弦切角定理

弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧度数的一半
推论: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
• 一般情况下，弦切角、圆周角、圆 心角都是通过它们夹的（或对的）同一 条弧（或等弧）联系起来，因此，当已
知有切线时常添线构建弦切角或添切 点处的半径应用切线的性质。
圆周角
直线和 圆相切
应用
圆心角
弦切角
圆周角
弧的度数
B M
CN
则∠DEF = 500, ∠FEC= 700 .
A
∵A=800,B=600,C=400.
D
F
∴∠DOF=1000, ∴∠DEF=500 . ∵C=400,CE=CF. ∴∠FEC=700 .
O
B
E
C
４.由圆外一点B引圆的切线BA,切点为A,过点B引直线BC 交圆于点C,D,若取BE=BA,求证：∠EAC=∠EAD．
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半径的外端；2.与半径垂直．
应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
• 学习目标： • 一、掌握定理； • 二、定理的应用。
观察辨析
B
A
DC （切点）
B
C
B
m
A
（切点）
C
A
（切点）
B
A
BA
D
A （切点）
C
m
证明：连接BC． ∵AB是⊙O的直径,
B O
∴ ∠ACB＝900. ∴ ∠B +∠CAB＝900.
∵AD⊥CE, ∴ ∠ADC＝900.
A
E
C
D
∴ ∠ACD +∠DAC＝900.
又∵AC是弦,且直线CE和⊙O切于点 C, ∴ ∠ACD =∠B.
∴ ∠DAC=∠CAB,即AC平分∠BAD.
例2: 如图,AD是△ABC中 ∠BAC的平分线,经过点A 的⊙O与BC切于点D,与AB、 AC分别相交于E、F. 求证： EF∥BC.
2.
如图,点A是⊙O与直线l 的公共点,且l⊥OA .在直线l
上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△．
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有
一个公共点，因此 l 是圆的切线．由此可得：
切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
• 展示1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直 线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE垂足为D.求 证:AC平分∠BAD.
• 展示2: 如图,AD是△ABC中∠BAC的平 分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB 、AC分别相交于E、F. 求证：EF∥BC.
B O A
EC D
A
EO F
B
DC
例1:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和⊙O切于点 C,AD⊥CE垂足为D.求证:AC平分∠BAD.
A D
∴Rt△OBC∽Rt△ADB.
O
B
C
E
D 图1 O
A
C B
(C)
D
O 图2
A
B
在图1中,根据圆内接四边形的性质,有∠BCE=∠A. 在图2中,DE是切线, ∠BCE=∠A仍然成立吗?
2.猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A.
3.证明：分三种情况讨论．
１．如图(1)，圆心O ２．如图(2),圆心O在
在△ABC的边BC上. △ABC的内部．即
证明：∵ BE=BA， ∴ ∠BAE=∠BEA．
又∵ BA圆的切线， ∴ ∠ BAC=∠ADC.
B 而∵ ∠EAC=∠BAE－ ∠BAC, 且 ∠EAD=∠BEA－ ∠ADC.
∴ ∠EAC=∠EAD .
A
CE
D
常用模型： △BAC∽△BDA!
课堂小节：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 角叫做弦切角。
B
C
C
. O
A
B
C C
.O
AB
.O
A
B
顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切
的角叫做弦切角。
已知：如图，AB切⊙O于点A,AC与⊙O相交， 即： ∠CAB是弦切角。
1.观察：在图1中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直 线BC与DE的交点落在圆周上.
当DE变为圆的切线时(如图2),你能发现什么现象? E
知识回顾
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.
由此得到：
切线的性质定
理的推论１:经
过圆心且垂直
O.
于切线的直线
必经过切点． l
A
切线的性质定 理的推论２:经 过切点且垂直 于切线的直线 必经过圆心．
∴四点A,D,C,E共圆;四点A,D,C,E共圆;
∴ ∠ADC=∠CFB, ∴ △ADC∽△CFB .
……①
同理可得△ACE∽△CBD .
……②
6.如图,AB为⊙O的直径,BC 、CD为⊙O的切线, B 、D切点.
求证:(1) AD//OC; (2)若⊙O 的半径等于1,求AD·OC 的值.
证明:(1)∵BC 、CD是⊙O 的切线， B 、D切点.
若∠AOC=1200,则∠ ACD = 600 .
A O
∠ACD, ∠ACB, ∠OCD, ∠OCB.
BC D
2.如图，直线MN切⊙O于C，AB是⊙O的直
径,若∠ BCM=400,则∠ ABC等于（ B ）
O
A
A.400 B. 500 C. 450 D.600
3.已知百度文库O是△ABC的内切圆,D,E,F 为切点,若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2,
即△ABC是Rt△.
△ABC为锐角三角形.
CE
E C
3．如图(3),圆心O在 △ABC的外部．即 △ABC为钝角三角形.
C
E
(2)
O ● (1) A
B
●
O
A
B
P D
综上所述，猜想成立.即∠BCE=∠A.
A B
(3)
●O
P
如图，由于角∠BDE是由一条弦和一条切
E
线组成的角，因此给它取名为弦切角.即: (C)
证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠EFD=∠BAD， ∴∠EFD=∠DAC.
又∵⊙O切BC于D, ∴∠FDC= ∠DAC. ∴∠FDC= ∠EFD
∴ EF∥BC
E B
A
O F
D
C
课堂练习：
1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C， 则图中弦切角有 4 个.
∴∠OBC=∠ODC=900. 又∵OB=OD,OC=OC.
∴Rt△OBC≌Rt△ODC.
∴ ∠BOC=∠DOC. 又∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA.
而∵ ∠BOD= ∠OAD+∠ODA=2 ∠OAD, 且 ∠BOD＝2 ∠BOC.
∴ ∠OAD＝∠BOC, ∴ AD//OC. (2)连接BD, ∵ ∠OAD＝∠BOC,
顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边 D
和圆相切的角叫做弦切角.
O
已知:如图,DE切⊙O于点D,DB与⊙O
相交于点B ,则:∠EDB是弦切角.
A
B
4.因此我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
应用格式: 已知:△ABD内接于⊙O ，DE切⊙O于点D, 则:∠EDB= ∠BAD.
5.EF切⊙O于点C,过弦AB的两端点A、B E 分别作AE⊥AB,BF⊥AB,OC交AB于点D. 求证:(1)CE·CF=AD·DB;(2)CD2=AE·BF.
C F
证明:连结AC,BC. ∵EF是⊙O 的切线， A
D
B
O
∴∠ECA=∠CBA, ∠FCB=∠CAB.
又∵ AE⊥AB,BF⊥AB,