一次函数的图像和性质

例 1 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：

(1)当x=-1时y 的值；(2)当y=2时x 的值；(3)图象与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（4）当x 为何制值时0,0,0y y y >=<；（5）当14x -<≤时y 的取值范围；（6）14y -<≤时x 的取值范围；（7）求AOB 的面积；（8）方程1302

x -

+=的解

分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题．

解：

1

32y x ∴=-+

列表：

描点连线得图象

（1） 当x=-1时，7

2y = （2） 当y=2时，x=2；

（3） A(6，0)、B(0，3)；

（4） x ＜6时，y ＞0；x=6时，y=0；x ＞6时，y ＜0

（5） 当14x -<≤时，712

y ≤< （6） 当-1≤y ＜4时，-2＜x ≤8；

（7） 1163922

AOB S OA OB =⋅=⨯⨯= （8） 方程1302

x -+=的解是x=6 说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x 值可求y 的值；(2)已知y 的值可求x 的值；

(3)已知x 的变化范围可求y 的变化范围，反之也可求．

函数方程132y x =-+当y 为零时x 的值就是方程方程1302

x -+=的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。

例 2 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k 、b 的情况：

分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k 的正负由图象与y 轴的交点在x 轴的上方

还是下方来决定b 的正负．正比例函数过原点b=0．

解：图(1)中k ＞0，b=0；图(2)中k ＜0，b=0；图(3)中k ＜0，b ＞0；图(4)中k ＜0，b ＜

0．

例3 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M 点，交x 轴于点N(-6，0)，又知点M 位

于第二象限，其横坐标为-4，若△MON 面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．

分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把△MON的面积转化为M点的纵坐标

解：根据题意画示意图，过点M作MC⊥ON于C

∵点N的坐标为(-6，0)

∴|ON|=6

∴MC=5

∵点M在第二象限

∴点M的纵坐标y=5

∴点M的坐标为(-4，5)

∵一次函数解析式为y=k1x+b

正比例函数解析式为y=k2x

直线y=k1x+b经过(-6，0)

∵正比例函数y=k2x图象经过(-4，5)点，