多项式曲面拟合模型的优化
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- 1 x1 yp 1 - 1 x2 yp 2
( 4) yp 1 yp 2 , yp n ,
否一定与因变量有相关关 系 , 因而列出 所有可 能出现 的变量 项 是建立数学模型的基 本要求 之一。但是 , 多增 加一个 变量项 就 要多解算一个参数 , 最少已知点的数量也就要多增加一个 , 而 观 测量一定时 , 多余观测量也 就少了 一个。如果 这种不 相关的 变 量项的确存在的话 , 那么 , 使这些与计算结果不相关或者相关 关 系不显著的变量项参与解算 , 将会使算法的时间效率降低 , 不 适 用于实际应用。 2 . 2 变量代换 按照回归函数的分类 , 多项 式曲面 拟合模 型属于 多元非 线 性回归模型。为便于计算 , 通 过变量代 换是可 以将其 转化为 多 元线性回归模型 , 方法如下 : 令 : S i, 0 = 1, S i, 1 = x i, S i, 2 = y i, ,, S i, m - p - 1 = xpi , ,, S i, m - 2 = xi ypi - 1 , S i, m - 1 = ypi 则原公式中的系数矩阵可变为 : 1 S 1, 1 S 1, 2 S 1, 3 S1, 4 S 1, 5 A= 1 , 1 S 2, 1 , Sn, 1 S 2, 2 , S n, 2 S 2, 3 , Sn,
Opti m ization and Application of P olyno m ial Surface F itting M odel
YANG W en-fu , T I AN F eng- rui , WU W en -m in
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( 1. Survey ing& M app ing Institu te of Geop hy sicalP rosp ecting of Shanx i Provincial CoalG eology, J inzhong Shanx i 030600 , China; 2. School of Geodesy and Geomatics, W uhan Univers ity, W uhanH ubei 430079 , China: 3. N o. 115 Survey Institute of Shanx i provincial CoalG eo logy Exp lo ring, D atong Shanx i 037000, China)
Abstract : On th e basis o f reg ressiv e ana ly sis and predict io n com parative ana ly sis , th is paper in troduces the m ethod of testing co rre latio n sign ificance in regressiv e m odel in to po ly nom ia l surface fitt ing in GPS leve ling da ta processing . Through the m odel opt i m izatio n , a h ig h precise fitting calcu lation m eth od w ith a sm a ll quant ity of observat io ns is presen ted . K ey w ord s : GPS leveling ; polynom ial surface fitt ing; corre lation sign ificance tes; t m odel opti m ization; prec ision 0 引言
T - 1
于是得 : f i ( x, y ) = g i ( S 1, S 2 , ,, Sm - 1 ) = a0 + a1 S i, 1 + a 2 S i, 2 + , + am - 1 S i, m - 1 + Ei 回归模型的形式。 2 . 3 检验方法 按照文献 [ 1] 的介绍 , 相关显著性检验应分两步进行 : 1) 考察因变量与 全体 自变 量之 间是 否存 在整 体上 的相 关 关系 , 即检验假设 H 0 Ba 1 = a2 = , = am - 1 = 0 是否成立。如 果成 立 , 说明因变量 与全体自变量之间整体上不存在相关关系 , 需 要 重新考虑数学模 型 ; 如果 拒绝 , 说明 二者 在整 体上 存在 相关 关 系 , 进 而进行第二步检验。 2) 对每一个自变量与因变量 之间的 相关显 著性进 行检验 , 即检验假设 H 0j Ba j = 0 是否 成立。 如果 拒绝 , 说 明相 关关 系 存 在 ; 如 果成立 , 说明因 变量与该自 变量之间 不存在相关 关系 , 应 当剔除。 考虑到多项式曲面拟合模型中因变量与自变 量即使出现了 整体不相关时也不可能对 模型本 身进行 更换的情 况 , 笔者分 析 得到 , 对于多项式曲面拟合模型直接进行第二步检验就可以了。 检验假设 H 0j Baj = 0 是否成立 , 拒绝域 : aj > tA ( n - m ) W= 2 m 0 c jj ( 12) 从式 ( 12) 中明显可以看出 : g i ( S 1 , S 2 , ,, Sm - 1 ) 为多元线 性
