知识讲解_相遇和追及问题(提高)
相遇和追及问题
编稿：傅清峰
【学习目标】
1、掌握追及和相遇问题的特点
2、能熟练解决追及和相遇问题
【要点梳理】
要点一、机动车的行驶安全问题：
要点诠释：
1、反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。
2、反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。
3、刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。
4、停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离
共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。
要点二、追及与相遇问题的概述
要点诠释：
1、追及与相遇问题的成因
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．
2、追及问题的两类情况
(1)速度小者追速度大者
(2)速度大者追速度小者
说明:①表中的Δx 是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； ②x 0是开始追及以前两物体之间的距离； ③t 2-t 0=t 0-t 1；
④v 1是前面物体的速度,v 2是后面物体的速度. 特点归类：
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度． (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近． 3、 相遇问题的常见情况
(1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
(2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.
解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了. 要点三、追及、相遇问题的解题思路 要点诠释：
追及?相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置. ①根据对两物体运动过程的分析,画出物体运动情况的示意草图.
②根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注意要将两个物体运动时间的关系反映在方程中;
③根据运动草图,结合实际运动情况,找出两个物体的位移关系; ④将以上方程联立为方程组求解,必要时,要对结果进行分析讨论. 要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题 要点诠释：
分析这类问题应注意的两个问题:
(1)一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个物体距离最大或距离最小?后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件.
常见的情形有三种:一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况一定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即v v =甲乙)时,两者之间的距离最大;二是做匀速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,若能追上,则在相遇位置满足v v ≥甲乙;若追不上,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;三是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似.
(2)两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口.
要点五、追及、相遇问题的处理方法
方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的临界条件)
方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d 0令两者在t 时相遇,则有0x x d -=甲乙,得到关于时间t 的一元二次方程:当2b 4ac 0?=->时,两者相撞或相遇两次;当2
b 4a
c 0?=-=时,两者恰好相遇或相撞;2
b 4a
c 0?=-<时,两者不会相撞或相遇.
方法三:图象法.利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便的解决这类问题。 【典型例题】
类型一、机动车的行驶安全问题
例1、为了安全，在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为v=120km/h 。假设前方车辆突然停止运动，后面汽车的司机从眼睛发现这一情况，经过大脑反应，指挥手、脚操纵汽车刹车，到汽车真正开始减速，所经历的时间需要0.50s （即反应时间），刹车时汽车所受阻力是车重的0.40倍，为了避免发生追尾事故，在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离？ 【思路点拨】理解各个时间段汽车的运动情况是关键。 【答案】156m
【解析】v 120km /h 33.3m /s ==
匀减速过程的加速度大小为2a kmg /m 4m /s ==。 匀速阶段的位移11s vt 16.7m ==, 减速阶段的位移22s v /2a 139m ==， 所以两车至少相距12s s s 156m =+=。
【点评】刹车问题实际上是匀变速直线运动的有关规律在减速情况下的具体应用，要解决此类问题，首先要搞清楚在反应时间里汽车仍然做匀速直线；其次也要清楚汽车做减速运动，加速度为负值；最后要注意单位统一。 举一反三
【变式】酒后驾车严重威胁交通安全．其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长，造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长，假定汽车以108 km/h 的速度匀速行驶，刹车时汽车的加速度大小为8 m/s 2
，正常人的反应时间为0.5 s ，饮酒人的反应时间为1.5 s ，试问：
(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？
(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？ 【答案】 (1)30 m (2)5.25 s
【解析】 (1)汽车匀速行驶v ＝108 km/h ＝30 m/s
正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时多Δs ，反应时间分别为120.5 s 1.5 s t t ＝、＝则
21()s v t t ?＝－
代入数据得30 m s ?＝
(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间
3(0)/t v a ＝－
解得3 3.75 s t ＝
所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间
23t t t ＝＋
解得 5.25 s t ＝
类型二、追及问题一：速度小者追赶同向速度大者
例2、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2
的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 【思路点拨】画好汽车和自行车的运动示意图是关键。 【答案】2s 6m 【解析】：
方法一：临界状态法 运动示意图如图：
汽车在追击自行车的过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t 两车之间的距离最大。则
v t v a ==汽自 ∴ v 6
t s 2s 3
a =
==自 22m 11
x x x v t at 62m 32m 6m 22
?=-=-=?-??=自汽自
方法二：图象法
在同一个v -t 图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线，如图所示。其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移x 自等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x 汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难
看出，当t =t 0时矩形与三角形的面积之差最大。
此时0t v v a ==汽自
06
t s 2s 3v a ===自
011
t 26m 6m 22
m S v ?=
?=??=自 方法三：二次函数极值法
设经过时间t 汽车和自行车之间的距离x ?，则 222133
at 6t (2)6222
x x x v t t t ?=-=-
=-=--+自汽自 当2s t =时两车之间的距离有最大值x m ?，且6m.m x ?=
【点评】(1)在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析．
(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚
好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
(3)解题思路和方法
举一反三
【高清课程：相遇和追及问题例2】
【变式1】小轿车在十字路口等绿灯亮后，以1m/s 2
的加速度启动，恰在此时，一辆大卡车以7m/s 的速度从旁超过，做同向匀速运动，问（1）小轿车追上大卡车时已通过多少路程？（2）两车间的距离最大时为多少？
【答案】
98m 24.5m
【变式2】甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2
的加速度由静止启动，求： (1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？
(2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？
【答案】(1)10 s 2倍 (2)5 s 相等
【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即2
1111a
2
vt t ＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.
