多项式拟合及例题详解

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200
2、作出海底地貌图
3、危险区域海底地貌图
4、危险区域平面图
150
100
50
0
-50 80
100
120
140
160
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200
薄膜渗透率的测定
VA
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿 透它，从高浓度的溶液向低浓度的溶液
S
扩散的功能，在试制时需测定薄膜被这VB
种分子穿透的能力。测定方法如下：
一、假设
1、薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻膜两侧的每 一处溶液的浓度都是相等的
2、当两溶液的浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜总是从高 浓度溶液向低浓度溶液扩散
3、通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成 正比
4、薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的 性能是相同的
二、符号说明
一、问题分析：
假设：该海域海底是平滑的。由于测量点是散乱分布的，先 在平面上作出测量点的分布图，在利用二维插值方法补充一 些点的水深，然后作出海底曲面图和等高线图，并求出水深 小于5的海域范围。
二、问题求解：
150
1、作出测量点
100
的分布图：
50
0
-50
-100 60
80
100
120
140
160
VACA (t t) VACA (t)
另一方面从B侧渗透至A侧的该物质质量为：
SK (CB CA )t
由质量守恒定律有：
VACA (t t) VACA (t) SK(CB CA )t
由此得：
dCA dt
SK VA
(CB
CA )
又整个容器 中含有该物质的质量应该不变，所以有下式：
VACA (t) VBCB (t) VA A VBB
设VA VB 1000立方厘米，S=10 平方厘米，求容器的 B 部分溶液浓度的测试结果如下表（其中C j 的单位为
毫克/立方厘米）
t j (秒) 100 200 300 400 500
ccjj(105) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 t j (秒) 600 700 800 900 1000
哪些地方船要避免进入。
水道水深测量数据（单位：英尺）
x 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 Y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 Z4868688 X 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 Y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 Z9988949
1、CA(t),CB (t) 表示 t 时刻膜两侧的溶液浓度；
2、 A,B表示初始时刻膜两侧的溶液浓度（单位：
毫克/立方厘米）；
3、K 表示渗透率； 4、VA,VB 表示由薄膜阻隔的容器两侧的体积；
三、建模
考察时段[t,t+Δt]薄膜两侧容器中该物质质量的变化。以容 器A为例，在该时段物质质量的增加量为：
c j (105) 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
此时极小化的函数为：
10
E(K , a, b) [a be20Kt j C j ]2 j 1
用Matlab软件进行计算
多项式的拟合
多项式的拟合（Polynomial Fitting）又称为曲线拟 合(Curve Fitting)，其目的就是在众多的样本点中 进行拟合，找出满足样本点分布的多项式。所用 指令为polyfit，指令格式为：p=polyfit (x,y,n),其中 x与y为样本点向量，n为所求多项式的阶数，p为 求出的多项式。
（2） 二维插值 interp2(x,y,z,xi,yi, ‘method’),其中x和 y是自变量。X是m维向量，指明所给数据网格点的 横坐标，y是n维向量，指明所给数据网格点的纵坐 标，z是mxn维矩阵，标明相应于所给数据网格点的 函数值。向量xi，yi是给定的网格点的横坐标和纵坐 标，指明函数zi=interp2(x,y,z,xi,yi, ‘method’)返回在 网格(xi,yi)处的函数值。method为可选参数，选取方 法同一维。
注意：向量x，y的分量值必须是单调递增的。Xi 和yi应是方向不同的向量。即一个是行向量，另一 个是列向量。
船在该海域会搁浅吗？
在某海域测得一些点(x, y) 处的水深 z（单位：英尺）
由下表给出，水深数据是在低潮时测得的。船的吃水
深度为 5 英尺，问在矩形(75,200) (50,150)里的
即 所以
CA (t)
A
来自百度文库
VB VA
B
VB VA
CB (t)
dCB (t) dt
1 SK (
VA
1 VB
)CB
SK( A
VB
B
VA
)
在利用初始条件 CB (0) B 得
CB (t)
AVA
VA
BVB
VB
VA (B
A)
SK ( 1 1
e
VA VB
)t
VA VB
至 此 ， 问 题 归 结 为 利 用 CB 在 时 刻 t j 的 测 量 数 据
多项式的插值
(1） 一维插值 interp1(x,y,x0, ‘method’) ，其中x , y 分别表示为数据点的横、纵坐标向量，x0为需要插 值的横坐标数据（或数组）。而method为可选参数， 对应于四种方法，可从以下四个值中任选一个：
‘nearest’---------最近邻点插值 ‘linear’-----------线性插值 ‘spline’----------三次样条插值 ‘cubic’-----------立方插值 其中‘nearest’是缺省值。
C j ( j 1,2,, N )来辩识参数 K 和 A,B ，对应的数学
模型为求函数：
E(K, a,b)
N
[a
SK
be
(1 VA
1 VB
)t
j
C j ]2
j 1
的最小值点(K,a, b)，其中：
a AVA BVB , b VA ( B A )
VA VB
VA VB
四、模型求解
用面积 S 的薄膜将容器分成体积分别为VA,VB 的两部分，在两
部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分 子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位 面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系 数 K 表证了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时 测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定 K 的值。