33)《微机原理及其在纺织上的应用》教学大纲 (36)《花色纱线》教学大纲 (39)《环境科学与非织造材料》教学大纲 (42)《纺织科学中的纳米技术》教学大纲 (46)《高性能纤维》教学大纲 (50)《纺织电测技术》教学大纲 (53)《纤维物理和化学》教学大纲 (56)《色彩学与布艺》教学大纲 (59)《SPSS软件应用》教学大纲 (62)《MATLAB软件应用》教学大纲 (66)《进出口贸易实务》教学大纲 (71)《现代纺织技术》教学大纲 (75)《毛产品设计》教学大纲 (80)《色织物设计》教学大纲 (83)《产品开发学》教学大纲 (87)《服装概论》教学大纲 (90)《染整概论》教学大纲 (94)《差别化纤维》教学大纲 (98)《产业用纺织品》教学大纲 (102)《现代纺织科技》教学大纲 (106)《纺织商品学》教学大纲 (110)《生态染整技术》教学大纲 (113)《服装舒适性》教学大纲 (116)《织物的功能整理》教学大纲 (120)《新型纺纱》教学大纲 (123)《服装史》教学大纲 (127)《家纺设计》教学大纲 (130)《纺织品快速设计》教学大纲 (133)《服装心理学》教学大纲 (137)《过滤材料的结构性能》教学大纲 (140)《土工合成材料的应用》教学大纲 (143)《高分子材料与纺丝(fǎnɡ sī)技术》教学大纲课程(kèchéng)编号：课程名称：高分子材料与纺丝(fǎnɡ sī)技术学分：2 总学时：32 实验学时：0 课内上机学时：0 其它(qítā)实践环节：0适用专业：纺织(fǎngzhī)科学与工程一、本课程的性质和任务本课程是纺织工程专业的一门指定选修课程。
回归的正交设计
Z0j＝(Z2j + Z1j ) ／2
（13-1）
上水平和零水平之差称为因素Zj的变化间距，以Δj表示，即
Δj ＝ Z2j－ Z0j
Z0j＝(Z2j － Z1j ) ／2
（13-2）
§2 一次回归正交设计及统计分析
（2）对因素Zj的各水平进行编码。
即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为： xij＝(Zij - Z0j ) ／ Δj
正交设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试 验次数，获得较佳的试验结果。但是正交设计不能在一定的试验范围内， 根据数据样本，去确定变量之间的相关关系及其相应的回归方程。
传统回归分析，只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试 验的设计安排几乎不提出任何要求。不仅盲目地增加了试验次数，而且 由数据分析出的结果往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分 析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
第八章 回归的正交设计
本章内容：
§1 回归正交试验设计简介 §2 一次回归正交设计及统计分析 §3 二次回归正交组合设计及其统计分析
本章学习目的与要求：
1.了解回归正交设计的基本概念 2.掌握一次回归正交设计的基本方法 3.掌握二次回归正交设计的基本方法
§1 回归正交试验设计简介
§1 回归正交试验设计简介
§2 一次回归正交设计及统计分析
（3）选择适合的2水平正交表进行设计。
在应用2水平正交表进行回归设计时，需以“－1”代换 表中的“2”，以“＋1”代换表中的“1”，并增加“0”水平。 这种变换的目的是为了适应对因素水平进行编码的需要，代 换后正交表中的“＋1”和“－1”不仅表示因素水平的不同状 态，而且表示因素水平数量变化的大小。原正交表经过上述 代换，其交互作用列可以直接从表中相应几列对应元素相乘 而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用了，这一点 较原正交表使用更为方便。
第九章_回归的旋转设计
因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件式 (13－ 30) ，即信息矩阵 A 不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵 A 的 元素中 2 x j xi x j xi x j 0
m 的球面上； 的球面上； mγ个点分布在半 m0个点分布在半径 0 的球面上；
4 2 ( ) f 1( 4) i f 2 4 i 最小
2
(13－35)
式中
f
4
m 2 (m 2) m N
4 4
f
2
4
4
(m1) (m1) 2 (m 2)
4 2 4
f 1
1
4
cov （b ，b ） 2 t N cov （b ，b )=( )t N
2 jj 2 4 2 2 2 ii jj 4
(13－32)
其中
t
2 (m 2) 2 4 m 2 4
1
§1 旋转设计的基本原理
对于 m 个因素的二元旋转组合设计，式（13－33）中的m、mc和 γ 都是固 定的。因此，只有适当地调整 N 才能使 λ4 /λ22 ＝1 ，而试验处理数 N ＝ mc+mγ +m0 同样，对于 m 元二次旋转组合设计，上式中的 mc 和 mγ 也都是固定的。这 样就只能通过调整中心点的试验处理数 m0 使 λ4 /λ22 ＝1。由此可见，适当 地选取 m0 ，就能使2次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计， 已将 m 元不同实施的 m0 和 N 列入表13－24中。 综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整 就能获得二次 正交旋转组合设计方案，这方面的计划见表13－27和表13－28。
