向量的数量积
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a b a b cos b a cos b a
思考：
( ab )c a(bc ) 能否对任意向量a,b,c都成立？
即：向量数量积运算不满足结合律
（2）数乘结合律：
(a) b (a b) a (b)
若 0，则显然成立
若 0，
( a )与b；a与b；a与( b )的夹角分别是什么？
B
b
O
a
A
（1）若 0，则向量 a与b方向相同；
a
Ob B
A
（2）若 ，则向量 a与b方向相反；
b
a
B
O
A
即当 0或 时，向量a与b互相平行。
（3）若 ，则向量 a与b垂直，B
2
b
记作 a b
O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求
B
b
O
a
A
向量的数量积的说明 ab |a||b|cosθ
1、a b 不能写成 a b，且“”不能省略。
2、向量的数量积是一个数量,不是向量。
当 a ,b 为非零向量时，数量积的正负
由夹角余弦值决定。
3、规定 0 a 0
2
4、特别记 a a a
例1、已知 | a | 5,| b | 4, (1)当a 与b的夹角是1200 时，求a b； (2)当a b 时，求a b； (3)当a // b 时，求a b.
向量的数量积的常用公式
例4、已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b 在 a 方向上的投影； （2）ra在r b 方向上的投影； （3）a b
k （4） 为何值时，a 2b 与 k a b 互相垂直？
（5）（a 2b）（ a 3b）
（6）（a b）2
类比猜想
向量的数量积
是
（1）交换律： a b b a
否 都
（2）结合律： (a b) c a (b c)
成
（3）分配律： (a b) c a c b c
立 ？
（4）数乘结合律(：a) b (a b) a (b)
验证向量数量积的运算律 （1）交换律：a b b a
量AC CB ，即AC CB 0 。
B O
uur r uur r
解：设
则
uur
AC
AO
r
r
a,OC
uur
a b ,CB
r a
b
r
b
，
由此可得：AuuCr
uur
CB
rr
a b
rr
a b
r2
a
r2
b
r
| a |2
r
| b |2
r2 r2 0
B
b
θ┐
O a B1 A
(1)
B
B
b
b
┐ θ a ┓θ a
B1 O A O(B1) A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
B
b
θ┐
O a B1 A
B
B
b
b
┐ θ a ┓θ a
B1 O A O(B1) A
0
(1)
r
uuu2r
b cos OB1
(2)
r2
uuur
b cos OB1
（3）
r2
b cos 0
│b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a│cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(1)投影是一个数量，不是向量。 (2)当 为锐角时投影为正值 OB1
当 为钝角时投影为负值- OB1 当 为直角时投影为0
r
当 为0时投影为 b
4
4
r r rr 1、已知：a b 1, a与b夹角为1200，
rr 问t取何值时，a tb 最小？
例6、用向量方法证明：
径所对的圆周角为直角。 C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙分uO析ur上：任要意u证ur一∠点A。CuBu求r=9证0uu°∠r ，AC只B须=9证0°向A
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
五、小结
1、向量的夹角 2、向量数量积的定义 3、向量数量积的性质 4、向量数量积的运算律
r
当为 时投影为- b
5、向量的数量积的几何意义
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
两个向量a、b 的数量积是其中的一个向量a 的模 a 与 另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（3）分配律：( a b )c a c bc
向量a、b、a + b
求（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
C'
C
平移向量至
始点重合
120 60
1200
A
B
D
2、向量的数量积的定义
为
一般地，如果两个非零向量
（0 ），那么我们把
|aa、|b|b的|c夹os角θ
叫做向量 a与b 的数量积，记作 a b ，
即
a b |a||b|cos θ
b
在c上的投影分别是 OM、MN、 ON, 则
a a+b
(a + b) ·c = ON |c|
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例3、证明
2
2
(1)(a b)2 a 2a b b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
奎屯
D、 不能确定
3、在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是
C
（ C）
A
B
4、向量的数量积的运算律
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？
实数乘法（1）交换律：ab ba
（2）结合律：(ab)c a(bc)
（3）分配律：(a b)c ac bc
(2) 已知ABC，AB a, AC b, 当a b 0时，ABC为__直__角___三角形。
(3)已知向量a满足a2 8，则| a | __2__2___
1、已知 a, b, c均为非零向量,试
判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (×)
(2)0 a 0 ( × )
若 0,
( a )与b；a与b；a与( b )的夹角又是什么？
（3）分配律：(a b) c a c b c
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义又是什么？
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算； 运算的结果仍是向量
问题2: F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cosθ 其 是中F力与Fs和的位夹移角s，是而向功量W，是数量.