(2)设追上前二者之间的距离为x ?，则2
1212221Δ
102
x x x v t at t t ＝－＝－＝－ 由数学知识知：当210
s 521
t s =?＝
时，两者相距最远，此时21v v '＝. 类型三、追及问题二：速度大者减速追赶同向速度小者 例3、（2015 阳江县期中考）一列快车以20m/s 的速度在铁路上做直线运动，司机突然发现铁轨正前方500m 处有一货车以10m/s 的速度同向行驶．司机经0.5s 的时间作出反应紧急刹车，已知快车的刹车过程可视为匀减速运动，且快车从紧急刹车到停下来仍需要继续滑行2000m 才行． 请问：两车相撞了没有？ 【答案】两车会相撞
【解析】快车的加速度：由2
2
02v v ax -=可得222
220020/0.1/222000
v v a m s m s x --=
==-? 速度相等时所需时间：由0v v at =+ 可得1020
1000.1
v v t s s a
--=
=
=-快
此过程中快车的位移22
221020150022-v v x m m a
--=
==?慢快快（0.1）
在反应时间内快车的位移200.510x v t m m ==?=反反快
在此过程中慢车的位移101000.51005x v t t m m =+=?+=反慢慢（）（） 因为1500101510x x m x +=+=反慢快＞故两车会相撞．
【总结升华】解决本题的关键是抓住速度相等时的位移关系，注意不能认为快车速度减小至0才是安全的．
举一反三
【高清课程：相遇和追及问题例3】
【变式1】汽车正以10m/s 的速度在平直公路上前进，突然发现正前方s 处有一辆自行车以4m/s 的速度
做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做匀减速运动，加速度大小为6m/s 2
，若汽车恰好不碰上自行车，则s 大小为多少？ 【答案】3m
【变式2】甲?乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的v-t 图中(如图),直线a ?b 分别描述了甲?乙两车在0~20 s 的运动情况.关于两车之间的
位置关系,下列说法正确的是
( )
A.在0~10 s内两车逐渐靠近
B.在10~20 s内两车逐渐远离
C.在5~15 s内两车的位移相等
D.在t=10 s时两车在公路上相遇
【答案】C
【解析】由题图知乙做匀减速运动,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0.5 m/s2;甲做匀速直线运动,速度v甲=5 m/s.当t=10 s时v甲=v乙,甲?乙两车距离最大,所以0~10 s内两车越来越远,10~15 s内两车距离越来越小,t=20 s时,两车距离为零,再次相遇.故A?B?D错误.因5~15 s时间内v甲=v乙,所以两车位移相等,故C正确.
类型四、相遇问题
例4、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度
A
v向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警
方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的警车以法定最高速度
m 14.0m/s
v＝行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得AB＝17.5ｍ，BC＝14.0ｍ，BD＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：
（1）该肇事汽车的初速度
A
v是多大?
（2）游客横过马路的速度是多大?
