双曲线简单几何性质练习题

双曲线的简单几何性质练习题

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1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 2

10

＝1 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5

2，则C 的渐近线

方程为( ) A ．y ＝±1

4

x

B ．y ＝±13x

C ．y ＝±1

2

x

D ．y ＝±x

3．下列双曲线中离心率为

6

2

的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 2

6

＝1 D.x 24－y 2

10＝1 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )

A ．x 2－y 2＝8

B ．x 2－y 2＝4

C ．y 2－x 2＝8

D ．y 2－x 2＝4 5．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )

A. 3

B.2

C.

52 D.22

6．双曲线x 24＋y 2

k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )

A ．(－10,0)

B ．(－12,0)

C ．(－3,0)

D ．(－60，－12)

7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 2

3

＝1 D.x 25－y 2

4

＝1 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 2

9

＝1的两条渐近线的方程为________．

9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为 ． 10．过双曲线

x 2－

y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π

6

的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．

11．过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N

两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 12．双曲线x 29－y 2

16＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线

的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．

13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)过点(3，－2)，离心率e＝

5 2；

(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．

14．已知双曲线C：x2

a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且

a2

c＝

3

3.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．

参考答案

1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 210－y 2

6

＝1

D.x 26－y 2

10

＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得

a 2＝4，

b 2＝12.所以双曲线方程为

x 24－y 2

12

＝1. 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5

2，则C 的渐近线

方程为( )

A ．y ＝±1

4x

B ．y ＝±1

3x

C ．y ＝±1

2

x

D ．y ＝±x

解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±

b

a x .又离心率为e ＝c

a ＝

a 2＋

b 2

a

＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12

，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12

x .

3．下列双曲线中离心率为6

2

的是( ) A.x 22－y 2

4＝1 B.x 24－y 2

2＝1 C.x 24－y 2

6

＝1 D.x 24－y 2

10

＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2

＝32，∴c 2a 2＝32

，

则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝1

2

，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．

4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )

A ．x 2－y 2＝8

B ．x 2－y 2＝4

C ．y 2－x 2＝8

D ．y 2－x 2＝4

解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，