3
,
- 1 xn yp n
以 E的数学期望 E ( E) = 0 为 条件 , 求得 其最 小二 乘解 , 具 体为 : X = (A PA )
T - 1
(A PL )
T
( 5)
式中 : P 为已知点观测值的权阵。 实际应用中 , 为便于计算和精度评价 , 应在转换区域范围内 建立区域坐标系 , 以区域坐标值带入进行计算。即令 : xi = $ X i = X i - X 0, yi = $Yi = Yi - Y0, X 0 = 1 n 1 n
# 18# 地矿测绘 2010, 26( 4): 18~ 21 Survey ing andM app ing of G eo logy and M ineral R esources CN 53- 1124 /TD ISSN 1007- 9394
多项式曲面拟合模型的优化
杨文府 , 田丰瑞 , 吴文敏
p 次曲面 项 目 p= 1 转换参数的数量 m 最少已知点的数量 t 3 3 p= 2 6 6 p= 3 10 10 p= 4 15 15 p= 5 21 21
1 数学模型
本文从多项式曲面拟 合的数 学模型 出发 , 介绍了 一种适 合 实际应用的拟合算法 , 即在转换区域范围内建立区域坐标系 , 以 区域坐标值进行计算。同时 , 为评定算法的计算精度 , 选用测 量 残差、 单位权中误差、 极差以及待定点中误差为指标进行控 制。 1 . 1 计算模型 地面上同一点的大 地高 H i、 海 拔高 h i、 大 地水 准面 差距 F i 之间存在着 如下 关 系 ( 当 垂线 偏差 对 高程 的影 响 被 忽略 不 计 时 ): hi = H i - F i 相关关系。即 : F = f i ( x, y ) + Ei i 式中 : Ei为随机误差 。而
( j = 0, 1, 2, ,, m - 1 )的最小二乘估值 , 然后将 aj 和待定高 程的 点 ( 以下称为待定点 )的坐标同时带入 F= f ( x, y ), 进而由式 ( 1 ) 求得该点的 h i。 a0 , a1, a 2, ,, a j, ,, am - 1 一般被称为转换参数。 为区别已知点的 F 和待定 点的 F , 将已 知点 中的 F 以 Li 表 示。将 ( 2 )式写成矩阵形式 : L = AX + E 式中 : L1 L= L2 , Ln a0 X= a1 , am - 1 , E= ,A= 1 1 , 1 E1 E2 , En , 其中 , n\ m 。 x1 x2 , xn y1 y2 , yn x2 1 x2 2 , x2 n x 1y 1 x 2y 2 , xn yn y2 1 y2 2 , y2 n , , , ,
E
n
X i, Y0 = ( 6)
i= 1
, , , ,
S 1, m- 2 S 2, m- 2 , S n, m - 2
S 1, m- 1 S 2, m- 1 , SБайду номын сангаасn, m - 1 ( 11)
E
n
Yi
S2, 4 , S n, 4
S 2, 5 , Sn,
5
i= 1
式中 : X i, Yi 为已知点的平面坐标。 1. 2 精度评定 本文采用测量残差、 单位权中误差、 极差以及待定点中误差 为指标 , 进行算法的精度评价。具体如下 : v1 残差 : V = v2 , vn = L - AX = L - A ( A PA )
# 19#
当有 n( n\ m )个已知 H i、 hi 和 xi, y i 的点 ( 以下称 已知点 ) 时 , 由式 ( 2 )在
E
E = m in 的条 件下 , 运 用最小 二乘 法求得 a j
2
行相关显著性检验 , 其目的在 于剔除那 些与因 变量相 关关系 不 显著 , 甚至不相 关的自变量 , 使得因变量与每一个自变量之间 存 在显著的相关关系 , 从而达到模型优化的目的。 从数学模型的建立、 解算及效果来看 , 可以认为多项式曲 面 拟合法就是数理统计中回归分析和预测估计的组合运用。拟 合 法计算所需的已知点相当 于回归 计算中 的抽样观 测值 ; 而拟 合 法中的待定点计算相当于数理统计中利用回归系 数进行的预测 估计 ; 回归系数 就是拟合计算中的转换参数 ; 解算方法就是最 小 二乘法。 在按照式 ( 2 )建 立高 程拟 合计算 模型 的时 候 , 并不 知道 由 - 1 自变量 ( x, y ) 组成的 变量项 (如 xp i、 xp y i、 ,、 xm ypi - 1 、 ypi 等 ) 是 i
( 1. 山西省煤炭地质物探测绘院 , 山西 晋中 山西 大同 037000)
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*
030600 ; 2. 武汉大学 测绘学院 , 湖北 武汉
