鲁棒

课程论文

题目时滞不确定系统的鲁棒控制器设计

院系信息与控制学院

专业系统科学

学生姓名

学号

指导教师

二Ｏ一三年四月二十日

时滞不确定系统的鲁棒控制器设计：LMI 方法

Eun Tae Jeung, Do Chang Oh, Jong Hae Kim, Hong Bae Park

摘要：针对在状态和控制上的范数有界时变参数不确定性和时变时滞，我们提出了一个鲁棒输出反馈控制器的设计方法。存在的鲁棒输出反馈控制器给出的任何规则的充分条件都是根据三个线性矩阵不等式（LMIs ）。我们从LMIs 的正定解提出一个参数化的鲁棒控制器。 关键字：时滞；不确定系统；LMI ；输出反馈；鲁棒控制器

1引言

最近，时滞不确定系统的镇定问题已经在文学界引起广泛的关注。Shen 在1991研究了状态时滞不确定系统。Mahmoud 和Al-Muthairi 两人在1994年提出了两个反馈控制器。一个是线性无记忆观测状态反馈控制器，另一个是饱和型反馈控制器。1995年， Choi 和 Chun 在状态和控制上进一步延伸了时变时滞镇定不确定系统 。然而，所有设计的控制器都是用了状态反馈。因此，当我们不知道精确的状态量时，我们就不能针对时滞不确定系统直接地得到一个输出反馈控制器。

在本文里，我们把鲁棒状态反馈控制器设计的方法推广到在状态和控制上带有时变时滞的不确定系统。我们认为有充分的条件根据三个线性矩阵不等式（LMIs ）得到被给定的鲁棒输出反馈控制器。最后，从LMIs 的正定解中，我们指出所有的鲁棒控制器都能够在状态矢量空间被参数化。

2.问题公式化

考虑下述带有时滞的不确定系统。

))(())(()())(()(111t d t x t A A t x t A A t x

d d -∆++∆+= )(())(()())((222t d t u t B B t u t B B d d -∆++∆++ (1)

)()(t Cx t y =

其中n R t x ∈)(是状态向量，m R t u ∈)(是控制向量，q R t y ∈)(是输出，2,1,)(=∈i R t d i 具有如下假设的时滞项。

2,1,1)(,)(0=<≤∞<≤i m t d t d i i i (2)

所有的矩阵都是适当的维数。时滞参数不确定性被定义如下：

,111)()(E t F H t A =∆ ,)()(2221E t F H t A d =∆

,)()(333E t F H t B =∆ ,)()(4442E t F H t B d =∆ （3） 其中，和i E i H 4,3,2,1=i 是已知适当维数的常值矩阵，),(t F i 4,3,2,1=i 是未知矩阵函数，其定义域为

,)()()(F )(I t F t F t t F T

i ≤=Ω∈｛：)(t F 的元素是勒贝格可测的｝。 （4）

我们假设（A,B,C ）是可镇定和可检测的。作为（1）式的鲁棒控制器，我们提出了一个动态输出反馈规则。

),()(ˆ)(ˆt y B t x A t x

K K += ),()(ˆ)(t y D t x

C t u K K += （5）

其中K R t x

∈)(ˆ是控制器的状态量，所有的都是适当维数的常值矩阵。当我们应用控制器的（5）式到（1）时，闭环系统被给定为

),()()(1)()()()(2

21111t t A t q t A t t A t d c d c c ξξξ++= (6) 其中 ,)(ˆ)()(⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡=t x

t x t ξ )),(()(11t d t x t q -= ,))((ˆ))(()(222⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=t d t x t d t x t ξ 和

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆+∆++∆+=K K K k c A C B C t B B C D t B B t A A t A ))(())(()()(1，

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∆+=0)()(1111t A A t A d d d c ,

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡∆+∆+=00)(())(()(222221K d d K d d d c C t B B C D t B B t A (7)

3.主要结果

让我们定义一个单独的变量K ，它包括控制器的所有参数

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=K K

K K

A B C D K :， （8） 于是

,)]([)()(000001KC t B B t A A t A C ∆++∆+=

),()(111t A A t A di c ∆+=

[],0)]([)(02221KC I t B B t A d c ∆+= （9）

其中

,0000⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=A A ,000)()(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∆t A t A ,011⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d A A ,0)()(11⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∆=∆t A t A d

,000⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=I B B ,000)()(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∆t B t B ,022⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=d B B ,0)()(22⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∆t B t B d d

,000⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=I C C (10)

(10)式只包含工厂数据，211d c c A A 和是控制器变量K 的仿射形式。让我们定义一个李雅普诺

夫函数为：

[][],)(00)()()()()(:)(00)

()

(21ττξτξτττξξd KC I Q I K C d Rx x t P t t V T T

T t

t d t T t

t d t T

T

⎰

⎰--+

+

= (11)