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的建模方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
而正交回归是一种特殊的回归方法，它可以解决自变量之间共线性的问题，提高模型的稳定性和可解释性。
本文将介绍三元二次正交回归旋转通用设计方法，以及其在实际应用中的意义和优势。
一、三元二次正交回归在传统的回归分析中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致模型的方差变大，降低模型的预测能力。
而正交回归通过将自变量进行正交化处理，消除它们之间的相关性，从而提高模型的稳定性。
在三元二次正交回归中，通常会将自变量进行二次展开，以更好地捕捉自变量之间的非线性关系。
二、回归旋转回归旋转是一种将原始自变量进行旋转变换的技术，旨在提高模型的解释能力和预测准确性。
通过回归旋转，可以将原始的自变量空间转换为一个新的正交空间，从而使模型更容易解释和理解。
在三元二次正交回归中，回归旋转可以进一步优化模型的设计，提高模型的拟合效果和泛化能力。
三、通用设计三元二次正交回归旋转通用设计是一种灵活而有效的建模方法，适用于各种类型的数据分析和预测问题。
通过将正交回归和回归旋转相结合，可以充分挖掘数据中隐藏的非线性关系，提高模型的拟合效果和预测准确性。
同时，通用设计的特点使得模型具有较强的适应能力，可以应用于不同领域和不同类型的数据集。
四、应用意义三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，它可以帮助研究人员更好地理解数据中的复杂关系，揭示隐藏在数据背后的规律和模式。
其次，通过建立高效稳健的模型，可以为决策者提供可靠的决策支持，帮助他们更好地制定策略和规划。
最后，三元二次正交回归旋转通用设计还可以为学术研究和工程实践提供有力的工具和方法，推动科学技术的发展和创新。
三元二次正交回归旋转通用设计是一种强大而灵活的建模方法，具有广泛的应用前景和深远的意义。
通过合理运用这一方法，可以更好地理解和利用数据，为决策和创新提供有力支持，推动社会经济的持续发展。
第5章 回归正交试验设计
第一节 一次回归正交试验设计
（4）失拟性检验
本例中，零水平试验次数m0=3，进行失拟行检验。
FLf
SSLf / dfLf SSe1 / dfe1
0.0963/ 5 0.00667/ 2
5.775
F0.1(5,2)
9.29
表明失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。
第一节 一次回归正交试验设计
4 回归方程及偏回归系数的方差分析 4.1 无零水平试验 4.1.2 计算自由度
第一节 一次回归正交试验设计
4 回归方程及偏回归系数的方差分析 4.1 无零水平试验 4.1.3 计算均方
MSj
SS j df j
MSkj
SSkj dfkj
j k,k 1,2,...,(m 1)
n i 1
yi
y
n
z ji yi
bj
i 1
mc
n
(zk z j )i yi
bkj i1 mc
j k,k 1,2,...,(m 1)
第一节 一次回归正交试验设计
3 一次回归方程的建立 通过计算得到回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大
小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准 回归系数。
n
z ji 0
i 1
n
z ji zki 0 ( j k )
i 1
这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性。
第一节 一次回归正交试验设计
2.4 试验方案的确定
确定试验方案时，将规范变量zj安排在一次回归正交编码表 相应的列中，即进行表头设计。
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计创作说明在工程领域，每个设计必须经过多次修正来优化其性能。
而三元二次正交回归旋转通用设计便是一种方法，可有效减少这些周期，提高工程效率。
本文将从三元二次正交、正交回归设计、正交设计旋转、通用设计四个方面详细地介绍该方法。
一、三元二次正交三元二次正交是指当设计需要涉及三个变量时，采用三元二次正交设计方法来减少试验次数。
首先将每个变量设为正交系列，进行阶段试验。
然后根据结果分析、确定关键的变量和因素组合，再进行二次设计试验。
二、正交回归设计正交回归设计是一种常用的试验设计方法。
首先将所研究的变量进行正交分组，然后设计正交表，并根据表中的结果确定主要的变量和因素组合。
接着利用回归方法，对组合进行分析和优化。
三、正交设计旋转正交设计旋转是正交试验设计的一种应用，可以对正交表的后续设计进行优化。
在这种方法中，先采用和正交表相同的原始设计方案，然后对因素进行旋转。
旋转后，可以得到一组新的因素组合，也就是新的试验设计方案。
如此重复，直到得出最好的设计方案为止。
四、通用设计在实际工程应用中，可能涉及到多个设计平台。
由于每个平台需要的设计方案都不相同，因此需要一种通用设计方法。
