一次函数图象的变换

一次函数图象的变换——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。

知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m 个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：

例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析: y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h

点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），

将点（1，-1）代入y=2x+h中得：

-1=2×1+h

h=-3

所以平移后直线的解析式为y=2x-3

例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。

分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0 , 2 ）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1 , 2 ）。设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k=2不变，以及点（1 , 2 ）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。

解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.

易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，

则此点按要求平移后的点为：

平移后得到的点（ 1 , 2 ）在直线y=2x+h 上

则：2=2×1+h

h=0

所以平移后的直线解析式为y=2x

总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。 练习：1、点(0,1)向下平移2个单位后的坐标是________，

直线y =2x +1向下平移2个单位后的解析式是_____________.

2、直线y=2x +1向右平移2个单位后的解析式是_____________.

3、直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向______平移(填“上”或“下”)____单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3______平移(填“左”或“右”)_____单位长度得到．

答案：1、（0，-1）；y=2x-1 2、 y=2x-3 3、上 16 左 2

2 向上平移3个单位

向右平移1个单位 ( , )

3、关于直线x=5对称（作图）

由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10

所以点C （-x+10, y）

设点（x,y）在直线l上，

则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。

即：y=2（-x+10）+6

y=-2x+26

所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26.

总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。

关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；

关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；

关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题

中分析的方法去求对称点。

练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。

2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称，

求k、b的值。

答案：1、y=-5x-3;y=x+2

分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在

关于x轴对称的直线y=-x-2上，所以直线为y=x+2.

2、y=2x+8

分析：设点（x,y）在直线y=kx+b上，而直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称，则（-x,y）在直线y= -2x+8上，所以有y=-2(-x)+8,即：y=2x+8 所以k=2,b=8

一次函数图象的变换——旋转

江苏省兴化市竹泓初级中学225716 徐荣圣

求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标绕着某一点旋转一定角度变化解决问题。

知识点：当旋转的角度为180°时，两条直线关于这点成中心对称。设旋转后直线上任一点（x , y），则关于旋转点（m , n）成中心的对称的点为（2m-x,2n-y）,此点在旋转前的直线上。若旋转的角度不是180°，则需根据已知的条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求解。

例1、已知直线y=6x+6，将直线绕着坐标原点o旋转180°，求旋转后的直线的解析式。

分析：直线绕着坐标原点o旋转180°，即绕点（0,0）旋转180°。

可设点（x , y）在旋转后的直线上，则点（-x , -y）在直线y=6x+6上，带入就可以求出旋转后的直线解析式。

解：设旋转后直线上任一点的坐标为（x , y），由关于原点（0 , 0）成中心对称的坐标关系，则（-x , -y）在直线y=6x+6上。

所以-y=6(-x)+6,

即y=-6x+6

所以旋转后的直线的解析式为y=-6x+6。

例2、已知直线y=-x+8与x轴，y轴分别交于A,B两点。点C在

直线y=-x+8上，点C的横坐标为6。将直线绕着C点逆时针旋转一

个角度后，交x轴于点D，且CA=CD。求旋转后的直线的解析式。

分析：从图中可知，若知道点C和点D的坐标，

再用待定系数法就可以求出旋转后的

直线的解析式。

解：过点C作CE⊥x轴于点E。显然△ACD为等腰三角形。

把x=6代入y=-x+8，得y=2，故点C（6,2），E(6,0)。

易知A（8,0）,由等腰三角形的性质知D点坐标为（4,0）。

旋转后的直线过C、D两点，利用待定系数法可知y=x-4,