导数中的零点问题

导数中的零点问题

1．已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，数的取值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，数的取值围.

2．已知函数

（Ⅰ）若的图像与直线相切，求

（Ⅱ）若且函数的零点为,

设函数试讨论函数的零点个数.（为自然常数）

3．已知函数.

（1）若时，讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间上恰有2个零点，数的取值围.

4．已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为. （1）求函数的解析式；

（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.

5．已知函数()()2

2ln ,0x f x x a R a a

=-∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2） 若函数()f x 有最小值，记为()g a ，关于a 的方程()219g a a m a +-

-=有三个不同的实数根，数m 的取值围.

6．已知函数()2x a f x x e

=-+ (a R ∈， e 为自然对数的底数). （Ⅰ）求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）当1a =时，若直线:2l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.

7．已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时,不等式恒成立,数的取值围；

（3）设，当函数有且只有一个零点时,数的取值围.

8．已知函数.

（1）若函数有两个零点，数的取值围；

（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.

9．已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数，使得有三个相异零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

10．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记，当时，函数在区间上有两个零点，数的取值围.

11．已知函数.

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值围.

12．．

（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的围．

13．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若经过点()2,M m 可以作出曲线()y f x =的三条切线，数m 的取值围．

14．已知函数()()22

ln ,f x x a x a R x =+-∈．

（1）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；

（2）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求[]0.x

注[]x 表示不超过x 的最大整数，如][][0.60,2.12, 1.5 2.⎡⎤==-=-⎣⎦

参考数据： ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946.====

15．已知函数()()ln 1x m f x e x x m x -=---；

（1）若1m =，求证： ()f x 在()0,+∞上单调递增；

（2）若()()='g x f x ，试讨论()g x 零点的个数.

16．已知函数()•sin 1ax f x e x =-，，其中0a >．

(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；

(Ⅱ)证明： ()f x 在区间[]0π，上恰有2个零点．

参考答案

1．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时, 减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅲ）．

【解析】

【分析】

（1）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由两直线垂直的条件可得f′（1）＝﹣3，求出a的值；

（2）求出f′（x），对a讨论，由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；

（3）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b 的围．

【详解】

（Ⅰ）定义域，，，

∴．

（Ⅱ）

当，，单减区间为

当时

令，单增区间为；令，单减区间为

当时，单减区间

∴当时, 减区间为；

当时，增区间为，减区间为；

（Ⅲ）

令，，

令，；令，

∴是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点

∴

∵在上有两个零点

∴只须

∴．

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．

2．（1）（2）有两个不同的零点

【解析】分析：（Ⅰ）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得．（Ⅱ）因，故为减函数，结合可得的零点．又

是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合利用零点存在定理得到有两个不同的零点．

详解：（Ⅰ）设切点，所以，故，从而

又切点在函数上，所以即，故，

解得，．

（Ⅱ）若且函数的零点为，

因为，，为上的减函数，

故．

当时，，

因为，

当时，；

当时，，

则在上单调递增，上单调递减，则,

所以在上单调递减．

当时，，

所以在区间上单调递增．