应力应变关系

§ 4-2 其他材料拉伸时的机械性能
一、其他塑性材料 其他许多金属材料的应力－应变图显示它们也有很好的塑性。其中 16 锰钢是常用的
低合金钢。如图 4－6 所示，16 锰钢的应力－应变曲线与Q235 钢很相似，其弹性模量与 Q235 钢几乎一样，它的抗拉强度σb和流动极限σs较Q235 钢有明显的提高。
倍 试 件 的 标 距 分 别 为 l = 11.3 A 和
l = 5.65 A ，其中 A 为试件的横截面面积。 在试件上安装测量伸长的传感器，然后开 动试验机，缓慢加载。随着载荷 F 的增大， 试件被逐渐拉长，产生伸长变形Δl。通过 力和变形传感器同时记录 F 和Δl，作出试
80
dl 图 4－1
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的
理论。固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。力学家也
已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。材料力学作为固体力
学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力
第二次加载，应力将沿着 BA 路径上升。BA 段将是弹性变形。如果在低于 A 点时卸载，应
力将沿原路径回到 B 点。如果加载到 A 点后继续加载，从 A 点开始产生新的塑性变形。点
A 相当于第二次加载时的屈服点。它比初次加载时的屈服强度高。通过初次加载的塑性变
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形来提高材料的屈服强度，这一现象称为应变硬化（strain hardening）。工程中将钢筋等材 料进行预拉伸，使材料的屈服强度提高，这种做法称为冷作硬化。经冷作硬化处理过的材 料，断裂时的残余变形有所减小。
们知道单向拉伸时，与加力方向成 45o的斜面上
O
切应力最大，其值为τ = σ / 2 。对于低碳钢来说，
E
B
D
ε
切应力超过某极限值是引起晶格滑移的根本原
（a）
因。而晶格之间的滑移导致材料产生不可恢复
σ
的塑性变形。 A
3，强化阶段：
试验发现有些材料，如钢，铝，铜等，在
超过屈服点后，为了继续增加变形，应力需要
通常将试验测得的工程应力σ 和应变ε 绘制成应力－应变图（stress-strain diagram）。
由于实际截面积在缩小，所以工
程应力始终小于真应力。但在从
σ
D
开始加载的大部分过程中截面
σb
积A的变化很小，为了方便起见，
我们用工程应力来绘制应力－ 应变关系曲线。
BC A
E
图 4－2 所示是低碳钢的应
（4－2）
其中ε 是轴向应变，ε’是侧向应变，比例系数μ就是泊松比。工程材料的泊松比在 0.2 到 0.5 之间。E 和μ是表征线弹性的、均质的、各向同性材料的基本材料常数。
2，屈服阶段
低碳钢的拉伸应力－应变图上从B点到C点出现应力值上下抖动，应变增加较快的一段
曲线。这一阶段表明材料开始了非弹性行为。
锰钢σb=915.6 δ=29.9%
镍钢σb=715 δ=53.8%
16 锰钢σb=500 δ=25%
Q235 钢σb=400 δ=29% 青铜σb=247 δ=38.3%
相交与B点，对应的应力就是该材料的 名义屈服强度，记为σ0.2。
ε (%) 0 10 20 30 40 50 60
二、脆性材料
图 4－6
83
从图 4－6 可见，有些金属材料的 应力－应变曲线没有明显的屈服阶段， σ (MPa)
也很难精确地确定比例极限或弹性极
限。没有明显屈服阶段的材料，不存在 屈服极限σs。其他三个阶段仍然比较明 800 显。对这些材料，我国的标准规定，取 对应于试件卸载后产生 0.2%的残余应 600 变的应力值，作为材料的屈服强度，称 为名义屈服强度。具体的方法是（图 4 400 －7），从原点作应力－应变曲线的切 线，在横轴上ε = 0.2% 的A点开始，作 200 与此切线的平行线，与应力－应变曲线
这种现象称为材料的屈服或流动（yielding）。工
σ
程上常取应力值第一次返回的最低点应力为屈 服强度（yield strength）或称为屈服极限、流动
A
C
极限，记作σs。这是表示材料性质的一个重要 指标。低碳钢Q235 的屈服极限σ S ≈ 235MPa 。
低碳钢材料屈服时，在wk.baidu.com光的试件表面能
