结构力学(I)-01 结构静力分析篇(几何组成分析)@@

约束有多余 一 (statically indeterminate structure)
布置合理
定 有 多
超静定结构：仅由平衡条件求不 出全部反力和内力
几何瞬变 约束数目够 余
内力为无穷大
体系
布置不合理 约
或不确定
束
几何常变 缺少必要的
不存在静力解答
体系
约束
1-4-2 讨论
关于无穷远的虚铰：一此虚个铰虚的铰二在杆无与穷另远两：铰若的组连成 一个虚铰在无穷远 线不平行则几何不变；否则
主从结构
固定两刚片
从刚片出发，由内而外，内外联合形成整体体系。
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。
故该体系为无多余约束的几何不变体系。
2、若上部体系与基础由不交于一点的三杆相连，可去掉基 础，只分析上部体系。（当体系用多于三个约束与基础 相连时，则必须将基础视为一个刚片参与体系分析）
几何可变；
三杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
两个虚铰在无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链不平行则几何不变； 否则几何可变；
连接n个结点的复链杆相当于 2n-3个单链杆
复铰 复刚
一个连接 n个刚片的复铰相当 于(n-1)个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当 3(n-1)个约束。
1-2-3 必要约束、多余约束
注：并非所有的约束都能减少自由度。
必要约束 ( necessary restraints)：体 系中起到改变自由度作用的 约束。
两刚片规则推论：两个刚片三杆连，三杆不共点且不平行，
组成没有多于约束的几何不变体系。 A B
三刚片规则推论：三刚片用六根链杆两两相联，若三个瞬
铰的转动中心不在同一直线上，则组成没 有无多余约束的几何不变体系。
A
C
B
每个组成规则及其推论都有基本要求和附加条件。
？？ 如果附加条件不具备，后果将如何
1-3-2 瞬变体系的概念
D
E
g＝7 h＝1
b＝4
W = 3×8－( 3×7+2×1＋4)＝－3
A
BC
刚片本身含有内部多余约束
体系具有比组成几何不变体 系要求多3个约束。
例题：计算图示体系的计算自由度
E
F
G
H
A
B
C
D
m＝13 g＝0 h＝18
b＝3
W = 3×13－(2×18＋3)＝0
体系具有组成几何不变 体系所要求的约束数。
瞬变体系不能作为建筑结构使用
二刚片体系
有限交点
常变体系
无限交点
瞬变体系
三个规则只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
C
C
C
A
BA
BA
B
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数 • 约束布置方式合理
1-3-3 几何组成分析步骤和举例 结构装配方式
从基础出发，由近及远，由小到大
固定Fra Baidu bibliotek点
固定一刚片
个部件；对于铰接链杆体系也可将结点视为部 件，链杆视为约束，利用算法2的公式计算。
h=3
g=1
g=2
h=2
h=1
例题：计算平面刚片体系的计算自由度
K
G
H
D
E
F
m＝9 g＝４
h＝5
b＝4
W = 3×9－( 3×4+2×5＋4)＝１
A
B
C
体系不满足几何不变的必要 条件，故是几何可变体系。
F
G
H m＝8
定，这是虚铰和实铰的区别。通
常我们研究的是指定位置处的瞬
时运动，因此，虚铰和实铰所起
的作用是相同的，都是相对转动
中心。
k
k不是虚铰
只有连接相同两个刚片的链杆才 能形成一个虚铰。
常见约束装置： 单刚结点
1个单刚结点=3个约束
三个链杆如何安排才 能反应实况？
复约束 连接三个或三个以上部件的约束
复链杆
多余约束
多余约束 ( redundent restraints)：体 系中并不能起到消除自由度 作用的约束。
必要约束
注：多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与变形。
注：必要约束与多余约束经常是相对而言的。
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
1-2-4 平面体系的计算自由度
体系自由度 S 就等于体系各组成部分互不连接时 总的自由度数减去体系中的必要约束数。
用公式2计算铰接体系（桁架）更方便。
j＝8
b＝16
W = 2×8－16＝0
例题：计算平面图示体系的计算自由度
E
F
G
H j＝8
b＝16
A
B
C
D W = 2×8－16＝0
进一步考察发现：体系满足几何不变的必要条件, 但第二节间缺少必要约束，第三节间存在多余 约束，致使整个体系的实际自由度大于零，故 该，体系是几何可变体系。
4、 W≤0 是保证体系为几何不变的必要条件，而非充分条 件。要确定体系的几何可变性还需要进一步考察体系 组成是否合理.
