金融工程 第四章 PPT 利率
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远期利率：
远期利率是由今天零息利率所导出的对应将来某时刻 的预期利率 当前零息利率信息蕴含远期利率信息
举例P56,表４-５，如下页：
一般结论：零息利率是一系列远期利率的平均值
远期利率公式(Equation 4.5 , page57)
由区间 T1到 T2的远期利率RF表达式为：
R2 T2 R1 T1 T2 T1
m
等值年利率： m=1所对应的利率
连续复利：复利频率m趋于无穷大时所对应的利率
• 大多数情况下，连续复利等价于每天计算复利 • 除特别说明，本书将按连续复利计算利息 • 投资$100，以连续复利利率R投资T时期，投资终值 为$100eRT • 对一笔在T时获取$100的投资资金以连续复利利率R 进行贴现，在初始时间t=0时，贴现值为$100e-RT
不同复利频率的利率转换(Page53)
Rc :连续复利利率 Rm:与Rc等价的每年复利m次复利利率
例题：P53 例4-1，例4-2
4.3 零息利率
定义：即期利率、零息利率、零率
N年的零息利率（即期利率或零率）：是指在今天投入 资金，被连续保持N年后所对应的收益率
数据获取：详见4.5 市场直接观察 息票债券价格信息提取
Sample Data (Table 4.3, page 55)
Bond Principal (dollars) Time to Maturity (years) Annual Coupon (dollars) Bond Cash Price (dollars)
100 100 100
0.25 0.50 1.00
平价收益率一般公式：
A=annuity 例：m=2,d=e-0.068*2=0.87284 A=e-0.05*0.5+e-0.058*1+e-0.064*1.5+e-0.068*2=3.70027
4.5 国债收益率零息利率的确定
方法一：观测本息分离债券对应的利率 方法二：从一般国债和国库券价格计算，如：息票 剥离法,例:表４-３中(Page55)，数据见下页。
4.1 利率种类
国债利率：是指投资者投资国库券或国债时所挣得的收益 率，为无风险利率
LIBOR： 是指具有AA信用级别的银行或公司借入1个月, 3
个月, 6个月,或12个月期的资金利率，为本书的无风险利率
（P51业界事例4-1）
再回购利率：是指证券卖出与买回的差价所对应利率
Page 51
Libor and Other Benchmarks-1
计算duration：面值为100美元，劵息为10%的3年期债券， 债券连续复利的年利率为12%，半年付息一次 Table 4.6 期限 (yrs) 现金流 ($) 现值 ($) 权重 时间× 权重 0.025
0.5 1.0
1.5 2.0 2.5 3.0 合计
5 5
5 5 5 105 130
4.709 4.435
3e y 0.5 3e y 1.0 3e y 1.5 103e y 2.0 98.39
其解为 y=0.0676或 6.76%.
平价收益率：使债券价格等于面值的券息利率， P54举例 ，解得ｃ=6.87%
c 0.050.5 c 0.0581.0 c 0.0641.5 c 0.0682.0 e e e (100 )e 100 2 2 2 2
金融工程 Financial Engineering
金工精品课程组
江西财经大学 金融与统计学院
第4章 利率 Interest rate
本章导言
利率及其计算 利率头寸管理 期限结构
内容
4.1 利率种类 4.2 利率的测量 4.3 零息利率 4.4 债券价格 4.5 国库券零息利率的确定 4.6 远期利率 4.7 远期利率合约 4.8 久期 4.9 曲率 4.10 利率期限结构理论
资金A投资n年，按年复利，投资终值：
sin x lim 1 x 0 x 1 1 x 一年复利m次，投资终值为： (1 ) e , lim(1 x) x e lim x x 0 x R m R R R R lim (1 ) lim [(1 ) ] e m m m m
第一个债券：年复利4次的零息利率为 4*(100-97.5)/97.5=0.10256， 连续复利为：4ln(1+0.10256/4)=0.10127 第四个债券：息率为8%，债券价格为96美元，债券本金 为100美元，1.5年期限. 1.5年所对应的零息利率计为R，计算R表达式： 4e-0.１0４６９×0.5+ 4e- 0.１05３６×1.0+ 4e-0.064×1.5+ 104e-R×１.5=96 解得： R=0.10681
零息收益率曲线的形状：不同形状 期望理论：远期利率等于相应时段未来即期利率期望值
市场分割理论：短期、中期、长期之间无关系，各期利率由各
期供需关系决定
流动性偏好理论：投资者喜欢保持资金的流动性，存短贷长，
不支持期望理论【投机性需求和谨慎性需求】
1.5净利息收入管理