通用设计方法建立在正交设计和正交设计旋转的基础之上。
利用正交试验设计中的随机因素、响应曲面和偏差方案，可以创建一种通用的实验计划，以应用于不同的平台和工程项目。
综上所述，三元二次正交回归旋转通用设计方法是一种高效的工程设计方法，可大幅缩短设计周期、提高工程效率。
对于需要应用多个平台的工程项目来说，这种设计方法更是一种不可少的工具。
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一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。
实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。
因素编码Z j (xj) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）3050220上水平Z2j（+1）4060640零水平Z0j（0）3555430变化间距55210编码公式X1=（Z1-35）/5X2=(Z2-55）/5X3=(Z3-4)/2X4=(Z4-30)/10选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号X0X1(Z1)X2(Z2)X3(Z3)X4(Z4)X1X2Yi 11111112111-1-11311-11-1-1411-1-11-151-111-1-161-11-11-171-1-111181-1-1-1-119100000 1010000011100000Bj=∑xjy1188888aj=∑xj2bj = Bj/aj393Qj = Bj2/aj可建立如下的回归方程。
Y=+++x3+显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS平方和Df自由度MS均方F显著水平x11x21x31x41x1x2 1回归 5 剩余 5 失拟3<1误差e 2总和 10经F 检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
2、回归方程的检验进行此项检验时，通常对F 值小于等于1的项不进行检验，直接从回归方程中剔除，对经检验而α>的项，根据实际需要决定是否剔除。
3、失拟检验由回归系数的检验，回归方程的检验，失拟检验可以得出，产量 y 与各因素之间的总回归关系达到显著，回归方程拟合效果较好。
回归方程的变换将各因素的编码公式代入，得Y=++++二次回归正交设计某食品加香试验，3个因素，即 Z1(香精用量)、 Z2(着香时间) 、 Z2(着香温Lf Lf LfLf ee eMS SS df F MS SS df ==度)(1) 确定γ值、 mc 及 m0 。
根据本试验目的和要求，确定 mc＝ 2 m ＝ 2 3＝ 8 ， m0 ＝1 ，查表得γ＝。
(2)确定因素的上、下水平，变化间距以及对因子进行编码Z1/(mL／kg物Z2 / h Z3/ ℃编码料)+γ182448+ 10121635- 1-γ6822Δi计算各因素的零水平：Z01 ＝(18＋6)/2＝12 (mL/kg)Z02 ＝(24＋8)/2＝16 (h)Z03 ＝(48＋22)/2＝35 (℃)计算各因素的变化间距：Δ01 ＝(18-12)/＝ (mL/kg)Δ02 ＝(24-16)/＝ (h)Δ03 ＝(48-35)/＝ (℃)(3)列出试验设计及试验方案试验号试验设计实施方案x0x1x2香精用量／(mL／kg)着香时间／h着香温度/ ℃1111211-131-1141-1-15-1116-11-17-1-118-1-1-1900181635 100061635 1100122435 120012835 13001216481412162215 0 0 0 12 16 35试验结果的统计分析 建立回归方程试验号 0x1x2x3x21x x31x x32x x1x '2x ' 3x ' 结果（y ） 1 11 1 1 1 1 1 0.27 0.27 0.27 2.322 1 1 1 -1 1 -1 -1 0.27 0.27 0.27 1.253 1 1 -1 1 -1 1 -1 0.27 0.27 0.27 1.934 1 1 -1 -1 -1 -1 1 0.27 0.27 0.27 2.135 1 -1 1 1 -1 -1 1 0.27 0.27 0.27 5.856 1 -1 1 -1 -1 1 -1 0.27 0.27 0.27 0.17 7 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0.27 0.27 0.27 0.808 1 -1 -1 -1 1 1 1 0.27 0.27 0.27 0.569 1 1.215 0 0 0 0 0 0.746 -0.73 -0.73 1.60 10 1 -1.215 0 0 0 0 0 0.746 -0.73 -0.73 0.56 11 1 0 1.215 0 0 0 0 -0.73 0.746 -0.73 5.54 12 1 0 -1.215 0 0 0 0 -0.73 0.746 -0.73 3.89 13 1 0 0 1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.746 3.57 14 1 0 0 -1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.746 