区间内函数值正负号的判断方法
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一
数 学教 学
２ ０ １ ７ 年第 １ 期
区 间 内函数 值 正 负号 的判 断方 法
李金 兴
（ 浙江省萧山中学， 浙江 杭州 ３ １ １ ２ ０ １ ）
浙江省 ２ ０ １ ５ 年７ 月学考第 ３ ４ 题如下：
１
Ｙ
设函数 ． 厂 （ ） 一
一
， 其中ｎ 、 ∈
法．
（ ３ ） 若ａ ＜２ ， 则Ｘ ２ ＜ａ ＜Ｘ ｌ ＜２ ， 易知， （ ） 在 （ 一 。 。 ， ７ ３ ２ ） 和（ ｌ ， ２ ） 上 递增 ， 在（ Ｘ ２ ， ａ ） 和（ ａ ， Ｘ １ ）
上递减 ， 在（ ２ ， ＋。 。 ） 上递增， 函 数 图像 如 图 ２ 所
， 因为 １ 一 ＜
０ ， 所 以 ＜２ 时ｆ （ ｘ ） ＞０ 恒成立， 故 Ｍ ｎ Ａ３ ＝
本文将 该 题转 化 为 “ 探求 ｆ （ ｘ ） 在区问 （ 一 。 。 ， ０ ）
和（ ０ ， ＋ ｏ ｏ ） 上 函数值 均可 正可 负的充分条件” ，
从 不 同视 角 揭 示 函 数 值 正 负 号 的 几 种 判 断 方
－
－
图ｌ
１ 一 、
数ｆ （ ｘ ） 的 图像经过 四个象 限的充分条 件． 而由
于 函数解 析 式 中有两 个字 母系 数 ａ 和 ， 使 得
图像 具 有很 大 的不 确 定性 ， 增加 了讨论 难 度．
（ ２ ） 若ａ ＝２ ， 则ｔ 厂 （ ） ＝
不符题意 ．
１ 直接研 究函数的单调性分析极值点和零点
由于 图像 特 征 与 单 调 性 密 切 相 关 ， 所 以可 先 用导数分析 其单 调性， 再 分 析 极 值 点 的 正 负 号和 零 点 的位 置 去 解 决 ．
示． 因此ｘ ＞２ 时， ｆ （ ｘ ） ＜０ ； ａ ＜３ ７＜２ 时， ｆ （ ７ ３ ） ＞ ０ ； 于是 Ｍ ｎ Ａ ｉ ≠ （ ｉ ＝ｌ ， ４ ）
Ｙ ６ ４ Ｊ ３
＝
／ ）
２
因 为， ）＝ ＝ ＝
＋
＝ ＝ ＝
－
５ ｘ ２ ｆ ） 、 ｃ Ｘ ｌ ：
一
、
［ （ 、 ／ ／ ＋１ ） 一（ 、 ／ ／ ｎ ＋２ ） ］ ・ ［ （ 、 ／ ／ 一１ ） ｚ 一（ 、 ／ ／ ｎ 一 ２ ） ］ （ Ｘ － ０ ） ・ （ ｘ －２ ）
３ ７ ＜ａ 时． 厂 （ ） ＜０ ， 所 以Ｍ ｎ ２ ≠ ． 要使 Ｍ ｎ ３ ≠ ， 则 ｏ＜０ ， 即 ｎ＜ ９ 恒 成立・由于 ∈
立， 故 Ｍ ｎ ＝ ， 不符题 意．
２ ０ １ ７ 年第 １ 期
数 学教 学
１ ～ １ ５
综上所 述， 符合题 意 的实 数 ｎ 的取值 范围
１ ， ２ ， ３ ， ４ ） ， 求实数 ａ 的取值范 围． 本 题 研 究 的是 函数 图像 的特 征 ， 探 究 函
２ ５
—
．
ｌ ｔ 蕾 ０ ２ ； ｉ ａ ５
２ ４
：
、 Ｘ
Ｙ ＝ ｌ 厂 （ 而
；
｛ １ ０
—
—
６ 百度文库
８
＾
１ 所 示 ．因此 当 ＜２时 ， ｘ －ａ＜ ｘ一２＜ ０ ， 所 以
＜ ， 易 知 ２＜ ＜ ｎ＜ ２ ； 而
＜ 。 时 ， （ ） ＝ 兰 三
（ １ ， ３ ） ， 所以。≤ ２
．
＞ 。 ， 。 ＜
０＞
＞
＞
， 于是 ） ＞０ 恒成
，
对 函数 ｆ （ ｘ ） ＝二
—
一
ｎ —
ＪＪ 一 ＿
进行分解有 ， ｍ（ ）＝
（ 上
其
＝
两 种 思路．思路 １ ：令 ｇ （ ）＝
、
，
ｎ ＋
， ∈（ １ ， ３ ） ， 所 以在 ≠０ 且 ≠２ 时，
． 厂 （ ） 取值的正负号与ｈ （ ｘ ）＝ 一（ —ｘ ｏ ） （ ｘ一 ０ ） 一２ ） 相同． 考虑三次函数 ＝ｈ （ ｘ ） 的草图，