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）AB与AC 的数量积； （2）AB与BC 的数量积；
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
已知a,b均为非零向量，且a与b的夹角为θ
（1）当a与b同向时,ab | a | | b |
当a与b反向时,ab | a | | b |
即 a // b a b | a || b |
（7） a b
（8）2a 3b
rr
rrr
例5、已知 a 1，b 2，且a b与a垂直，
rr
求a与b的夹角
解： a b与a垂直
（a b） a 0 即a2 b a 0
2
2
ab a a 1
cos a b
ab
1 2
2 2
θ 0，π a与b的夹角为
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
(4)a a
2
a
|
a |2
来自百度文库
(√)
(5)若a b 0,则a与b中至少有一个为0.
(×)
2、在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
B、 直角三角形 （ D ）
C、 钝角三角形
新疆 王新敞
(2)a b a b 0
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
| a b|| a ||b| 成立吗?
（3）| ab|| ar||br|
ab
(4)cos θ r r
ab
2
(5)a a a a cos 0 a
2
2
即 a a
例2、填空
(1) 若 | a | 12，| b | 9，a b 54 2 , 则a与b 的夹角θ __1_35_0___
W
|F||s|cos
θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
对于两个非零向量a、b，如果以O为起点，
作OA a，OB b, 那么射线OA、OB的夹角
叫做向量a与向量b的夹角，其中0 .
思考：
( ab )c a(bc ) 能否对任意向量a,b,c都成立？
即：向量数量积运算不满足结合律
（2）数乘结合律：
(a) b (a b) a (b)
若 0，则显然成立
若 0，
( a )与b；a与b；a与( b )的夹角分别是什么？
B
b
O
a
A
（1）若 0，则向量 a与b方向相同；
a
Ob B
A
（2）若 ，则向量 a与b方向相反；
b
a
B
O
A
即当 0或 时，向量a与b互相平行。
（3）若 ，则向量 a与b垂直，B
2
b
记作 a b
O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求
B
b
O
a
A
向量的数量积的说明 ab |a||b|cosθ
1、a b 不能写成 a b，且“”不能省略。
2、向量的数量积是一个数量,不是向量。
当 a ,b 为非零向量时，数量积的正负
由夹角余弦值决定。
3、规定 0 a 0
2
4、特别记 a a a
例1、已知 | a | 5,| b | 4, (1)当a 与b的夹角是1200 时，求a b； (2)当a b 时，求a b； (3)当a // b 时，求a b.