假定市场最佳估计是：未来1年期利率等于今天市场上的利率 根据表4-7提供的利率，情况会怎么变化？
4.176 3.933 3.704 73.256 94.213
0.050 0.047
0.044 0.042 0.039 0.778 1.000
0.047
0.066 0.083 0.098 2.333 2.653
Page 60
例4-5 see textbook
线性近似计算 B=94.213-0.25=93.963
R1：对应于期限为T1的零息利率 R2 ：对应于期限为T2的零息利率
期限为Ｔ的瞬时远期利率推导：
未来借贷利率锁定在远期利率 对未来借贷利率投机
未来借贷利率预测 远期利率
业界事例4-2
奥兰治县对收益曲线的赌博
Page 58
4.7 远期利率协议forward rate agreements
远期利率合约（FRA）：这种交易约定在将来某一段 时间交易的一方将以某一利率借入或借出固定数量 的资金。 令：
5家国际大银行：日本东京银行、英国国民西敏士银
行、德国德意志银行、法国巴黎银行和美国摩根担保信
托公司
-Published daily at 11:00 London time for nine currencies
Libor and Other Benchmarks-1
• Euribor -determined in Brussels, banks in continental Europe
RK RF RM L — — — — FRA的约定利率 由今天计算的介于时间T1和T2之间的LIBOR远期利率 在时间T1观察到的T1和T2之间的真正LIBOR即期利率 合约的名义本金
Page 58
公司X(seller)同意在T1和T2之间将资金借给公司Y(buyer)
公司X在T2的现金流:
公司Y在T2的现金流:
Libor (London interbank offered rate):
an arithmetic average interest rate that mature
the cost of borrowing from the point of view of a
panel of preselected banks in London.
4.4 债券价格
债券的理论价格等于债券将来的现金流贴现后 的总和，最精确的方法是对于不同时期的现金 流采用不同的零息贴现利率。 例：一个两年期债券的面值为100美元，每年 劵息利率为 6%，半年负息一次，采用表4.2的 零息利率结构，债券的理论价格为98.39：
3e 0.05 0.5 3e 0.0581.0 3e 0.064 1.5 103e 0.068 2.0 98.39
债券久期的加权平均
权重：与相应债券价格成正比
久期概念的隐含假设：
收益率曲线平行移动
Page 62
4.9 曲率
Page 62
债券曲率定义如下：
1 2B C 2 B y ci ti2 源自文库 yti
i 1 n
B
泰勒展开式：
债券价格变动 可表示为：
Page 62
4.10 利率期限结构理论 Theories of the term structure
期限 (yrs) 1 5 存款利率 3% 3% 按揭利率 6% 6%
假定你将资金存入银行，并且认为利率上升与利率下降的可 能性相同，你此时会将资金以3％的利率存入1年还是5年？此 时人们往往会将资金存入1年，因为将资金锁定在一个较短的 期限里会给人们带来许多方便。 假定你需要住房贷款，仍然认为利率上升与下降的可能性均 等，你此时会以 6 ％的利率贷款1年还是5年？这时人们往往 会选择 5 年期的住房贷款，因为这样做人们承担了较少的融 资风险
FRA的另外一种解释
公司X同意在T1和T2间收入固定利率Rk，同时付出市场未来实现的
浮动LIBOR利率RM
公司Y则反方向收付
Page 58
FRA在T1时刻交割，公司X的现金流：
FRA在T1时刻交割，公司Y的现金流
例4-3 See Page59
Page 59
FRA估值 当RK=RF时， FRA的价值=0 无套利原理 比较两个FRA的价值 第一个FRA： T1和T2间收益率为RF， 因此，在t=0，RK=RF时， FRA的价值=0 第二个FRA ： T1和T2间收益率为RK ，
• BBA-Libor:(British Bankers association),
banks in London
• Tibor, Hibor
4.２ 利率的测量
利率复利频率定义了利率的计量方式 利率在不同计息频率下的相互关系可类比为公 里同英里的关系 举例：P52，表４-１
Page 52
一般公式
债券久期D被表示为：
ci e yti D ti B i 1
n
久期是付款时间t i的加权平均，权重即为t i时刻债券支付的 现金流的现值与总现金流的现值（债券价格）的比率
Page 60
考虑收益率微小变化
上式提出了债券价格和其收益率近似的一阶线性关系
Page 60
0 0 0
97.5 94.9 90.0
100
100
1.50
2.00
8
12
96.0
101.6
19
由息票剥离法得出的零息利率