６
４
Ｒ． 记 １ ＝｛ （ ， ｕ ） ｌ ｘ ＞０ ， Ｙ ＞０ ） ， Ａ２ 一｛ （ ， ） Ｉ ＜０ ， Ｙ＞０ ） ， Ａ ３ ＝｛ （ ， Ｙ ） Ｉ Ｘ＜０ ， Ｙ＜ ０ ） ， Ａ ４＝ ｛ （ ｚ ， Ｙ ） ｉ Ｘ＞０ ， Ｙ＜ ０ ） ； Ｍ ：｛ （ ， Ｙ ） ｌ Ｙ＝， （ ） ） ， 若对 任意 的 ∈（ １ ， ３ ） ， 恒 有 Ｍ ｎ Ａ ｉ ≠ （ ｉ ＝
为 （ 一 詈 ］ ． 反 思：通过 等价转化 ， 只需研究较 简单 函
数的正负号后 ， 大大简化 了解题过程 ． ３ 分解 函数， 化为不 同函数图像间的关系 观 察 得原 函数 是 由两个 简单 函数运 算所
得， 可研究两个 简单函数 图像 间关系来解决 问
题．
因为， （ ）＝ （ ｎ 一２ ） 一（ 一１ ） （ 一０ ） （ 一２ ）
综上 所述， 符 合题意 的实数 ０ 的取值 范围
为 （ 一 ∞ ，
２ 从结论特征 出发， 简化函数类型 本题 的研 究 对象 是 函数 值在 各 区 间 内的 正 负号， 而 不必 求 出具体值 域． 从 这 一 特 征 入 手， 可将 函数转化为 与它在各 区间 内正负均相 同的另一个 比较简单的函数来研 究．
解 得两个 极值 点为 Ｘ 】 ＝０ ＋
ａ— —２
一
２ ｌ
４ ． ６
一
一
、Ｘ ２ ＝０ ＋
、 ／ Ａ＋ １
１’
图 ２
考虑 ＜ 时， ． 厂 （ ） 有零 点 。 ：
ｎ ＋ ， 而
：
（ １ ） 若ａ ＞２ ， 则２ ＜Ｘ ｌ ＜ａ ＜Ｘ ２ ， 易￣ Ｈ ｆ （ ｘ ） 在（ 一 。 Ｃ ， ２ ） 和（ ２ ， Ｘ １ ） 上递增， 在（ Ｘ ｌ ， ａ ） 和（ ａ ， ｘ ２ ） 上 递 减，在 （ ２ ， ＋ 。 。 ） 上 递 增，函 数 图像 如 图
数 学教 学
２ ０ １ ７ 年第 １ 期
区 间 内函数 值 正 负号 的判 断方 法
李金 兴
（ 浙江省萧山中学， 浙江 杭州 ３ １ １ ２ ０ １ ）
浙江省 ２ ０ １ ５ 年７ 月学考第 ３ ４ 题如下：
１
Ｙ
设函数 ． 厂 （ ） 一
一
， 其中ｎ 、 ∈
法．
（ ３ ） 若ａ ＜２ ， 则Ｘ ２ ＜ａ ＜Ｘ ｌ ＜２ ， 易知， （ ） 在 （ 一 。 。 ， ７ ３ ２ ） 和（ ｌ ， ２ ） 上 递增 ， 在（ Ｘ ２ ， ａ ） 和（ ａ ， Ｘ １ ）
上递减 ， 在（ ２ ， ＋。 。 ） 上递增， 函 数 图像 如 图 ２ 所
， 因为 １ 一 ＜
０ ， 所 以 ＜２ 时ｆ （ ｘ ） ＞０ 恒成立， 故 Ｍ ｎ Ａ３ ＝
本文将 该 题转 化 为 “ 探求 ｆ （ ｘ ） 在区问 （ 一 。 。 ， ０ ）
和（ ０ ， ＋ ｏ ｏ ） 上 函数值 均可 正可 负的充分条件” ，
从 不 同视 角 揭 示 函 数 值 正 负 号 的 几 种 判 断 方
－
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图ｌ
１ 一 、
数ｆ （ ｘ ） 的 图像经过 四个象 限的充分条 件． 而由
于 函数解 析 式 中有两 个字 母系 数 ａ 和 ， 使 得
图像 具 有很 大 的不 确 定性 ， 增加 了讨论 难 度．
（ ２ ） 若ａ ＝２ ， 则ｔ 厂 （ ） ＝
不符题意 ．
１ 直接研 究函数的单调性分析极值点和零点
由于 图像 特 征 与 单 调 性 密 切 相 关 ， 所 以可 先 用导数分析 其单 调性， 再 分 析 极 值 点 的 正 负 号和 零 点 的位 置 去 解 决 ．