向量的数量积的常用公式
例4、已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b 在 a 方向上的投影； （2）ra在r b 方向上的投影； （3）a b
k （4） 为何值时，a 2b 与 k a b 互相垂直？
（5）（a 2b）（ a 3b）
（6）（a b）2
类比猜想
向量的数量积
是
（1）交换律： a b b a
否 都
（2）结合律： (a b) c a (b c)
成
（3）分配律： (a b) c a c b c
立 ？
（4）数乘结合律(：a) b (a b) a (b)
验证向量数量积的运算律 （1）交换律：a b b a
量AC CB ，即AC CB 0 。
B O
uur r uur r
解：设
则
uur
AC
AO
r
r
a,OC
uur
a b ,CB
r a
b
r
b
，
由此可得：AuuCr
uur
CB
rr
a b
rr
a b
r2
a
r2
b
r
| a |2
r
| b |2
r2 r2 0
B
b
θ┐
O a B1 A
(1)
B
B
b
b
┐ θ a ┓θ a
B1 O A O(B1) A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
B
b
θ┐
O a B1 A
B
B
b
b
┐ θ a ┓θ a
B1 O A O(B1) A
0
(1)
r
uuu2r
b cos OB1
(2)
r2
uuur
b cos OB1
（3）
r2
b cos 0
│b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a│cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(1)投影是一个数量，不是向量。 (2)当 为锐角时投影为正值 OB1
当 为钝角时投影为负值- OB1 当 为直角时投影为0
r
当 为0时投影为 b
4
4
r r rr 1、已知：a b 1, a与b夹角为1200，
rr 问t取何值时，a tb 最小？
例6、用向量方法证明：
径所对的圆周角为直角。 C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙分uO析ur上：任要意u证ur一∠点A。CuBu求r=9证0uu°∠r ，AC只B须=9证0°向A
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
五、小结
1、向量的夹角 2、向量数量积的定义 3、向量数量积的性质 4、向量数量积的运算律
r
当为 时投影为- b
5、向量的数量积的几何意义
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
两个向量a、b 的数量积是其中的一个向量a 的模 a 与 另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（3）分配律：( a b )c a c bc
向量a、b、a + b
求（1）AB与AC的夹角；
（2）AB与BC的夹角。
C'
C
平移向量至
始点重合
120 60
1200
A
B
D
2、向量的数量积的定义
为
一般地，如果两个非零向量
（0 ），那么我们把
|aa、|b|b的|c夹os角θ
叫做向量 a与b 的数量积，记作 a b ，
即
a b |a||b|cos θ
b
在c上的投影分别是 OM、MN、 ON, 则
a a+b
(a + b) ·c = ON |c|
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例3、证明
2
2
(1)(a b)2 a 2a b b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
奎屯
D、 不能确定
3、在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是
C
（ C）
A
B
4、向量的数量积的运算律
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？
实数乘法（1）交换律：ab ba
（2）结合律：(ab)c a(bc)
（3）分配律：(a b)c ac bc
(2) 已知ABC，AB a, AC b, 当a b 0时，ABC为__直__角___三角形。
(3)已知向量a满足a2 8，则| a | __2__2___
1、已知 a, b, c均为非零向量,试
判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (×)
(2)0 a 0 ( × )
若 0,
( a )与b；a与b；a与( b )的夹角又是什么？
（3）分配律：(a b) c a c b c
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义又是什么？
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算； 运算的结果仍是向量
问题2: F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cosθ 其 是中F力与Fs和的位夹移角s，是而向功量W，是数量.
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）AB与AC 的数量积； （2）AB与BC 的数量积；
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
已知a,b均为非零向量，且a与b的夹角为θ
（1）当a与b同向时,ab | a | | b |
当a与b反向时,ab | a | | b |
即 a // b a b | a || b |
（7） a b
（8）2a 3b
rr
rrr
例5、已知 a 1，b 2，且a b与a垂直，
rr
求a与b的夹角
解： a b与a垂直
（a b） a 0 即a2 b a 0
2
2
ab a a 1
cos a b
ab
1 2
2 2
θ 0，π a与b的夹角为
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
(4)a a
2
a
|
a |2
来自百度文库
(√)
(5)若a b 0,则a与b中至少有一个为0.
(×)
2、在ABC中，AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
B、 直角三角形 （ D ）
C、 钝角三角形
新疆 王新敞
(2)a b a b 0
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
| a b|| a ||b| 成立吗?
（3）| ab|| ar||br|
ab
(4)cos θ r r
ab
2
(5)a a a a cos 0 a
2
2
即 a a
例2、填空
(1) 若 | a | 12，| b | 9，a b 54 2 , 则a与b 的夹角θ __1_35_0___
W
|F||s|cos
θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
对于两个非零向量a、b，如果以O为起点，
作OA a，OB b, 那么射线OA、OB的夹角
叫做向量a与向量b的夹角，其中0 .