12
Zero Rate (%)
11
10
10.681 10.469 10.536
10.808
10.127
9 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Maturity (yrs)
20
4.6 远期利率 forward rate
全值计算
B=93.963（精确至小数点第3位）
Page 61
4.8.1 修正久期
当收益率 y为一年复利 m次的利率
BD )y 1 y m BD B ( )y, when m 1 1 y B (
债券价格变化：
定义 D *为债券利率修正久期：
D D 1 y m
*
Page 61
在t=0时，其价值用VFRA表示
Page 59
第二个FRA与第一个FRA的价值差的现值
收入RK的FRA的价值的现值
支出RK的FRA的价值的现值
例4-4 See Page59
Page 59
4.8 久期 Duration(page60)
金融产品的久期是指投资者收到一笔投资的所有现金流支付平 均需要等待的时间 某债券在时刻t i给债券持有人支付的资金流为c i ，i=1，2，… ，n， 债券价格B与连续复利收益率y的关系式 :
Example (Table 4.2, page 54)
到期日 (yrs) 0.5 1.0 1.5 2.0 零息利率 (% ) 5.0 5.8 6.4 6.8
15
４.４.１债券收益率
债券收益率等于使债券贴现的现金流总和等于其 市场价格的贴现率。 假定一债券的理论价格为$98.39，即为市场价格 债券收益率（连续复利法）可由下式计算得到：
债券价格变为：
举例：例4-6 See Page61 绝对额久期=修正久期 X 债券价格
Page 61
债券组合的久期
V x1 B1 x2 B2 dV dB1 dB2 x1 x2 dy dy dy x1 B1 D1 x2 B2 D2 -VD x1 B1 x2 B2 D D1 D2 V V
远期利率是由今天零息利率所导出的对应将来某时刻 的预期利率 当前零息利率信息蕴含远期利率信息
举例P56,表４-５，如下页：
一般结论：零息利率是一系列远期利率的平均值
远期利率公式(Equation 4.5 , page57)
由区间 T1到 T2的远期利率RF表达式为：
R2 T2 R1 T1 T2 T1
m
等值年利率： m=1所对应的利率
连续复利：复利频率m趋于无穷大时所对应的利率
• 大多数情况下，连续复利等价于每天计算复利 • 除特别说明，本书将按连续复利计算利息 • 投资$100，以连续复利利率R投资T时期，投资终值 为$100eRT • 对一笔在T时获取$100的投资资金以连续复利利率R 进行贴现，在初始时间t=0时，贴现值为$100e-RT
不同复利频率的利率转换(Page53)
Rc :连续复利利率 Rm:与Rc等价的每年复利m次复利利率
例题：P53 例4-1，例4-2
4.3 零息利率
定义：即期利率、零息利率、零率
N年的零息利率（即期利率或零率）：是指在今天投入 资金，被连续保持N年后所对应的收益率
数据获取：详见4.5 市场直接观察 息票债券价格信息提取
Sample Data (Table 4.3, page 55)
Bond Principal (dollars) Time to Maturity (years) Annual Coupon (dollars) Bond Cash Price (dollars)
100 100 100
0.25 0.50 1.00
平价收益率一般公式：
A=annuity 例：m=2,d=e-0.068*2=0.87284 A=e-0.05*0.5+e-0.058*1+e-0.064*1.5+e-0.068*2=3.70027
4.5 国债收益率零息利率的确定
方法一：观测本息分离债券对应的利率 方法二：从一般国债和国库券价格计算，如：息票 剥离法,例:表４-３中(Page55)，数据见下页。
4.1 利率种类
国债利率：是指投资者投资国库券或国债时所挣得的收益 率，为无风险利率
LIBOR： 是指具有AA信用级别的银行或公司借入1个月, 3
个月, 6个月,或12个月期的资金利率，为本书的无风险利率
（P51业界事例4-1）
再回购利率：是指证券卖出与买回的差价所对应利率
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Libor and Other Benchmarks-1
计算duration：面值为100美元，劵息为10%的3年期债券， 债券连续复利的年利率为12%，半年付息一次 Table 4.6 期限 (yrs) 现金流 ($) 现值 ($) 权重 时间× 权重 0.025
0.5 1.0
1.5 2.0 2.5 3.0 合计
5 5
5 5 5 105 130
4.709 4.435
3e y 0.5 3e y 1.0 3e y 1.5 103e y 2.0 98.39
其解为 y=0.0676或 6.76%.
