数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法

类型一：公式法1

例1. 已知数列{}n a 满足1a 12n n a a +-=*

()n N ∈，求{}n a 的通项公式。

例2.已知数列{}n a 满足1a =1

3n n

a a += *()n N ∈，求数列的通项公式。

变式练习：

1.已知数列{}n a 满足1a =110n n a a +-+=*()n N ∈，{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足16a =-，

13n n a a +=+*()n N ∈，求数列)(1n f a a n n =-+，利用累加法

(逐差相加法)求解

3.已知数列{}n a 满足

1231n n n a a +=+⨯+， *()n N ∈，

13a =，求数列{}n a 的通项公式。

4.已知数列{}n a 中，12a =，

11

ln(1n n a a n +=++，求数列{}

n a 的通项公式。

类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解

例：在数列{}n a 中，已知11a =，

1(1)n n na n a -=+，(2)n ≥，求数

列{}n a 的通项公式。

变式练习：

1.已知数列{}n a 满足

n n a n n

a 1

1+=

+，(n N ∈列{}n a 的通项公式。

2.已知31=a ，n a 1=

+)1(≥n ，求数列{}n a 式。

3.已知数列 {}n a 125n n n a a +=⨯*()n N ∈13a =，求数列{}n a 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a =

解法：这种类型一般利用

n 2.已知数列{}n a 的前n 项和为

n S ，251n S n n =+-

n λ+=n n a b 为等比数列

例：已知数列{}n a 中，11=a ，

121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通

项公式。

变式练习：

1. 已知数列{}n a 满足13a =，

121n n a a +=-

*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公

式。

2.已知数列{}n a 中，11=a ，

6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的

通项公式。

3.已知数列{}n a 的前n 项和为

n

S ，且

232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。

类型六：交叉项问题

解法：

列。

例：已知数列{}n a 满足1a =122

n

n n a a a +=

+*()n N ∈，求{}n a 的通项公式。

变式练习：

1.已知数列{}n a 满足1a =1(1)n n na n a +=++

(1)n n +，

*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公

式。

⎭

⎩以

p

λ

为公差的等差数列； 数列求和的常用方法

类型一：公式法

例 .已知3

log 1

log 23=

x ，求32x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+n x 的前n

项和.

变式练习

1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求

n S .

2.等比数列}{n a 的前n 项和

1

2-=n n S ,求

2

232221n

a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和：

2

32

1

,,721,421,1112-+⋅⋅⋅+++-n n ，…

变式练习

1.已知数列}{n a 中

n n n a 32+=，求n S .

2.已知数列}{n a 中n n n a 2

1

)12(++=，求n S .

类型三：倒序相加法 例

.

3sin 2sin 1sin 222⋅⋅⋅+++

89sin 2

+的值.

1.已知x

x f +=

11

)(，求

)3()2()1(f f f ++

公式；

（2）设n

n

n b a c =

，求数列}{n c 的又1

2

+⋅=

n n n a a b ，求数列}{n b 的

前n 项的和.

3.求和

求数列的通项与求和作业

1.已知数列}{n a 的首项11=a

（1）若12n n a a +=+，则

n a =__________；

（2）若

12n n

a a +=，则

n a =_________

（3）若11n n a a n +=++，则

n a =__________；