430079; 3 . 山西省煤炭地质 115 勘查院 ,
摘要 : 以多项式曲面拟合的数学模型为出发点 , 通过回归分析与预测估计对 比分析 , 将数理 统计中对回 归模型进 行相关显著 性 检验的方法引入到 GPS 水准测量数据处理的多项式曲 面拟合中。同时 , 通过 模型优化 , 实 现了一 种能够利 用较少 观测量 进行较 高 精度拟合计算的方法 。 关键词 : GPS 水准测量 ; 多项式曲面拟合 ; 相关显著性检验 ; 模型优化 ; 精度 中图分类号 : P 2281 4; P 2241 1 文献标识码 : B 文章编 号 : 1007- 9394( 2010) 04- 0018- 04
多项式曲面拟合 法是 GPS 水准 测量 中一 种比 较常 用的 数 据处理方法 , 但其适用范围有限 , 即观测 值的数量必须满足模型 解算的要求。对于曲面 拟合来 说 , 观 测量越 多越能 够准确 地计 算转换参数 , 但是 , 观 测量太 大又会 加大计算 强度。为 此 , 本文 探讨了一种在较 少观 测量 情况 下进 行高 精度 的曲 面拟 合的 方 法。表 1 列 出了 进行一 阶至 五阶曲 面拟 合所需 最少 已知 点的 数量。 表 1 多项式曲面拟合所需最少已 知点数量 A sm a ll quantity of known po ints requ ired by po lyno m ial surface fitting
2 f i ( x, y ) = a0 + a1 x i + a2 yi + a3 x 2 i + a4 xi y i + a5 yi + , + a m - p - 1# - 1 xpi + am - p xp y i + , + am - 2 x i ypy - 1 + am - 1 ypi i
T ab. 1
( 1)
多项式曲面拟合模型认为 F i 与 平面坐标 xi, y i 之 间存在 着 ( 2)
( 3)
式中 : m =
收稿日期 : 2010 - 08- 04
( p + 1) ( p + 2) , p\ 0 且为整数。 2
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第 26 卷第 4 期
杨 文府 , 田丰瑞 , 吴文敏 : 多项式曲面拟合模型的优化
( 4) yp 1 yp 2 , yp n ,
否一定与因变量有相关关 系 , 因而列出 所有可 能出现 的变量 项 是建立数学模型的基 本要求 之一。但是 , 多增 加一个 变量项 就 要多解算一个参数 , 最少已知点的数量也就要多增加一个 , 而 观 测量一定时 , 多余观测量也 就少了 一个。如果 这种不 相关的 变 量项的确存在的话 , 那么 , 使这些与计算结果不相关或者相关 关 系不显著的变量项参与解算 , 将会使算法的时间效率降低 , 不 适 用于实际应用。 2 . 2 变量代换 按照回归函数的分类 , 多项 式曲面 拟合模 型属于 多元非 线 性回归模型。为便于计算 , 通 过变量代 换是可 以将其 转化为 多 元线性回归模型 , 方法如下 : 令 : S i, 0 = 1, S i, 1 = x i, S i, 2 = y i, ,, S i, m - p - 1 = xpi , ,, S i, m - 2 = xi ypi - 1 , S i, m - 1 = ypi 则原公式中的系数矩阵可变为 : 1 S 1, 1 S 1, 2 S 1, 3 S1, 4 S 1, 5 A= 1 , 1 S 2, 1 , Sn, 1 S 2, 2 , S n, 2 S 2, 3 , Sn,
Opti m ization and Application of P olyno m ial Surface F itting M odel
YANG W en-fu , T I AN F eng- rui , WU W en -m in
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( 1. Survey ing& M app ing Institu te of Geop hy sicalP rosp ecting of Shanx i Provincial CoalG eology, J inzhong Shanx i 030600 , China; 2. School of Geodesy and Geomatics, W uhan Univers ity, W uhanH ubei 430079 , China: 3. N o. 115 Survey Institute of Shanx i provincial CoalG eo logy Exp lo ring, D atong Shanx i 037000, China)
