第5章 画法几何直线与平面 平面与平面

b m n
●
●
作 图：
h
1(2)
a
f
c
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上， 点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。
四．一般位置直线与一般位置平面相交 1.一般位置直线与一般位置平面相交求交 点，需作一个辅助平面（辅助平面法）。 2.求交点的一般步骤：
(1)过已知直线作一辅助平面（一般为投 影面垂直面）；
• 垂直于同一投影面的两个平 面相交，其交线也垂直于相 同的投影面（方向已确定）， 利用这两个平面的积聚投影 的交点求交线。
〔例6〕求两平面的交 线MN并判别可见性。
⑴
a b e ● m(n)
空间及投影分析：
平面ABC与DEF都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
直角投影定理
平面垂 线的投 影特性
〔例10〕过平面外一点作平面的垂线。
a′
•
c′
2′ 1′
作图思路： （1）在已知平 面内找两条相 交直线，其中 一条为水平线， 另一条为正平 线； （2）利用直角 投影的特性作 出所求直线。
b′ e′ e
c b
•
d′
2 1
a
d
〔例11〕过点A作平面垂直于已知直线EF
求作一般位置平面内的两条直线和特
殊位置平面的两个交点的投影，再连
接这两个交点的同名投影即得交线的
投影。
〔例7 〕求两平面的交线MN并判别可见性。
b f e m ● a e
● ● ●
空间及投影分析：
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
x
空间及投影分析： b 平面ABC是一铅垂面， n 其水平投影积聚成一条直 k 线，该直线与mn的交点即 1 (2) a ● 为K点的水平投影。 c m 作图： ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知， KN k b 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。
3.角度问题 （1）直线与平面的夹角； （2）平面与平面的夹角。
(2)求辅助平面和已知平面的交线； (3)确定此交线和已知直线的交点，此交 点即为所求直线与平面的交点； (4)判别可见性。
〔例8 〕 求直线与平面的交线（辅助平面法）
PV
1
k
步骤： 1．过EF作正 垂平面P。
2
2．求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
2
k
1
1
m m
k
QV
e
2 e k 1 n l
1．用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点K、 E。 2．连接两个 共有点，画 出交线KE。
两平面相交，判别可见性
3 1 ( 2 )
4
2
3
4) (
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1
[例9] 过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线 EF相交。
• 2.求两个一般位置平面交线的步骤： （1）在适当位置作两个辅助平面T1、T2； （2）求辅助平面T1与P及Q的交线AB和CD，以及 辅助平面T2与P及Q的交线EF和KL； （3）求AB和CD的交点Ⅰ及EF和KL的交点Ⅱ； （4）连接Ⅰ和Ⅱ，即得所求交线。
PV n 2 l 两一般 位置平面相 交，求交线 步骤：
点、直线和平面的图解方法
1.定位问题 点、线、面的位置关系，求作交点、 交线、平面等。 2.度量问题 （1）线段实长、平面实形； （2）距离：点线、点面、线面、面面； （3）角度：线线、线面、面面。 3.综合问题
二．作图问题举例
• 1.定位问题
〔例13〕过A作直线既平行于平面BCD又和已知直线MN相交。 （1）过A作平面ⅠAⅡ平行于已知平面BCD； （2）求已知直线MN与平面ⅠAⅡ的交点K； （3）连接A、K，即的所求。
问题：
● 求直线与平面的交点。 ●
判别两者之间的相互遮挡关系， 即判别可见性。
1．一般位置直线与特殊位置平面相交 （1）求交点 直接利用特殊位 置平面的积聚投 影与直线的同名 投影的交点（直 线与平面的交点 的其中一个投影） 求出交点的其它 投影。
直线与特殊位置平 面交点画法分析
〔例4〕求直线与铅锤面、正垂面的交点M、N。
● ●
2．特殊位置直线与一般位置平面相交
b m
k
a x n
●
●
1(2)
c
b
k● 2 m(n) ● 1
●
a
c
辅助直 线法
空间及投影分析： 直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图： 用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。
e′
•
a′
f′
f
a
•
（1）过已知点 作一水平线、 一正平线； （2）利用直角 投影的特性 作出所求平 面。
e
〔例12〕过已知点作直线和已知直线垂直相交。
e′
a′
f′ f
a
（1）过已知点 作平面垂直于 已知直线； （2）求所作平 面于已知直线 的交点； （3）已知点与 交点的连线即 为所求直线。
求点到直线的距离
x
a
c d
