若干数学观点中的数学文化

那么，什么是“对称”的共性？
Байду номын сангаас
什么是“对称”的本质？ 如何用数学语言描述“对称”？ “对称即群”
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二、平面图形的对称
K1
K2
K3
K4
K5
K6
问：正三角形与正方形谁“更”对称一些？
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1.
在运动中看 “对称”
可以把“平面图形的对称” —— 轴对称、 n 次中心对称、平移对称中用到的 运动分为三类：
频繁, 因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部
的一个又一个的小镇中度过: Alice, Brady, San Antonio, Kingsville, Del Rio, Brownsville, McAllen, Austin, 然后又回到San Antonio. 在此期间教会管 理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲 突方面的管理才能. 所以从我九岁起我父亲就不再 当教会牧师, 而成了一名地区教会活动的主管. 这就


上联对下联：
明月 --> 清泉 自然景物


明--》清（形容词）；
月--》泉 （名词）
清 泉 石 上 流
明 月 松 间 照
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碳 富勒烯
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作为多面体的足球
亚正多面体
中的一种—— 足球
多面体，它的侧面 由正五边形和正六 边形组成。
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碳富勒烯介绍：
碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新 的有机化学物种。由于它具有特殊的分子构型以及 量子尺寸效应，因而表现出了异常高的化学活性、 催化活性，以及奇特的导电性，在化工、光电材料 等领域具有广阔的应用前景。
“保距变换”,它可以看成旋转0o的“保距变换”,也可以看成
平移 a=0 的“保距变换” . 这样，任何平面图形都会在某种
“保距变换”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种 平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“保距变换” 下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆 说 它 “ 不
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1996年诺贝尔化学奖得主
克鲁托 (H. W. Kroto, 1939-)
斯莫利 ( R. E. Smalley,1943-2005)
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1996年诺贝尔化学奖得主
柯尔（Robert F. Curl Jr.） 的自传
我1933年8月23日出生在美国德州的Alice. 我的 父亲是一个卫理公会的牧师, 母亲是家庭主妇. 我有 一个姐姐, 她叫玛丽. 在过去, 卫理公会的牧师游动
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正三角形与正方形谁更对称一些？
S ( K2 ) 8
S (K4 ) 6
答：正方形比正三角形更对称一些。
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4.
小结
从 “对称”的现象，到发现 “变中有不变” 的本质， 再提出“保距变换”；把保持图形K不变的“保距变换”放 到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来描
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其它的一些例子
对称 非对称
照镜子 照哈哈镜
夫妻 父子
比赛循环赛 比赛淘汰制
足球 非对称战争
4
阿拉伯建筑物的外墙
美国哈佛大学曾发表一份
研究报告称，伊斯兰世界对数
学有过重要贡献。研究人员认 为，中世纪伊斯兰世界的外墙
砖设计图案说明它们的设计者
掌握了西方世界500年后才掌 握的数学概念。
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文学中的对仗
对称”.
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由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平 面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把 所有使某平面图形 K 不变的“保距变换”放在一起, 构成一个集合,记为S(K) 并称其为K的对称集.
S (K1 ) S (K2 )
K1 的对称性强于 K2
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3. 抽象观点与具体例子的对照
S (K1 ) S (K2 ) 8 S (K3 ) 12 S (K4 ) 6 S (K5 ) 2 S (K6 ) 1
反射 旋转
平移
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2 从不变性看“对称”
这些运动都是变换；这些变换共同的特点
是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所
以 ， 把 反 射 、 旋 转 、 平 移 ， 以 及 它 们 的
相继实施，统称为 “保距变换”。
（有意 避开“滑动反射”，含于“相继实施”中）
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变中有不变
注意，在上述“保距变换”的定义下,“不动”也是一种
C60命名为富勒烯。当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是
“……孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！”。一经别人点破，他们也 诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭 笑不得的常识。一个现代足球正是由20块白色的六边形球皮和12块黑色的五边 形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出60个顶点。他们的努力是制造了一个 全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球”！由此，这三位科学家因其天 才式的开创性工作共享了1996年度诺贝尔化学奖。
将我解脱了, 使我有时间担当“儿童传道士” 并成
为人们关注的中心……
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建筑学家 富勒
富勒(R. B. Fuller)，美国建筑学家。 1967 年蒙特利尔世界博览会的美国 馆由他设计。富勒的结构设计思想 被称之为综合主义。综合主义是表 示将结构单位组合起来，以承受更 大的结构力量；结构单位组合后承 受的力量比结构单位分立所能承受 的力量大。这原理被富勒用于建筑 设计，蒙特利尔世界博览会的美国 馆即是这一综合主义的代表作品。 Richard Buckminster Fuller (1895-1983) 13
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富勒烯的发现
1985，一位来自英国的天文学家克鲁托（H. W. Kroto），和两位美国物
理学家斯莫利（R. E. Smalley），柯尔（R. F. Curl）走进美国赖斯大学化 学实验室，希望能探讨宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期 的合作过程中意外地发现（9月4日）：在强烈的激光脉冲辐照下产生的碳团簇 中，C60具有超常的稳定性。他们并不知道化学的理论游戏C60，所以这样的实 验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学家B· 富勒最牢固的薄壳拱形结构的 启发，他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球形结构，并将
第四章 若干数学观点中的数学文化
第一节 “对称”的观点
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一、我们身边的对称
人体 雪花 鼠标
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数学公式中的对称
海伦公式
S s s a s b s c
其中
abc s 2
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
对称多项式
2 2 f x12 x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3