§1-3 几何不变体系的组成规则
C A
铰接三角形本身就是一个没有多 余约束的几何不变体系。
一个平面杆系经过分析若能证明 它的几何组成是由一个或几个三 角形组成，就可以断定该体系必 B 是几何不变的。
system)。
从微小运动角度看，这是一个可变体系；
特点：微小运动后即成不变体系；
瞬变体系必存在多余约束。
由微积分原理可知，瞬变体系位形发生微量变化时，构件 长度的变化属高一级的微量，因此可以认为体系发生微量 位形变化时构件无应变发生。
瞬变体系 杆件有应
变吗？
FP
所谓微量变化是指体系的位移值相对 于体系本身几何尺寸来说是无穷小量;
练习：对图示体系作几何组成分析
§1-4 结论与讨论
1-4-1 结论
灵活运用三角形规则，可构造各种静定 结构。结构的组成顺序和受力分析次序密 切相关。 超静定结构可以通过合理地减少多余约 束使其变成静定结构。注意去掉的一定是 多余约束。
要正确地判断结构是静定的还是超静定的， 因为不同结构的受力分析方法不同。
三刚片三铰相连,三铰 不共线,所以该体系为 无多余约束的几何不 变体系.
三刚片三铰相连,三铰 不共线,所以该体系为 无多余约束的几何不 变体系.
例题：对图示体系作几何组成分析
两刚片铰、杆相 连,铰不过杆,所 以该体系为无多 余约束的几何不 变体系.
练习：对图示体系作几何组成分析
练习：对图示体系作几何组成分析
W=0 表明实际约束数等于必需的约束数；如无多余 约束，体系是静定结构。
W<0 表明体系必有多余约束。如为几何不变体系，则 体系是超静定结构。
1-2-5 结果讨论
3、体系自由度S、计算自由度W和多余约束n之间的关系： S=W+n
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度 才是体系的实际自由度。
具有一个多于约束 的几何不变体系
利用虚铰
抛开基础，分析上部，去掉 二元体后，剩下两个刚片用 两根杆相连，故该体系为有 1个自由度的几何可变体系。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
三刚片用不共线三铰相 连，故原体系为无多余 约束的几何不变体系。
三刚片由共线三铰相 连，故原体系为几何 瞬变体系。
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线三铰相连，故原体 系为无多余约束的几何不变体系。
5、由基础开始逐件组装（主从结构） 该体系是几何不变体 系有四个多余约束。
主从结构，顺序安装
所谓有限变化是指体系的位移值相对 于体系本身的几何尺寸来说数学上属 同一量级.
将位形可以发生有限变化的几 何可变体系称为常变体系；将 位形可以发生微量变化的几何 可变体系称为瞬变体系
瞬变体系内力分析
FP
FP
FN
FP
FN
FN
FP
2s in
X2 FP
X1
X1X2F P
不定
瞬变体系的主要特性为:
1. 可发生微量位移，但不能继续运动 2. 在变形位置上会产生很大内力 3. 在原位置上，一般外力不能平衡 4. 在特定荷载下，可以平衡，会产生静不定力 5. 可产生初内力。
链杆和刚片相互转化，从而演化出相应的组成规则。
1-3-1 几何不变体系的组成规则
二元体规则：点与刚片两杆连，二杆不共线 两刚片规则：两个刚片铰、杆连，铰不过杆 三刚片规则：三个刚片三铰连，三铰不共线
组成没有 多余约束 的几何不 变体系
A A
B
B
AC B
二元体规则推论：任何体系增、减二元体，其机动性质不变.