看到与试件轴向成 45o的斜线，称为滑移线。我
材料塑性性能的指标是截面收缩率，定义为
ψ = A − A1 ×100% A
（4－4）
其中A是原截面面积，A1是试件拉断后，颈缩处最小截面的面积。低碳钢的截面收缩率约
为 60％。
工程上根据材料塑性变形的能力，将材料分为延性材料，（或称为塑性材料，ductile
material），和脆性材料（brittle material）。通常将δ>5％的材料称为延性材料，如钢、铜、 铝等；δ<5％称为脆性材料，如铸铁、石料、混凝土等。应当注意。伸长率δ与弹性模量 E 没有直接的关系。δ表示材料破坏前的变形能力，而 E 表示材料在弹性阶段抵抗变形的能 力。不同成分的钢材，弹性模量大致相同，而它们的伸长率可以有很大的差别。
传记 感 录l 器仪
F
件的力－伸长曲线（force-elongation curve），或称为拉伸图（tensile diagram）。 在试件的标距内，材料处于单向拉伸应力状态，轴向应力σ = F / A 在截面上均匀分
布。其中A是试件加载前的截面积。这一应力称为工程应力。轴向应变 ε = Δl / l 。随着载 荷的增加，试件的截面积在逐步减小，而应力σ a = F / Aa （Aa为随加载而收缩的实际截面 积）称为真应力（true stress）。
第四章 应力应变关系
前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。应力分析仅用到力 的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。这些都没有涉及到所研究物体的 材料性质。本章开始将研究材料的性质。这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系， 显示出材料的力学性能。下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡 克定律。作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
需要指出的是，通常所说的延性材料和脆性材料，是按材料在常温下，以低应变率的
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卸载
低碳钢的弹性极限与比例极限非常接近，以至于很难区
分这两点。由于比例极限很接近弹性极限，所以应力－应变
ε
曲线有明显的线性弹性阶段，这类材料称为线弹性 （linear−elastic）材料。如果比例极限远远低于弹性极限，在
图 4－3
材料的弹性极限内应力－应变呈明显的非线性关系，这类材
料称为非线性弹性（nonlinear−elastic）材料。
图 4－5
二、伸长率和收缩率
试件断裂后，残余的塑性变形可以由断裂后的标距长度l1减去原长l得到。残余伸长量 （l1－l）与原长度l之比定义为残余伸长率，简称伸长率（specific elongation），或称为延伸 率。记为
δ = l1 − l ×100% l
（4－3）
伸长率δ是衡量材料塑性性能的一个重要指标。低碳钢的伸长率为 20～30％。另一个衡量
设计中甚至忽略其抗拉能力，只考虑其抗压能力。另一个重要特征是，脆性材料的断裂总
σ
σ(MPa)
σ0.2
B
O
A 0.2%
ε
图 4－7
140 120
100
80
60
40
20
ε%
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
图 4－8
是突然发生。不象塑性材料那样，断裂以前发生很大塑性变形，同时也可吸收很多能量， 有破坏的前兆，提醒人们的注意。因此，脆性材料不宜制作承受动载荷的重要部件。
deformation）。B点对应的应力称为弹性极限（elastic limit），记为σe。
并不是所有材料的应力－应变曲线从加载开始都有线
性阶段的。有些材料，比如橡胶，其应力－应变关系从一开 始就呈非线性（图 4－3）。尽管低碳钢在弹性极限前的应力
σ 加载
－应变曲线与橡胶的弹性曲线很不相同，但它们都是弹性变 形，即是能够完全恢复原状的变形。
§4-1 低碳钢的拉伸试验
在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。事实上，在第一
章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。它描述了很大一类材料在小变形范围，