【思路点拨】判断汽车与游客的各自运动形式，找出它们的联系。
【答案】21m/s 1.53 m/s 【解析】（1）警车和肇事汽车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小
g m
mg
a μμ==
，
与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速度a 的大小视作相等。
对警车，有as v m 22=；对肇事汽车，有s a v A
'=22，则 s s
v v A m '
=22
，即0.145.170.1422+=
+=BC AB s v v A m ， 故 m A v v 0
.140
.145.17+=
＝21ｍ/ｓ。
（2）对肇事汽车，由s as v ∝=22
0得
0.140
.145.1722
+=
+=BC
BC AB v v B A ， 故肇事汽车至出事点B 的速度为 A B v v 0
.145.170
.14+=
＝14.0ｍ/ｓ。
肇事汽车从刹车点到出事点的时间 )(2
1
1B A v v AB t +=
＝1ｓ，
又司机的反应时间t 0＝0.7ｓ，故游客横过马路的速度 1
7.06
.210+=
+=
't t BD v m/s ≈1.53ｍ/ｓ。 【点评】研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。 举一反三
【高清课程：相遇和追及问题例7】
【变式1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m 的距离能加速到最大速度25m/s ，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过60m 的距离能加速到最大速度30m/s ，以后只能维持这速度4.0s 。设猎豹距离羚羊x 时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s 才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：
（1）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x 值应在什么范围？ （2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x 值应在什么范围？ 【答案】(1） 31.875m ≤ x ≤ 55m （2）x ≤ 31.875m
【变式2】（2015 湛江师范湛江附中联考）据报道，一儿童玩耍时不慎从H=45m 高的阳台上无初速掉下，在他刚掉下时恰被楼下一管理员发现，该管理员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理员到楼底的距离为18m ，为确保安全能稳妥接住儿童，管理员将尽力节约时间，但又必须保证接儿童时没有水平方向的冲击（管理员末速度为0），不计空气阻力，将儿童和管理员都看做质点，设管理员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g 取10m/s 2．问： （1）管理员至少用多大的平均速度跑到楼底？
（2）若管理员在加速或减速的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s ，求管理员奔跑时加速度需满足什么条件？
【思路点拨】（1）儿童掉下做自由落体运动，可以通过自由落体的位移公式求出时间，根据时间再求管理员的最小平均速度．
（2）管理员先加速到速度最大，再匀速，再减速到0，抓住三段时间和等于自由落体的时间，三段位移和等于管理员到楼底的距离，求出最小加速度． 【答案】见解析
【解析】（1）设儿童下落的时间为t ，由2
12
H gt =解得3t s = 他要能接住儿童，奔跑的时间要小于3s ，由6/x vt v m s ==，
故管理员的平均速度至少为6m/s ．
（2）设管理员的加速度为a ，时间1233t t t s ++=位移12318s s s m ++=
又因为13m v t t a ==，2132m v s s a
==，22m s v t =
由上可得2
9/a m s = 故加速度应满足2
9/a m s ≥．
【总结升华】解决本题的关键抓住小孩自由下落的时间和管理员运动的时间相等，灵活运用运动学公式求
解．
【变式3】甲乙两车在一平直道路上同向运动,其v-t 图象如图所示,图中△OPQ 和△OQT 的面积分别为s 1和s 2(s 2>s 1).初始时,甲车在乙车前方s 0处( )
A.若s 0=s 1+s 2,两车不会相遇
B.若s 0
C.若s 0=s 1,两车相遇1次
D.若s 0=s 2,两车相遇1次 【答案】ABC
【解析】在T时刻,甲?乙两车速度相等,甲车的位移s2,乙车的位移s1+s2,当甲车在前方s0=s1+s2时,T 时刻乙车在甲车的后方s2处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇,A正确;如果s0=s1,说明T时刻乙车刚好赶上甲车,但由于速率将小于甲车,与甲车不会相遇第二次,C正确;如果s0 简单的相遇与追及问题 一、学习目标 1. 理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题. 2. 体会数形结合的数学思想方法. 二、主要内容 1. 行程问题的基本数量关系式： 路程=时间×速度；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度. 2．相遇问题的数量关系式： 相遇路程=相遇时间×速度和； 速度和=相遇路程÷相遇时间； 相遇时间=相遇路程÷速度和. 3.追及问题的数量关系式： 追及距离=追及时间×速度差； 速度差=追及距离÷追及时间； 追及时间=追及距离÷速度差. 4. 能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题. 三、例题选讲 例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A，B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇. 例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车. 例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？ 例4 甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？ 例5甲、乙两人同时从相距18千米的两地相向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行5千米.甲带着一只狗，每小时走20千米，狗走得比人快，同甲一起出发，碰到乙后，它往甲方向奔走；碰到甲后，它又往乙方向奔走，直到甲、乙两人相遇为止，这只狗一共奔走了多少千米？ 追击和相遇问题 一、追击问题的分析方法: A. 根据追逐的两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; ? ?? ;.;.的数量关系找出两个物体在位移上间上的关系找出两个物体在运动时C B 相关量的确定 D.联立议程求解. 说明:追击问题中常用的临界条件: ⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上. 1．一车处于静止状态,车后距车S0=25处有一个人,当车以1的加速度开始起动时,人以6的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少? 答案.S 人-S 车=S 0 ∴ v 人t-at 2 /2=S0 即t 2 -12t+50=0 Δ=b 2 -4ac=122-4×50=-56<0 方程无解.人追不上车 当v 人=v 车at 时,人车距离最小 t=6/1=6s ΔS min =S 0+S 车-S 人 =25+1×62 /2-6×6=7m 2．质点乙由B 点向东以10的速度做匀速运动,同时质点甲从距乙12远处西侧A 点以4的加速度做初速度为零的匀加速直线运动.求: ⑴当甲、乙速度相等时,甲离乙多远? ⑵甲追上乙需要多长时间?此时甲通过的位移是多大? 答案.⑴v 甲=v 乙=at 时, t=2.5s ΔS=S 乙-S 甲+S AB =10×2.5-4×2.52 /2+12=24.5m ⑵S 甲=S 乙+S AB at 2/2=v 2t+S AB t 2 -5t-6=0 t=6s S 甲=at 2/2=4×62 /2=72m 3.