高考数学一轮复习 第2章 第2节 函数的单调性与最值课件 理 苏教版

作 ymax＝f(x0)
ymin＝f(x0)
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1)函数 f(x)＝2x＋1 在(－∞，＋∞)上是增函数．( )
(2)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区
间是[1，＋∞)．( )
(3)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第二节 函数的单调性与最值
析
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
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1
考纲传真
内容
要求
AB C
函数的
√
基本性
质
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1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A.如果对于区间 I 内的任意两
定义
个值 x1，x2 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) 那 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ， 么就说函数 f(x)在区间 I 上是单 那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
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2．(教材改编题)已知函数 f(x)＝－2x2－ax，若对于区间[1,2] 内任意两个不等的实数 p，q，不等式fpp－－fqq>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
[解析] 由题意 f(x)＝－2x2－ax 在[1,2]上是增函数， ∴－a4≥2，∴a≤－8. [答案] (－∞，－8]
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[解析] (1)由 x2－1＞0 得 x＞1 或 x＜－1， ∴函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 令 t＝x2－1，因为 y＝log2t 在 t∈(0，＋∞)上为增函数， t＝x2－1 在 x∈(－∞，－1)上是减函数， 所以函数 f(x)递减区间为(－∞，－1)．
[答案] (－∞，－1)
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3．函数 y＝|x|的单调递增区间是________． [解析] y＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0， 故单调递增区间是[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)
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4．对于函数 f(x)，x∈D，若 x1，x2∈D 且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0， 则函数在区间 D 上是单调________函数．
[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)] 符号相同，即若 x1<x2 则 f(x1)<f(x2)，若 x1>x2 则 f(x1)>f(x2)．故函数 f(x)为单调递增函数．
[答案] 递增
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5．若函数 f(x)在 R 上是减函数，则 f(|x|)<f(1)的解集是________．
调增函数
调减函数
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(2)单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 I 上是单调增(减)函数 ，则称区间 I 为 y＝f(x)
的单调增(减)区间．
(3)复合函数的单调性
函数 y＝f(u)，u＝g(x)，复合构成 y＝f(g(x))，若 y＝f(u)，u＝
g(x)具有单调性，则 y＝f(g(x))也具有单调性，规律如下表：
[解析] ∵f(x)在 R 上是减函数，且 f(|x|)<f(1)， ∴|x|>1，因此 x>1 或 x<－1. [答案] {x|x>1 或 x<－1}
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考向 1 函数单调性的判断 【典例 1】 (1)(2014·无锡模拟)函数 f(x)＝log2(x2－1)的单调递 减区间为________． (2)试讨论函数 f(x)＝x2a－x 1，x∈(－1,1)的单调性(其中 a≠0)．
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(2)法一：设－1＜x1＜x2＜1，
则 f(x1)－f(x2)＝x21a－x11－x22a－x21＝axx221－－x11xx212－x2＋11.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0，x1x2＋1＞0.
∴x2x－21－x11xx122x－2＋11＞0.
因此，当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，
(4)函数 f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为 0.( )
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[解析] (1)正确．(2)[1，＋∞)可能是单调递增区间的子集．故 (2)错误．(3)单调区间一般不能用∪联结，y＝1x在(－∞，0)上单调 递减，在(0，＋∞)也单调递减，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上 不是单调函数，故(3)错误．(4)3x＋1>1，若最小值为 0 必须有 3x＋ 1＝1.故(4)错误．
∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；
当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1精,1品)上为增函数．
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法二：f′(x)＝ax2－x2－1－122ax2＝－xa2－x2＋121. 当 a＞0 时，f′(x)＜0；当 a＜0 时，f′(x)＞0. ∴当 a＞0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数． 当 a＜0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
y＝f(u) 增 增 减 减
u＝g(x) 增 减 增 减
y＝f(g(x)) 增 减 减 增
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2.函数的最值
Biblioteka Baidu前提
设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈A
对任意的 x∈A，都 条件
有 f(x)≤f(x0) .
对于任意的 x∈A，都 有 f(x)≥f(x0) ．
结论 f(x0)是 y＝f(x)的最大值，记 f(x0)是 y＝f(x)的最小值，记作
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【规律方法】 1．求解第(1)题时，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用 已知函数的单调性；(4)导数法． 3．函数 y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数 y＝f(t)和内层函数 t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
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【变式训练 1】 (1)(2014·苏州调研)若函数 f(x)＝|2x＋a|的单 调递增区间是[3，＋∞)，求 a 的值．
(2)已知函数 f(x)＝2x＋ax的定义域为(0,2](a≥8 的常数)，试判断 f(x)在[解定]义域(1上)f(的x)＝单|调2x＋性a．|＝2－x＋2xa－，ax，≥x－ <－a2，a2.