(文理通用)201X届高考数学大二轮复习 第1部分 专题2 函数与导数 第3讲 导数的简单应用练习

第一部分 专题二 第三讲 导数的简单应用

A 组

1．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( A )

A ．y ＝3x －1

B ．y ＝－3x －1

C ．y ＝3x ＋1

D ．y ＝－2x －1

[解析] k ＝y ′|x ＝0＝(e x ＋x e x ＋2)|x ＝0＝3，

∴切线方程为y ＝3x －1，故选A ．

2．(文)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，

则f (1)＋f ′(1)＝( D )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] 由条件知(1，f (1))在直线x －y ＋2＝0上，且f ′(1)＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝3＋1＝4.

(理)(2017·烟台质检)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛1

4(1＋2x )d x ，则该数列的前5项和S 5为( C )

A ．18

B ．3

C ．2423

D ．2425

[解析] a 4＝⎠⎛1

4(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝18， 因为数列{a n }是等比数列，

故18＝23

q 3，解得q ＝3， 所以S 5＝231－351－3＝2423

.故选C. 3．已知常数a 、b 、c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( C )

A ．－8122

B ．13

C ．2

D ．5

[解析] 依题意得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－2,3]，于是有3a >0，－2＋3＝－

2b 3a ，－2×3＝c 3a

， ∴b ＝－3a 2

，c ＝－18a ，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，于是有f (3)＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115，－812

a ＝－81，a ＝2，故选C. 4．若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12

，0)内单调递增，则a 的取值范围是( B )

A ．[14，1)

B ．[34，1)

C ．(94，＋∞)

D ．(1，94)

[解析] 由x 3－ax >0得x (x 2－a )>0.

则有⎩⎨⎧ x >0x 2－a >0或⎩⎨⎧ x <0，

x 2－a <0，

所以x >a 或－a

即函数f (x )的定义域为(a ，＋∞)∪(－a ，0)．

令g (x )＝x 3－ax ，则g ′(x )＝3x 2－a ，

当g ′(x )≥0时，x ≥3a

3，不合要求，

由g ′(x )<0得－3a

3

从而g (x )在x ∈(－3a

3，0)上是减函数，

又函数f (x )在x ∈(－1

2，0)内单调递增，

则有⎩⎪⎨⎪⎧ 0

－a ≤－1

2，－3a 3≤－1

2，

所以34

≤a <1. 5．(2018·辽宁大连一模)函数f (x )＝e x ·sin x 在点(0，f (0))处的切线方程是y ＝x .

[解析] ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，

∴函数f (x )的图象在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .

6．已知函数f (x )＝12

x 2＋3ax －ln x ，若f (x )在区间[13

，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为[89，＋∞).

[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋3a －1x ≥0在[13，2]上恒成立，即3a ≥－x ＋1x 在[13

，2]上恒成立．

又y ＝－x ＋1x 在[13，2]上单调递减， ∴(－x ＋1x )max ＝83

， ∴3a ≥83，即a ≥89

. 7．(文)若函数y ＝－13

x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是a >0. [解析] y ′＝－x 2

＋a ，若y ＝－13x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.

(理)(2018·临沂模拟)如图，已知A (0，14

)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝64

. [解析] 因为点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，

所以y 0＝x 20，

则△OAP 的面积S ＝12|OA ||x 0|＝12×14x 0＝18

x 0， 阴影部分的面积为∫x 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30

， 因为阴影部分面积与△OAP 的面积相等，

所以13x 30＝18

x 0， 即x 20＝38

. 所以x 0＝38＝64

. 8．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．

(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；

(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求实数a 的取值范围．

[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．

当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，