《高考试题中抽象函数问题的解决策略》

高考试题中抽象函数问题的解决策略

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，因而备受高考命题者的青睐。然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文主要介绍抽象函数问题的常见方法。

【方法荟萃】

一、“赋值” 策略

对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。

【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）

A ．0

B ．1

C ．12

- D ．12

解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ， 从而1)1(2=f ，所以2

1)1(=

f ，选D 。 【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。

（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。

解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。

令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。

（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =， 令x x x -==21，得)()(22

x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-，

所以，)(x f y =为偶函数。 二、“穿脱”策略

加上函数符号即为“穿”，去掉函数符号即为“脱”。对于有些抽象函数，可根绝函数值相等或者函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。

【例3】已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且满足对于任意的正实数x 、y ，都有 )()()(y f x f y x f +=⋅，且.1)2(=f

（1）求)8(f 的值；（2）解不等式.3)2()(+->x f x f

解：（1）3)8(2)4(1)2(=⇒=⇒=f f f

（2）)]2(8[)()8()2()(3)2()(->⇔+->⇔+->x f x f f x f x f x f x f

由函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，则)2(8->x x 即7

16->0

20x x ，∴2>x ，从而不等式的解集为)716,2(。 点评：利用单调性，

三、“模型”策略

模型化策略，就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法。对于选择、填空题，可用模型函数解决；对于解答题

则可以起到启迪思路并起验证作用。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数()(0)f x kx k =≠可抽象为

()()()f x y f x f y +=+。因此，我们可得知如下结论：

（1）抽象函数()()()f x y f x f y +=+可由一个特殊函数正比例函数()(0)f x kx k =≠抽象而成的；（2）抽象函数()()()t xy t x t y =可由一

个特殊函数幂函数()t x x α=抽象而成的；（3）抽象函数()()()g x y g x g y +=可由一个特殊函数

指数函数()(0,1)x g x a a a =>≠抽象而成的；（4）抽象函数()()()h xy h x h y =+可由一个特殊函数对数函数()log (0,1)a h x x a a =>≠抽象而成的。

【例4】已知函数)(x f 对于任意的正实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f +=⋅，若0)2(

A ．0)1(=f

B ．)4()3(f f <

C ．0)21()2(=+f f

D ．0)5

1()4(=+f f 解：满足)()()(y f x f y x f +=⋅对一切正实数x 、y 都成立的函数模型是对数函数x y a log =。 由0)2(，应选B 。

【例5】设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。 （1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-3≤x ≤3时，)(x f 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。

分析：对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，可猜想抽象函数f(x)生成的原形函数：f(x)=kx ，由x>0时，f(x)<0。知k<0，所以问题（1）、（2）的答案可大胆猜想如下：（1）函数f(x)是奇函数，

（2）函数f(x)在R 上是减函数。尽管这只是对问题的猜想不是严格的证明，但带着结论去探求解答，思考线索明朗了，更加有的放矢了。

解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0

令y=-x ，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数

⑵设－3≤x 1＜x 2≤3，y=－x 1，x=x 2

则f(x 2－x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2)－f(x 1)，因为x ＞0时，f(x)＜0，

故f(x 2－x 1)＜0，即f(x 2)－f(x 1)＜0。

∴f(x 2)＜f(x 1)、f(x)在区间[－3，3]上单调递减

∴x=－3时，f(x)有最大值f(－3)=－f(3)=－f(2+1)=－[f(2)+f(1)]=－[f(1)+f(1)+f(1)]=6。

x=3时，f(x)有最小值为f(3)= －6。

点评：思路明确，

特别提示：这时需要强调的是，对于解答题，虽然我们知道题设条件中的相应的函数模型，但此时我们像处理选择题或填空题那样，直接写出函数模型。例如，对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，而直接设f(x)=kx ，这是没有任何理论依据的。当然在思考问题的过程中，我们可联想正比例函数的有关性质，合理赋值。

四、“数形”策略

一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。

【例6】若函数f(x)为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f(2)=0，则

0)()(<--x

x f x f 的解集为（ ）

A ．（-2，0）⋃（0，2）

B ．（-∞，-2）⋃（0，2）

C ．（-∞，-2）⋃（2，+∞）

D ．（-2，0）⋃（2，+∞）