平价收益率：使债券价格等于面值的券息利率， P54举例 ，解得ｃ=6.87%
c 0.050.5 c 0.0581.0 c 0.0641.5 c 0.0682.0 e e e (100 )e 100 2 2 2 2
金融工程 Financial Engineering
金工精品课程组
江西财经大学 金融与统计学院
第4章 利率 Interest rate
本章导言
利率及其计算 利率头寸管理 期限结构
内容
4.1 利率种类 4.2 利率的测量 4.3 零息利率 4.4 债券价格 4.5 国库券零息利率的确定 4.6 远期利率 4.7 远期利率合约 4.8 久期 4.9 曲率 4.10 利率期限结构理论
资金A投资n年，按年复利，投资终值：
sin x lim 1 x 0 x 1 1 x 一年复利m次，投资终值为： (1 ) e , lim(1 x) x e lim x x 0 x R m R R R R lim (1 ) lim [(1 ) ] e m m m m
第一个债券：年复利4次的零息利率为 4*(100-97.5)/97.5=0.10256， 连续复利为：4ln(1+0.10256/4)=0.10127 第四个债券：息率为8%，债券价格为96美元，债券本金 为100美元，1.5年期限. 1.5年所对应的零息利率计为R，计算R表达式： 4e-0.１0４６９×0.5+ 4e- 0.１05３６×1.0+ 4e-0.064×1.5+ 104e-R×１.5=96 解得： R=0.10681
零息收益率曲线的形状：不同形状 期望理论：远期利率等于相应时段未来即期利率期望值
市场分割理论：短期、中期、长期之间无关系，各期利率由各
期供需关系决定
流动性偏好理论：投资者喜欢保持资金的流动性，存短贷长，
不支持期望理论【投机性需求和谨慎性需求】
1.5净利息收入管理
假定市场最佳估计是：未来1年期利率等于今天市场上的利率 根据表4-7提供的利率，情况会怎么变化？
4.176 3.933 3.704 73.256 94.213
0.050 0.047
0.044 0.042 0.039 0.778 1.000
0.047
0.066 0.083 0.098 2.333 2.653
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例4-5 see textbook
线性近似计算 B=94.213-0.25=93.963
R1：对应于期限为T1的零息利率 R2 ：对应于期限为T2的零息利率
期限为Ｔ的瞬时远期利率推导：
未来借贷利率锁定在远期利率 对未来借贷利率投机
未来借贷利率预测 远期利率
业界事例4-2
奥兰治县对收益曲线的赌博
Page 58
4.7 远期利率协议forward rate agreements
远期利率合约（FRA）：这种交易约定在将来某一段 时间交易的一方将以某一利率借入或借出固定数量 的资金。 令：
5家国际大银行：日本东京银行、英国国民西敏士银
行、德国德意志银行、法国巴黎银行和美国摩根担保信
托公司
-Published daily at 11:00 London time for nine currencies
Libor and Other Benchmarks-1
• Euribor -determined in Brussels, banks in continental Europe
RK RF RM L — — — — FRA的约定利率 由今天计算的介于时间T1和T2之间的LIBOR远期利率 在时间T1观察到的T1和T2之间的真正LIBOR即期利率 合约的名义本金
Page 58
公司X(seller)同意在T1和T2之间将资金借给公司Y(buyer)
公司X在T2的现金流:
公司Y在T2的现金流:
Libor (London interbank offered rate):
an arithmetic average interest rate that mature
the cost of borrowing from the point of view of a
panel of preselected banks in London.
