微积分第二章典型例题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
补充知识
一、数列和其子列之间的关系
定义从数列{U n}中任意抽取无穷多项,并保持原有次序,这样得到的一个新数列称为数列{U n}的一个子数列,简称子列.记作
{UnJ : U n i,U n2,,U n k「•
其中n k表示U n k在原数列{u n}中的位置,k表示U n k在子列中的位置.
例如:奇数子列U1,U3,........................ ,U2k1,.... ,
其中n1 = 1, n2 = 3,, n k = 2k—1
显然n k - k .
下面的定理给出了数列{U n}和其子列{U n k}之间的关系.
定理:对于数列{U n},
(1) limu n二A的充要条件是对{U n}的任何子数列{U n k}都有lim u n A .
n—sc k
⑵limU n二A的充要条件是{U n}的偶数子列{U2k}和奇数子列{U2k1}满n一
i:
足lim U2k=lim U2k A .
k^^ k—Jpc
⑶若{U n}单调,则limU n - A的充要条件是存在一个子数列{U n k}满足
i m U n k 二A.
k
二、数列极限和函数极限的关系
定理2.18 (Heine定理) !吧心"的充要条件为:
对于任意收敛于!o的数列{!n} (X n =Xo),都有佃f(X.) =A . n—JpC
常用结论:若Jim _f (x) = A,贝卩lim f (n) = A。
1 . n
si n—sin —
注(1)对于X > X o , X > X0-, Xr •' , Xr •: ' , Xr :等情形,
例如:由lim Si^X =1,可以推出lim n T , lim ----------------- 汇一=1等。
xT x n护 1 n
n2 1 只要将定理
中的条件作相应
修改,定理的结
论仍成立.
(2)该定理建立了函数极限和数列极限之间的联系,可以将函数的极限转化为数列的极限去研究,也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论.
(3)用该定理可以说明某函数极限不存在
例如:
1 广证明limsin 不存在.
X
证明:
取X n - , X n , n 一1,2,,显然
2^ 2n::
2
limx n—O , limx n2)=0,
n n_.
1 1
但是lim sin 市=lim 1 = 1 , lim sin 页=lim 0 = 0。n Y
X n
“护n忙X n
1 由Heine定理可知,limsin -不存在.
T X
三、求极限的一般方法
(1) 利用极限的四则运算法则•往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有:因式分解,通分,有理化,约去公因子,三角恒等变形等;(2) 利用无穷小量的性质、无穷小量和无穷大量之间的关系(特别是利用有界变量和无穷小量的积仍是无穷小量的性质)等;
(3) 利用等价无穷小量的性质;
⑷利用高阶无穷小量的性质;
(5) 利用极限存在准则;
(6) 利用重要极限;
(7) 利用极限和左、右极限的关系(适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形);
(8) 利用连续性(适用于求函数在其连续点处的极限);
思考题解答
1.用定义证明lim- =1。
7 X
证:* >0,要使丄—1 =上勺£总。
X |x|
由于X > 1时的极限只和自变量邻近1的函数值有关,不妨考虑0 :::| x —1 | :::1,即丄::x ::3,此时
11纽:::2 | x - 1 | ,
2 2 2 |x |
故只需使2—即ix-1^-。
1
,贝y当O<|X—1|<6时—1 <
X 恒成立。
由极限定义得lim 1 =1。
T X
2、利用三角函数的周期性求极限(1)
何严.(2n)2 1:: =nim:8S ,(2n)2仁-22
=lim cos n—j::
1
—-------- JT
W n)2+1 +2 n
=cosO 二
1
(2)
lim .cos . (2n)2 n 二=lim cos . (2n)2 n 懐-2n二
二lim cos
n—■
n
. —— ---- n
.(2n)2 n 2n
=lim cos
n j:: 4 +丄+2
兀42
二cos—
4 2
(3)
6 ,证明limu n 存在,并求其值。
n —^c
h
』2 • 2 U i ,进而 U 3 = . 2 • U 2 •、2 • U i = U 2,猜测
用数学归纳法证明。假设n=k 时不等式成立,即U k 「U k ,那么n 二k i 时,
U k 2 二.2—U k i 2 U k = U k i , 即不等式成立。
所以对任意自然数n ,都有U ni U n ,即bn?单调增加。
由 0 乞 U n = . 2 • U n4 — 2 • U n ,得片':::2 U n ,解得 0 -山 ”:2,所以'U 有 界。
再用数学归纳法证明) 因此lim U n 存在.
n T ::
不妨设lim U n 二A ,在U n —7
A =2.
典型例题
f(x) =3x 2 2xlim f(x),求 f
(x)。
lim sin . n 2
1 二 =lim (_i)n sin . n
2 1 恵-n
二
n _)pC 1
_______ ____ 31
2 ‘
n i n
n —]:: =lim ( -1)n sin n _. 二
0 其中最后一步用了 sin
i
-------- Tl
.n 2 i n
是无穷小量,(―1)n 是有界变量,乘
积仍为无穷小量。
(或先观察u 1 = 2 : 2,
U i u^ 2 U i ::: 2, u^ . 2 U 2 ::: 2,猜测 U n ::: 2, 证明:u^ _ 2, u 2
i 弋2 U n 两端令n 》::得,. 2 A ,所以
例1、已知lim f (x )存在,