自由度：确定体系位置所需要独立坐标的数目。
A
y
y
A x
y x
1动点具有2自由度 1刚片具有3自由度
x
刚 片：凡本身为几何不变者，均视其为刚片
1-2-2 约束
约束 (restraint)：能限制体系运动的装置。
消除体系自由度的办法是施加约束。
内部约束（体系内各杆之间或结点之间的联系） 外部约束（体系与基础之间的联系)
通过构件变形（刚体 链杆）使体系得到 最大限度的简化，再应用三角形规则分析。
瞬铰和单铰在分析体系动与不动时是等效的， 在确定体系作何种运动时两者不等效的。
W > 0 表明体系存在自由度，肯定是几何可 变体系；W 0 是体系为几何不变体系的必 要条件。如存在3 个必要约束，则体必为几 何不变体系。 难以用三角形规则判断的复杂体系将用其 它方法（如零载法等）辨别。
( geometrically unchangeable system )。
FP 加固
几何可变体系不能作 为建筑结构
一般结构必须是几何 不变体系
§1-2 平面体系几何不变的条件
判断一个体系是否为几何可变， 实际上就是判别该体系是否存 在刚体运动的自由度。
1-2-1 自由度(degrees of freedom)
几何组成分析与静力特征关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不变 体系
几何 可变 体系
无多余约 约束数目正 束的几何 好布置合理 不变体系
(statically determinate structure) 静定结构：仅由平衡条件就可 求出全部反力和内力
有多余约
只有几何不变体系才能 束的几何 作为结构 不变体系
1-2-5 结果讨论
1、计算自由度并不一定等于体系自由度，不等的原因是 由于体系中杆件布置不当引起的，其中有的杆件没有 起到消除自由度的作用。计算自由度仅表明了体系必 需的约束数是否够。
2、计算自由度仍是分析体系约束情况和几何可变性的重 要参考： W>0 表明体系缺少足够的约束,定是几何可变体系;
二元体系
FP
如果三个铰位于一条直 线上，则结点两个圆弧 公切线方向上存在运动 自由度；
一旦结点发生公切线方 向微量位移，三铰就不 在一条直线上，体系的 位形不能继续变化。
FP
FP
凡几何可变体系经过微小位移后就变成几何不变的 体系称为几何瞬变体系(instantaneously changeable
S=（各部件自由度总数）－（必要约束数）
计算自由度W (computational degree of freedom) ：体 系各组成部分互不连接时总的自由度数减 去体系中总的约束数。
W =（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
体系自由度数 S 等于零是体系几何不变的充要条件。 复杂体系的必要约束往往不易直观判定。
常见约束装置： 单约束 仅连接两个部件（刚片或结点）的约束
单链杆 仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状
和铰的位置如何
1个单链杆 = 1个约束。
链杆可以是曲的、折的 杆，只要保持两铰间距 不变，起到两铰连线方 向约束作用即可。
单铰 联结两个刚片的铰。
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不
几何组成分析将不计由于材料变形而引起的微小位 移，视每个杆件为刚体，特别将平面杆系任意几何 不变部分称为刚片。
定义1 在不考虑材料应变的前提下，若不能保证原 体系的几何形状或位置不变，称其为几何可变体系
( geometrically changeable system )。
FP
FP
定义2 在不考虑材料应变的前提下，若能保证原 体系的几何形状和位置不变，称其为几何不变体系
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前 提下，可以改变它的形状及内部组成，即用一个等效 （与外部连结等效）刚片代替它。
• 当刚片仅通过两个铰与外界联系时，可作为链杆使用
链杆代替
• 当刚片通过三个或三个以上铰与外界联系时，可将刚片 看成连接这些铰的内部几何不变部分。
例题：对图示体系作几何组成分析
算法1
W = 3m-(3g+2h+b)
支座链杆数 单铰结点数 单刚结点数 刚片数（不含地基）
算法2
W = 2j-b
单链杆个数 铰结点个数
注意：
1、复连接要换算成单连接。 2、计算时应注意部分刚片内含有内部多余约束。 3、单铰仅指刚片间连接的铰，不含刚片与基础间
的连接的铰支座。 4、利用公式1时候最好将体系中的每个杆件视作一