4.4 债券价格
债券的理论价格等于债券将来的现金流贴现后 的总和，最精确的方法是对于不同时期的现金 流采用不同的零息贴现利率。 例：一个两年期债券的面值为100美元，每年 劵息利率为 6%，半年负息一次，采用表4.2的 零息利率结构，债券的理论价格为98.39：
3e 0.05 0.5 3e 0.0581.0 3e 0.064 1.5 103e 0.068 2.0 98.39
债券久期的加权平均
权重：与相应债券价格成正比
久期概念的隐含假设：
收益率曲线平行移动
Page 62
4.9 曲率
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债券曲率定义如下：
1 2B C 2 B y ci ti2 源自文库 yti
i 1 n
B
泰勒展开式：
债券价格变动 可表示为：
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4.10 利率期限结构理论 Theories of the term structure
期限 (yrs) 1 5 存款利率 3% 3% 按揭利率 6% 6%
假定你将资金存入银行，并且认为利率上升与利率下降的可 能性相同，你此时会将资金以3％的利率存入1年还是5年？此 时人们往往会将资金存入1年，因为将资金锁定在一个较短的 期限里会给人们带来许多方便。 假定你需要住房贷款，仍然认为利率上升与下降的可能性均 等，你此时会以 6 ％的利率贷款1年还是5年？这时人们往往 会选择 5 年期的住房贷款，因为这样做人们承担了较少的融 资风险
FRA的另外一种解释
公司X同意在T1和T2间收入固定利率Rk，同时付出市场未来实现的
浮动LIBOR利率RM
公司Y则反方向收付
Page 58
FRA在T1时刻交割，公司X的现金流：
FRA在T1时刻交割，公司Y的现金流
例4-3 See Page59
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FRA估值 当RK=RF时， FRA的价值=0 无套利原理 比较两个FRA的价值 第一个FRA： T1和T2间收益率为RF， 因此，在t=0，RK=RF时， FRA的价值=0 第二个FRA ： T1和T2间收益率为RK ，
• BBA-Libor:(British Bankers association),
banks in London
• Tibor, Hibor
4.２ 利率的测量
利率复利频率定义了利率的计量方式 利率在不同计息频率下的相互关系可类比为公 里同英里的关系 举例：P52，表４-１
Page 52
一般公式
债券久期D被表示为：
ci e yti D ti B i 1
n
久期是付款时间t i的加权平均，权重即为t i时刻债券支付的 现金流的现值与总现金流的现值（债券价格）的比率
Page 60
考虑收益率微小变化
上式提出了债券价格和其收益率近似的一阶线性关系
Page 60
0 0 0
97.5 94.9 90.0
100
100
1.50
2.00
8
12
96.0
101.6
19
由息票剥离法得出的零息利率
12
Zero Rate (%)
11
10
10.681 10.469 10.536
10.808
10.127
9 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Maturity (yrs)
20
4.6 远期利率 forward rate
全值计算
B=93.963（精确至小数点第3位）
Page 61
4.8.1 修正久期
当收益率 y为一年复利 m次的利率
BD )y 1 y m BD B ( )y, when m 1 1 y B (
债券价格变化：
定义 D *为债券利率修正久期：
D D 1 y m
*
Page 61
在t=0时，其价值用VFRA表示
Page 59
第二个FRA与第一个FRA的价值差的现值
收入RK的FRA的价值的现值
支出RK的FRA的价值的现值
例4-4 See Page59
Page 59
4.8 久期 Duration(page60)
金融产品的久期是指投资者收到一笔投资的所有现金流支付平 均需要等待的时间 某债券在时刻t i给债券持有人支付的资金流为c i ，i=1，2，… ，n， 债券价格B与连续复利收益率y的关系式 :
Example (Table 4.2, page 54)
到期日 (yrs) 0.5 1.0 1.5 2.0 零息利率 (% ) 5.0 5.8 6.4 6.8
15
４.４.１债券收益率
债券收益率等于使债券贴现的现金流总和等于其 市场价格的贴现率。 假定一债券的理论价格为$98.39，即为市场价格 债券收益率（连续复利法）可由下式计算得到：
债券价格变为：
举例：例4-6 See Page61 绝对额久期=修正久期 X 债券价格
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债券组合的久期
V x1 B1 x2 B2 dV dB1 dB2 x1 x2 dy dy dy x1 B1 D1 x2 B2 D2 -VD x1 B1 x2 B2 D D1 D2 V V