周期信号的分解与合成

i 1
这种近似表示所产生的平方误差为
E t2 e t1
N
2
f (t) ci gi (t) dt
i 1
定理 3.1-1 设｛gi(t)｝在(t1, t2)区间上是关于某一类信号f(t) 的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都
可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合， 即
f (t) ci gi (t)
V c1V1 c2V2 crVr cnVn
式中，Vi·Vj=0(i≠j) 第r个分量的系数
cr
V Vr Vr Vr
3.1.2 信号的正交分解
1. 正交函数 设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t) 成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为
• .在一个周期内只有有限个间断点； • .在一个周期内有有限个极值点； • .在一个周期内函数绝对可积，即
t 0T f (t) dt t0
• 一般周期信号都满足这些条件.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.2周期信号的分解与合成
• 3.2.1周期信号的三角级数表示
{cosn1t, ……sinn1t}
• 3.2.2周期信号的复指数表示
t2 f (t) 2 dt
t1
i
t2 t1
ci gi (t)
2dt
(3.1-16)
式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即能量守恒。定理3.1-2 有时也称为帕塞瓦尔定理。
3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
3.2.1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnΩt, sinnΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数 集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt， sinnΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
(t1, t2 ) (3.1-14)
i
式中，ci为加权系数，且有
ci
t2 t1
f
(t ) gi* (t )dt
t2 t1
gi (t) 2dt
(3.1-15)
式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级
数，ci称为傅里叶系数。
定理 3.1-2 在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.113)式有
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示”
• 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
傅里叶生平
傅立叶的两个最主要的贡献
• “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号 的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0 不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为
1,cost,cos2t,,sin t,sin 2t,
f
(t)
a0 2
a1
cost
a2
cos2t
an
cosnt
b1 sin t b2 sin 2t bn sin nt
信号的分解
求响应
引言
再迭加
时域分析: (t) 卷积积分
自变量为 t
频域分析: e jt 傅立叶变换
自变量为 j
复频域分析: e st 拉普拉斯变换 自变量为 S = +j
结论
• LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征， 通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系 统的特性。
3.1 信号的正交分解
式中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 式(3.2 - 5)就是周期信号f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数 展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各 函数的周期T相同，故上述展开式在(-∞, ∞)区间也是成立的。
可得加权系数：
狄利赫利条件：
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
2. 矢量的分解
c2V2
V2
2
o
1
V1
V c1V1
图 3.1-3 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
图 3.1-4 三维空间矢量的分解
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交 的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1, V2, …，Vn} 为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精 确地表示为这n个正交矢量的线性组合， 即
• “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表 示”——傅里叶的第二个主要论点
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t)dt
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的 线性组合就可逼近定义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
N
f (t) c1g1(t) c2g2 (t) cr gr (t) cN gN (t) ci gi (t)
fe (t) f1(t) c12 f2 (t)
E t2 e t1
fe(t) 2dt
2. 信号的正交展开
设有一函数集｛g1(t), g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间
(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, …，N)都有
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 Ki
第3章 连续信号与系统的频域分 析
本章重点和要点
• 利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱 • 利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱 • 理解信号的时域与频域间的关系 • 掌握傅里叶变换定义、性质、应用 • 掌握系统的频域分析方法 • 掌握取样定理及其应用 • 理解频谱分析在通信系统中的应用
• 回顾时域分析中利用卷积 对信号进行分解继而求出 响应的思路
{
e
j
n
t 1
}
3.1周期信号的分解与合成
• 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合， 为不同信号之间进行比较提供了途径。
2.从系统分析角度 已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特 性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下 的总响应； 而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增 强一目了然。