多项式拟合

y 5.2857(1.4635)x
为了有一个简单的单项模 型，我们接受某些误差
对于收获的蓝蟹，可见数据倾向为增的、下凹的，改变 3 2 y y的值为 y 或 等，来线性化数据
选取 x 代替x的模型，用最小二乘拟合模型
yk x
y 158.344 x
有时会需要对未来进行预测或者外推，而实际上这些简单的模型预测出 的结果会偏大或者偏小，因此，简单但想模型一般应用于插值二而非外推。
P( xk ) y0 L0 ( x) yn Ln ( x)
( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) Lk ( x) ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
经验模型拟合数据，并进行数据预测
ci 100 ti 205 P7 205
200 300 400 500 600 700 800 430 677 945 1233 1542 1872 2224 430 677 945 1233 1542 1872 2224
多项式的拉格朗日形式： Theorem 1： x0 , x1 ,..., xn 是（n+1）个不同的点，而 y0 , y1,..., yn 如果， 是这些点上对应的观测值，那么，存在一个唯一的最高阶为n 的多项式P(n)，具有性质： yk P( x) 对k=0,1,…,n 这一多项式由下式给定 其中
高阶多项式的优缺点：
虽然通过已知的数据点，但是在端点处会有严重的摆动； 对于已有数据给出精确的拟合结果，但在端点出可能做出了有问题
的预测，如突升或者突降；
高阶多项式系数对数据微小变化的敏感性限制了它在建模中的应
用。
2.1.3 低阶多项式模型
选择低阶多项式，保证数据点多于确定多项式所需系数，从而使得 低阶多项式虽不通过全部数据点，但是光滑化。
2.3 Realization with Matlab
2.1 Modeling with Experiments
提出的原因：
许多情况下，建模者不能构造一个满意的解释已知状况的易于处理 的模型形式，此时为预测其状况，可以进行试验采集数据以构造经验模 型。
2.1.1 简单的单项模型
实 验 建 模
2.1.2 高阶多项式模型
利用导数定义：
则可以利用均差
y x
dy y lim x 0 x dx
来估计导数
带式录音机数据的均差表
表中可以看出，数据基本是二次的，支持用二次多项式作为经验模 型。 2
P( x) a bx cx
寻求一个二次式，极小化偏差平方和
Minimize S
Section: Elapsed Time of a Tape Recorder Revisited
1、应该用多项式吗？ 2、如果应该，几阶多项式合适？ 引入均差概念 对于一个二次多项式，其二阶导数为常数，三阶导数为零，即
P( x) a bx cx
有
2
P( x) b 2cx P( x) 2c P( x) 0
代入上述8个数据点，你和曲线，求得
a0 , a1 ,..., a7 的值
求解得到：
经验模型数据拟合结果对比：
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
-13.9999923 232.9119031 -29.08333188 19.78472156 -5.354166491 0.8013888621 -0.0624999978 0.0019841269
2.1.2 高阶多项式模型
单项模型----------易于进行模型分析：敏感性分析、优化、变化率以及曲线下 面积估计；可用性有限； 多项式模型-------容易积分、微分
Section：Elapsed Time of a Tape Recorder
收集一个特定的录音机的计数器读数（旋转的圈数）和相应的录音机的 播放时间。如何预测可能出现的情况？
(b)收获蓝蟹的观测数据
利用变量z的幂次阶梯表，帮助选择适当的线性变换 幂次阶梯
…
z
z
2
zBiblioteka Baidu
log z
1 z
1 z
1 z2
…
3000000 2500000
6000000 5000000
蓝 鱼 （ 磅 ）
2000000 1500000 1000000
蓝 蟹 （ 磅 ）
4000000 3000000 2000000 1000000 0
500000
0 0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
蓝鱼收成对基底年数（五年一间隔）
蓝蟹收成对应基底年数（五年一间隔）
对于收获的蓝鱼，可见数据倾向为增的、凹的，使用幂 次阶梯挤压右侧尾部向下，采用log y或者其他阶梯向下 的变换代替y 选取log y对x的模型，用最小二乘拟合模型
log y 0.7231 0.1654x
数学建模
Mathematical Modeling
Chapter 2 Methods of Mathematical Modeling and Realization with Matlab
2.1 Method-1：Modeling with Experiments 2.2 Method -2：Modeling with Simulation
Ci ti(s) 100 205 200 430 300 677 400 945 500 1233 600 1542 700 1872 800 2224
经验模型是通过数据的每一点的多项式，8个数据点，应期望一个最高为7的唯 一多项式，记作:
2 3 4 5 6 7 P a a c a c a c a c a c a c a c 7 0 1 2 3 4 5 6 7
2.1.3 低阶多项式模型 2.1.4 三阶样条模型 2.1.5 构造经验模型小结
2.1.1 简单的单项模型: Harvesting Blue Fish/Crabs
Section：
1992年《每日评论》报告了收集到的过去50年中Chesapeake还玩海产品 收成方面的数据，如下:
(a)收获蓝鱼的观测数据；