2.52 151 0 0 0 0 0 0 -0.73 -0.73 -0.73 5.80∑=2j j x a15 10.9525 10.9525 10.9525 8 8 84.36074.36074.3607∑2y＝51.8443∑=y x j j β37.37 2.6336 7.2948 9.1858 -6.27-6.175.59-10.2019 0.5286 -4.3721y SS ＝58.7432j j j a B b = 0b0.2405 0.6660 0.8387 -0.7838 -0.7713 0.6988 -2.3395 0.1212-1.0093R SS ＝55.2032j j j a B Q 2=0.6333 4.8586 7.7040 4.9141 4.7586 3.9060 23.8676 0.0641 4.4422r SS ＝3.5401231213222231234.90910.24050.66600.83870.78380.77130.6988 2.33950.1212 1.0093y x x x x x x x x x x x x =+++--+-+-()2011137.3710.9525 2.33950.1212 1.0093 4.90911515m aj jj j b y x b N N ==-•=--+-=∑∑∑回归关系的显著性测验。
变异来源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F显著程度x11＜1nsx21*x31*x1x21*x1x31*x2x31x121**x221＜1nsx321回归9*剩余5总变异14方差分析表明，总回归达到显著水平，说明本食品的加香试验与所选因素之间存在显著的回归关系，试验设计方案是正确的，选用二次正交回归组合设计也是恰当的。
除 x1 和 x22 以外，其余各项因子基本达到显著或极显著，说明香料用量、着香时间、着香温度与这一食品的加香有显著或极显著关系。
本试验设计的因素、水平选择是成功的。
在这种回归正交试验中，第一次方差分析往往因为误差（剩余）自由度偏小而影响了检验的精确度。
并且由于回归正交试验计划具有的正交性，保证了试验因素的列与列之间没有互作（即没有相关性）存在，因此我们可以将未达到以上显著水平的因素（或者互作）剔除，将其平方和和自由度并入误差（剩余）项，进行第二次方差分析，以提高检验的精确度。
第二次方差分析结果见下表：变异来源平方和(SS)自由度(df)均方(MS)F显著程度x21*（）x31**（）x1x21*x 1x 31* （） x 2x 31*（）x 121** （）x 321* （） 回归 7** （） 剩余 7总变异14第二次方差分析表明，总回归及各项因素均达到显著或极显著水平，说明这一食品加香与试验因素之间存在极显著的回归关系，其优化的回归方程为：本试验由于 m0＝1，故不能进行失拟检验，这是试验的一个缺陷。
如果取 m0＝4，对试验进行失拟检验，则本试验将更为圆满。
二次回归旋转设计2223121323134.90910.66600.83870.78380.77130.6988 2.3395 1.0093y x x x x x x x x x x =++-----对乳酸发酵的产酸条件进行优化试验，采用二次回归旋转设计对盐浓度、糖浓度、发酵温度和发酵时间进行试验。
因素水平表盐浓度x1糖浓度x2发酵温度x3发酵时间x4编码/%/%/℃/h+248+144040-136-2设计方案及结果处理号x1x2x3x4含酸量y α/ %11111 2111-1 311-11 411-1-1 51-111 61-11-1 71-1-11 81-1-1-1 9-1111 10-111-1 11-11-11 12-11-1-1 13-1-111 14-1-11-1 15-1-1-11处理号x1x2x3x4含酸量y α/ %16-1-1-1-1 172000 18-2000 190200 200-200 210020 2200-20 230002 24000-2 250000 260000 270000 28000029 0 0 0 030 0 0 0 031 0 0 0 0根据计算建立回归方程回归方程的显著性检验变异原因 平方和SS自由度df 均方MSF 值显著程度x 1 1x 2 1 x 3 1 x 4 1 x 1 x 2 1x 1 x 31＜112340.74480.08290.13190.04370.0786y x x x x ∧=--+++121214230.02430.00120.00320.0086x x x x x x x x +--+222434120.03160.00790.09340.0652x x x x x x -+--22340.11160.0239x x -x 1 x 4 1 ＜1 x 2 x 3 1 ＜1x 2 x 4 1x 3 x 4 1 ＜1x 1′ 1 x 2′ 1 x 3′ 1 x 4′1回归剩余 误差失拟总变异通过回归方程检验，回归系数检验，失拟检验，可以看出，回归达到极显著水平。
说明本试验设计及分析效果都很好，各因素间显著与不显著也很分明。
因此没有必要做二次回归方差分析，可直接将 F ＜1 的回归系数去掉而得到含酸量与各因素间的回归方程为：22212241230.02430.03160.09340.06520.1116x x x x x x x +----240.0239x12340.74480.08290.13190.04370.0786y x x x x ∧=+++--。