立体几何中的向量方法(一)

r 给定一点A和一个向量 n ,那
r 么过点A以向量 n 为法向量的平面
是完全确定的.
r n
A
二、平面的法向量
(4)求法 在空间坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,
0,
2)
,试求平面
r
ABC
的一个法向量.
步骤：⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量
⑶平面 空间中平面 的位置可以由 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
r
b
O
r a
P
对于平面 上的任 一点 P ,存在有序实数
对 ( x, y) ,使得
uuur r r
OP xa yb
二、平面的法向量
r (1)定义 如果表示向量 n的有向线段所在直线垂
直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
从今天开始,我们将进一步来体会 向量这一工具在立体几何中的应用.
一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑴点 在空间中，我们取一定点O 作
为置基就点可，以那用么向空量间OuuPur中来任表意示一，点我P们的把位
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m
rr a∥b
rr a kb；
r r rr
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
rr r r
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
r
r
的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的
rr
方程组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
向量
uuur OP
称为点
P
的位置向量.
P
O
一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑵直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的
任一点 uPuu,r存在u实uur数 t
r a
使得 AP t AB
或AP ta
A
P B
一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
rr 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
rr百度文库
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m
r r rr a⊥b ab 0；
rr r r
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
例：求证：如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
已知 : 直线l ,且l .
求证 : 平面 .
l
a
r n
m
作业：Ｐ１０４练习１,２
r
r
r
作 n⊥ ，如果n ⊥ ，那么向量 n 叫做平面
的法向量.
n
二、平面的法向量
n
(2)理解
1.平面的法向量是非零向量;
2.一个平面的法向量不是唯一的，其所 有法向量都互相平行;
r
3.向量 n是平面 的法向量，
ur
若 m∥ ，则有
r ur nm 0
二、平面的法向量
(3)法向量确定平面的位置