在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。低碳钢 Q235 是工程上常用的
金属材料。这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
工程上常用的脆性材料有铸铁、混凝土、陶瓷等。在拉伸试验时，它们从开始受拉伸 直至断裂，试件的变形都非常小。图 4－8 所示是灰口铸铁的应力－应变曲线。由图可见 在拉伸过程中没有屈服现象。试件断裂时变形很小，断裂后的横截面几乎没有什么变化。 材料的伸长率很小，δ ≈0.5-0.6%。脆性材料一般拉伸强度很低，抗压强度比抗拉强度高得 多。工程中主要应用其抗压性能。例如在钢筋混凝土构件中，混凝土主要用来承受压力，
在试件拉伸的同时，其横向的尺寸，即试件的直径会减小。这一现象称为泊松效应。
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同样，如果试件受到轴向压缩，其侧向尺寸会增大。侧向应变可以由试件直径的相对缩小 来测量出，即 ε ' = −Δd / d 。负号表示这是收缩变形。在线性弹性阶段，我们发现侧向应变 与轴向应变成比例关系，可以表示为
ε ' = −με
学性质。这种试验通常是在常温（室温）
下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试
F
验。
一、低碳钢拉伸试验
按照我国的国家标准 “金属拉伸试验 试样” （GB6397－86），将试件按规定做 成标准的尺寸。图 4－1 所示是一根中间直 径为 d 的圆杆型试件，两端的直径比中间 部分大，以便于在试验机夹头上夹持。试 件中间取一段长度为 l 的等直部分作为标 距。对圆截面标准试件，规定标距 l 与直 径 d 的关系为 l = 10d ，或 l = 5d ，分别称 为 10 倍试件和 5 倍试件。试件也可制成截 面为矩形的平板型，平板试件的 10 倍与 5
全恢复原状，没有残余变形。在塑性阶段卸载时，其卸载路径不是沿着原加载路径退回，
而是沿着一条与初始线弹性部分平行的路径卸载。如图 4－4（a）所示，加载时应力沿 OA
上升。假设 A 点已处塑性阶段，从 A 点卸载，则应力将沿 AB 卸载到 B。OB 是不可恢复
的永久变形，即塑性变形。从图上可见，BE 部分是已恢复的弹性应变。如果从 B 点开始
力－应变图，它描述了试件从加 载直到拉断的全过程的应力应 变关系。从图上可见，整个过程
σs σe
σp
ε
可以分为四个阶段，体现了低碳
钢材料的力学特性。 1，弹性阶段：
o 图 4－2
从开始加载到 A 点，OA 是一条直线，表明应力与应变成正比。这个阶段的应力应变
关系可以表示成
σ = Eε
（4－1）
其中比例常数 E 就是弹性模量。这一关系就是前面讲到的胡克定律。图上A点所对应的应
应该指出，从塑性区的 A 点卸载到 B 点，再从点 B 加载 时，卸载与加载并不是精确地沿同一条路径走的。如图 4－4 （b）所示，实际上有一个迟滞回路存在。这个回路包围的一 小块面积表示损耗的能量。
4，颈缩阶段： 超过强度极限后应力将下降，直到最后试件断裂（图 4
－2 的 DE 段）。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件 长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小（图 4－5）。这一现象称为“颈缩”（necking）。颈缩发生在试件 较薄弱的部位。最后在颈缩部位试件断裂。
力σp，称为比例极限（proportional limit）。低碳钢的比例极限σ p ≈ 200MPa 。超过A点后，
应力－应变曲线开始偏离原来的直线路径。图上AB段呈现非线性关系。在点B以内的范围，
试件的变形完全是弹性变形。也就是说，当卸载时，应力－应变曲线沿原路径返回，发生
的变形可以全部恢复。超过B点后变形就不能完全恢复，材料将产生塑性变形（plastic
继续增加。材料又恢复了对变形的抵抗能力。
ε
这种现象称为材料的强化，这一阶段称为强化
O
B
阶段。如低碳钢，图 4－2 的CD阶段是强化阶
（b）
段。在D点达到应力的最高点，该应力值称为材 料的强度极限（ultimate strength），记为σb。低
图 4－4
碳钢的强度极限σb ≈ 400 MPa。
超过了弹性极限后，材料就进入塑性变形阶段。在弹性阶段，完全卸载可以使试件完