e
o
f
h
c
b
e
[例3] 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s m f k
n
r r n
e
k f s
e
m
第二节
相
来自百度文库
交
直线与平面相交
平面与平面相交 一．一般位置直线与特殊位置平面相交 特殊位置直线与一般位置平面相交
要点：
交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。
二．两特殊位置平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要解决的问题：
① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
平面与平面相交
M
K F
N
L
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
e
二．平面与平面垂直
若一平面经过另一平面的一条垂 线，则此二平面 互相垂直。 〔例13〕过A点作 2′ 3′ 平面垂直于已知 a′ 面并平行于ⅠⅡ。 • n′ （1）过已知点A作 直线AN垂直于已 m′ 1′ 知平面； 4′ n （2）过A作直线 2 1 AM平行于ⅠⅡ。
•
m
a
4
3
第四节
一．问题
以铅垂面为辅助平面
2
k 步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。 2．求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。 k
1
PH
1
2
五．两一般位置平面相交 • 两个一般位置平 面相交求交线， 需作两个辅助平 面。求出两个平 面的任意两个不 重合的公共点， 再用直线连接这 两个公共点，即 为所求交线。
2.距离问题
〔例14〕求作交叉两直线LA和BC的公垂线和距离。 （1）过BC作平面P∥LA； （2）过LA上任意一点（图中过A点）作平面P的垂线AK； （3）求所作垂线AK 于平面P的交点K； （4）作MK∥LA,交 BC于M； （5）作MN∥AK，交 LA于N，MN即所求 公垂线； （6）用直角三角形法 求MN实长，即为 LA与BC间的距离。
A P
b′
a
PH
a
H
B PH
b
b
二．两平面平行 判定规则：
若一平面上的两相交直线对应平行 于另一平面上的两相交直线，则这 两平面相互平行。
b c d a c a b d e f e f
x
o
• 若两投影面垂直面相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影必相互平行。
b d a f h
画法几何
直线与平面 第五章 平面与平面
§5~1 平行
§5~2 相交
§5~3 垂直 §5~4 点、直线和平面的图解方法
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第一节
平
行
直线与平面、平面与平面相对位置包括： 平行、相交和垂直。
包 括
直线与平面平行 平面与平面平行
一．直线与平面平行 判定规则： 若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必相互平行。
f
c
d a d
●
●
n
e
作 图：
c
f
m
① 求交线 ② 判别可见性 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
能否不用重 能! 从正面投影上可看出， 影点判别？
b 如何判别？
可通过正面投影 直观地进行判别。
三．一般位置平面与特殊位置平面相交 • 一般位置平面与特殊位置平面相交，
其交线投影的画法可归结为：
分 析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P 交于H；连接KH，KH即为所求。
K F H E
作 图
PV m 1 2 n
h
1．过点K作平 面KMN// ABC平面。 2．求直线EF 与平面KMN的 交点H 。
h
n
2
3．连接KH， KH即为所求。
m 1
第三节
垂
直
一．直线与平面垂直
a′
m′
QV
n′ b′
b a
m
n
PH
（2）可见性判别
1）直接观察法：读出直线与平面在空间 的趋势（上行或下行），从而确定直线 的可见性；
2）重影点法：利用直线和平面上的重影 点的可见性，确定直线的可见性； 3）交点是直线可见部分与不可见部分的 分界点。
〔例5〕 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
例1：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b cm
●
n
正平线 o
x a
a
c m
●
n
b
唯一解
例2：判别AB与CDE是否互相平行？
b′ d′
1′ a′ c′ d
b c 1 e e′
a
• 当平面与投影面垂直时，直线与该 平面的平行关系可直接在该平面具 有积聚性的投影中反映出来。
A
a′
• 一直线若与一平面内的任意两根相交直线垂直， 则这根直线和该平面垂直；一直线若垂直于一平 面，则这条直线垂直于该平面内的任意直线。 • 平面垂线的投影具有确定的方向：平面垂线的水 平投影必垂直于这个平面内的水平线的水平投影； 平面垂线的正面投影必垂直于这个平面内的正平 线的正面投影。
平面垂线投影特 性