示． 因此ｘ ＞２ 时， ｆ （ ｘ ） ＜０ ； ａ ＜３ ７＜２ 时， ｆ （ ７ ３ ） ＞ ０ ； 于是 Ｍ ｎ Ａ ｉ ≠ （ ｉ ＝ｌ ， ４ ）
Ｙ ６ ４ Ｊ ３
＝
／ ）
２
因 为， ）＝ ＝ ＝
＋
＝ ＝ ＝
－
５ ｘ ２ ｆ ） 、 ｃ Ｘ ｌ ：
一
、
［ （ 、 ／ ／ ＋１ ） 一（ 、 ／ ／ ｎ ＋２ ） ］ ・ ［ （ 、 ／ ／ 一１ ） ｚ 一（ 、 ／ ／ ｎ 一 ２ ） ］ （ Ｘ － ０ ） ・ （ ｘ －２ ）
３ ７ ＜ａ 时． 厂 （ ） ＜０ ， 所 以Ｍ ｎ ２ ≠ ． 要使 Ｍ ｎ ３ ≠ ， 则 ｏ＜０ ， 即 ｎ＜ ９ 恒 成立・由于 ∈
立， 故 Ｍ ｎ ＝ ， 不符题 意．
２ ０ １ ７ 年第 １ 期
数 学教 学
１ ～ １ ５
综上所 述， 符合题 意 的实 数 ｎ 的取值 范围
１ ， ２ ， ３ ， ４ ） ， 求实数 ａ 的取值范 围． 本 题 研 究 的是 函数 图像 的特 征 ， 探 究 函
２ ５
—
．
ｌ ｔ 蕾 ０ ２ ； ｉ ａ ５
２ ４
：
、 Ｘ
Ｙ ＝ ｌ 厂 （ 而
；
｛ １ ０
—
—
６ 百度文库
８
＾
１ 所 示 ．因此 当 ＜２时 ， ｘ －ａ＜ ｘ一２＜ ０ ， 所 以
＜ ， 易 知 ２＜ ＜ ｎ＜ ２ ； 而
＜ 。 时 ， （ ） ＝ 兰 三
（ １ ， ３ ） ， 所以。≤ ２
．
＞ 。 ， 。 ＜
０＞
＞
＞
， 于是 ） ＞０ 恒成
，
对 函数 ｆ （ ｘ ） ＝二
—
一
ｎ —
ＪＪ 一 ＿
进行分解有 ， ｍ（ ）＝
（ 上
其
＝
两 种 思路．思路 １ ：令 ｇ （ ）＝
、
，
ｎ ＋
， ∈（ １ ， ３ ） ， 所 以在 ≠０ 且 ≠２ 时，
． 厂 （ ） 取值的正负号与ｈ （ ｘ ）＝ 一（ —ｘ ｏ ） （ ｘ一 ０ ） 一２ ） 相同． 考虑三次函数 ＝ｈ （ ｘ ） 的草图，
６
４
Ｒ． 记 １ ＝｛ （ ， ｕ ） ｌ ｘ ＞０ ， Ｙ ＞０ ） ， Ａ２ 一｛ （ ， ） Ｉ ＜０ ， Ｙ＞０ ） ， Ａ ３ ＝｛ （ ， Ｙ ） Ｉ Ｘ＜０ ， Ｙ＜ ０ ） ， Ａ ４＝ ｛ （ ｚ ， Ｙ ） ｉ Ｘ＞０ ， Ｙ＜ ０ ） ； Ｍ ：｛ （ ， Ｙ ） ｌ Ｙ＝， （ ） ） ， 若对 任意 的 ∈（ １ ， ３ ） ， 恒 有 Ｍ ｎ Ａ ｉ ≠ （ ｉ ＝
为 （ 一 詈 ］ ． 反 思：通过 等价转化 ， 只需研究较 简单 函
数的正负号后 ， 大大简化 了解题过程 ． ３ 分解 函数， 化为不 同函数图像间的关系 观 察 得原 函数 是 由两个 简单 函数运 算所
得， 可研究两个 简单函数 图像 间关系来解决 问
题．
因为， （ ）＝ （ ｎ 一２ ） 一（ 一１ ） （ 一０ ） （ 一２ ）
综上 所述， 符 合题意 的实数 ０ 的取值 范围
为 （ 一 ∞ ，
２ 从结论特征 出发， 简化函数类型 本题 的研 究 对象 是 函数 值在 各 区 间 内的 正 负号， 而 不必 求 出具体值 域． 从 这 一 特 征 入 手， 可将 函数转化为 与它在各 区间 内正负均相 同的另一个 比较简单的函数来研 究．
解 得两个 极值 点为 Ｘ 】 ＝０ ＋
ａ— —２
一
２ ｌ
４ ． ６
一
一
、Ｘ ２ ＝０ ＋
、 ／ Ａ＋ １
１’
图 ２
考虑 ＜ 时， ． 厂 （ ） 有零 点 。 ：
ｎ ＋ ， 而
：
（ １ ） 若ａ ＞２ ， 则２ ＜Ｘ ｌ ＜ａ ＜Ｘ ２ ， 易￣ Ｈ ｆ （ ｘ ） 在（ 一 。 Ｃ ， ２ ） 和（ ２ ， Ｘ １ ） 上递增， 在（ Ｘ ｌ ， ａ ） 和（ ａ ， ｘ ２ ） 上 递 减，在 （ ２ ， ＋ 。 。 ） 上 递 增，函 数 图像 如 图