Abstract : On th e basis o f reg ressiv e ana ly sis and predict io n com parative ana ly sis , th is paper in troduces the m ethod of testing co rre latio n sign ificance in regressiv e m odel in to po ly nom ia l surface fitt ing in GPS leve ling da ta processing . Through the m odel opt i m izatio n , a h ig h precise fitting calcu lation m eth od w ith a sm a ll quant ity of observat io ns is presen ted . K ey w ord s : GPS leveling ; polynom ial surface fitt ing; corre lation sign ificance tes; t m odel opti m ization; prec ision 0 引言
T - 1
于是得 : f i ( x, y ) = g i ( S 1, S 2 , ,, Sm - 1 ) = a0 + a1 S i, 1 + a 2 S i, 2 + , + am - 1 S i, m - 1 + Ei 回归模型的形式。 2 . 3 检验方法 按照文献 [ 1] 的介绍 , 相关显著性检验应分两步进行 : 1) 考察因变量与 全体 自变 量之 间是 否存 在整 体上 的相 关 关系 , 即检验假设 H 0 Ba 1 = a2 = , = am - 1 = 0 是否成立。如 果成 立 , 说明因变量 与全体自变量之间整体上不存在相关关系 , 需 要 重新考虑数学模 型 ; 如果 拒绝 , 说明 二者 在整 体上 存在 相关 关 系 , 进 而进行第二步检验。 2) 对每一个自变量与因变量 之间的 相关显 著性进 行检验 , 即检验假设 H 0j Ba j = 0 是否 成立。 如果 拒绝 , 说 明相 关关 系 存 在 ; 如 果成立 , 说明因 变量与该自 变量之间 不存在相关 关系 , 应 当剔除。 考虑到多项式曲面拟合模型中因变量与自变 量即使出现了 整体不相关时也不可能对 模型本 身进行 更换的情 况 , 笔者分 析 得到 , 对于多项式曲面拟合模型直接进行第二步检验就可以了。 检验假设 H 0j Baj = 0 是否成立 , 拒绝域 : aj > tA ( n - m ) W= 2 m 0 c jj ( 12) 从式 ( 12) 中明显可以看出 : g i ( S 1 , S 2 , ,, Sm - 1 ) 为多元线 性
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- 1 xn yp n
以 E的数学期望 E ( E) = 0 为 条件 , 求得 其最 小二 乘解 , 具 体为 : X = (A PA )
T - 1
(A PL )
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式中 : P 为已知点观测值的权阵。 实际应用中 , 为便于计算和精度评价 , 应在转换区域范围内 建立区域坐标系 , 以区域坐标值带入进行计算。即令 : xi = $ X i = X i - X 0, yi = $Yi = Yi - Y0, X 0 = 1 n 1 n
# 18# 地矿测绘 2010, 26( 4): 18~ 21 Survey ing andM app ing of G eo logy and M ineral R esources CN 53- 1124 /TD ISSN 1007- 9394
多项式曲面拟合模型的优化
杨文府 , 田丰瑞 , 吴文敏
p 次曲面 项 目 p= 1 转换参数的数量 m 最少已知点的数量 t 3 3 p= 2 6 6 p= 3 10 10 p= 4 15 15 p= 5 21 21
1 数学模型
本文从多项式曲面拟 合的数 学模型 出发 , 介绍了 一种适 合 实际应用的拟合算法 , 即在转换区域范围内建立区域坐标系 , 以 区域坐标值进行计算。同时 , 为评定算法的计算精度 , 选用测 量 残差、 单位权中误差、 极差以及待定点中误差为指标进行控 制。 1 . 1 计算模型 地面上同一点的大 地高 H i、 海 拔高 h i、 大 地水 准面 差距 F i 之间存在着 如下 关 系 ( 当 垂线 偏差 对 高程 的影 响 被 忽略 不 计 时 ): hi = H i - F i 相关关系。即 : F = f i ( x, y ) + Ei i 式中 : Ei为随机误差 。而
( j = 0, 1, 2, ,, m - 1 )的最小二乘估值 , 然后将 aj 和待定高 程的 点 ( 以下称为待定点 )的坐标同时带入 F= f ( x, y ), 进而由式 ( 1 ) 求得该点的 h i。 a0 , a1, a 2, ,, a j, ,, am - 1 一般被称为转换参数。 为区别已知点的 F 和待定 点的 F , 将已 知点 中的 F 以 Li 表 示。将 ( 2 )式写成矩阵形式 : L = AX + E 式中 : L1 L= L2 , Ln a0 X= a1 , am - 1 , E= ,A= 1 1 , 1 E1 E2 , En , 其中 , n\ m 。 x1 x2 , xn y1 y2 , yn x2 1 x2 2 , x2 n x 1y 1 x 2y 2 , xn yn y2 1 y2 2 , y2 n , , , ,
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X i, Y0 = ( 6)
i= 1
, , , ,
S 1, m- 2 S 2, m- 2 , S n, m - 2
S 1, m- 1 S 2, m- 1 , SБайду номын сангаасn, m - 1 ( 11)
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S2, 4 , S n, 4
S 2, 5 , Sn,
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i= 1
式中 : X i, Yi 为已知点的平面坐标。 1. 2 精度评定 本文采用测量残差、 单位权中误差、 极差以及待定点中误差 为指标 , 进行算法的精度评价。具体如下 : v1 残差 : V = v2 , vn = L - AX = L - A ( A PA )
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当有 n( n\ m )个已知 H i、 hi 和 xi, y i 的点 ( 以下称 已知点 ) 时 , 由式 ( 2 )在
E
E = m in 的条 件下 , 运 用最小 二乘 法求得 a j
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行相关显著性检验 , 其目的在 于剔除那 些与因 变量相 关关系 不 显著 , 甚至不相 关的自变量 , 使得因变量与每一个自变量之间 存 在显著的相关关系 , 从而达到模型优化的目的。 从数学模型的建立、 解算及效果来看 , 可以认为多项式曲 面 拟合法就是数理统计中回归分析和预测估计的组合运用。拟 合 法计算所需的已知点相当 于回归 计算中 的抽样观 测值 ; 而拟 合 法中的待定点计算相当于数理统计中利用回归系 数进行的预测 估计 ; 回归系数 就是拟合计算中的转换参数 ; 解算方法就是最 小 二乘法。 在按照式 ( 2 )建 立高 程拟 合计算 模型 的时 候 , 并不 知道 由 - 1 自变量 ( x, y ) 组成的 变量项 (如 xp i、 xp y i、 ,、 xm ypi - 1 、 ypi 等 ) 是 i
( 1. 山西省煤炭地质物探测绘院 , 山西 晋中 山西 大同 037000)
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030600 ; 2. 武汉大学 测绘学院 , 湖北 武汉
430079; 3 . 山西省煤炭地质 115 勘查院 ,
摘要 : 以多项式曲面拟合的数学模型为出发点 , 通过回归分析与预测估计对 比分析 , 将数理 统计中对回 归模型进 行相关显著 性 检验的方法引入到 GPS 水准测量数据处理的多项式曲 面拟合中。同时 , 通过 模型优化 , 实 现了一 种能够利 用较少 观测量 进行较 高 精度拟合计算的方法 。 关键词 : GPS 水准测量 ; 多项式曲面拟合 ; 相关显著性检验 ; 模型优化 ; 精度 中图分类号 : P 2281 4; P 2241 1 文献标识码 : B 文章编 号 : 1007- 9394( 2010) 04- 0018- 04
多项式曲面拟合 法是 GPS 水准 测量 中一 种比 较常 用的 数 据处理方法 , 但其适用范围有限 , 即观测 值的数量必须满足模型 解算的要求。对于曲面 拟合来 说 , 观 测量越 多越能 够准确 地计 算转换参数 , 但是 , 观 测量太 大又会 加大计算 强度。为 此 , 本文 探讨了一种在较 少观 测量 情况 下进 行高 精度 的曲 面拟 合的 方 法。表 1 列 出了 进行一 阶至 五阶曲 面拟 合所需 最少 已知 点的 数量。 表 1 多项式曲面拟合所需最少已 知点数量 A sm a ll quantity of known po ints requ ired by po lyno m ial surface fitting
2 f i ( x, y ) = a0 + a1 x i + a2 yi + a3 x 2 i + a4 xi y i + a5 yi + , + a m - p - 1# - 1 xpi + am - p xp y i + , + am - 2 x i ypy - 1 + am - 1 ypi i
T ab. 1
( 1)
多项式曲面拟合模型认为 F i 与 平面坐标 xi, y i 之 间存在 着 ( 2)
( 3)
式中 : m =
收稿日期 : 2010 - 08- 04
( p + 1) ( p + 2) , p\ 0 且为整数。 2
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第 26 卷第 4 期
杨 文府 , 田丰瑞 , 吴文敏 : 多项式曲面拟合模型的优化