在平直公路上,一辆摩托车从静止出发,追赶在正前方100m 处正以v 0=10m/s 的速度匀速前进的卡车.若摩托车的最大速度为v m =20m/s,现要求摩托车在120s 内追上卡车,求摩托车的加速度应满足什么 答案.摩托车 S 1=at 12 /2+v m t 2 v m =at 1=20 卡车 S 2=v o t=10t S 1=S 2+100 T=t 1+t 2 t ≤120s a ≥0.18m/s 2 追及相遇问题专题 追击和相遇问题 1.相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键：“两个关系，一个条件” （1）时间关系 ：0 t t t B A ±= （2）位 移关系：0 A B x x x =± （3）速临界条件： 两者速度相等——是物体间能否追上、恰好避免相碰、（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 3. 相遇和追击问题剖析： (一) 追及问题（设甲追乙，两物体初始时刻相距 x ） 1.第一类：速度小者加速追速度大者（如做初速度为零的匀加速物体追匀速运动物体） （1）两者速度相等前间距在增大，当两者速度相等时有最大距离，之后两者距离减小 （2）当两者位移满足甲 乙 x x x =+0时，则追上 2.第二类：速度大者减速追速度小者（如做匀减速直线运动追匀速运动） （1）开始追及后，两者间距减小 （2）当两者速度相等时： ① 若两者位移差满足0 -x x x x ==?乙甲 ，则甲恰好追上乙，且只相遇一次（避免碰撞的条件） ② 若两者位移差满足0 -x x x x <=?乙甲 ，则不能追 上，两者存在最小间距为甲 乙 x x x -0+ ③ 若两者位移差满足0 -x x x x >=?乙甲 ，则会相遇两 次 3、分析追及问题的注意点： ⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注．．．．．．．．．．．．．．．．．．意． 追上前该物体是否已经停止运动。．．．．．．．．．．．．．．． ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t -图象的应用。 (二)、相遇问题 ⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 ⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值 追及与相遇问题刘玉平 课时安排：3课时 三维目标： 1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式； 2、能灵活选用合适的公式解决实际问题； 3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力； 4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题； 教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。 教学方法：启发式、讨论式。 教学过程 两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。 一、追及问题 1、追及问题的特征及处理方法： “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： ⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定 能追上。 a、追上前，当两者速度相等时有最大距离； b、当两者位移相等时，即后者追上前者。 ⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最 小距离； b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界 条件； c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上； 在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个 值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还 有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。 ⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。 匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 2、分析追及问题的注意点： ⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、 最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。 初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公 专题：直线运动中的追击和相遇问题 一、相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 二、 解相遇和追击问题的关键 画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 三、追击、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解. 说明:追击问题中常用的临界条件: ⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上, 否则就不能追上. 四、典型例题分析： (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）：v 1< v 2时，两者距离变大；v 1= v 2时， 两者距离最大；v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 答案：（1） 2s 6m （2）12m/s (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 答案：不能追上 7m (三)．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1 小学常用公式 和差问题 (和＋差)÷2=大数 (和-差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数+1)=小数 差倍问题 差÷(倍数-1)＝小数 植树问题 1 单条线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 棵数=全长÷间隔长+１＝间隔数＋１ 全长=间隔长×(棵数-1） 间隔长=全长÷(棵数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树，那么: 棵数＝间隔数＝全长÷间隔长 全长＝间隔长×棵数 间隔长=全长÷棵数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 棵数＝全长÷间隔长－1＝间隔数-１ 全长=间隔长×(棵数＋1) 间隔长＝全长÷(棵数+1) 2双边线路上的植树问题主要也有三种情形： 参考单条线路上的植树问题,注意要除以2。 ３环形或叫封闭线路上的植树问题的数量关系如下 棵数＝间隔数=全长÷间隔长 全长＝间隔长×棵数 间隔长＝全长÷棵数 盈亏问题 (盈+亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间 流水问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度＝静水速度-水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度）÷２ 水流速度＝（顺流速度-逆流速度)÷２ 浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×1０0%(折扣＜1) 利息=本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(１－20%) 【题目】一游泳池道长100米,甲乙两个运动员从泳道的两端同时下水做往返训练1５分钟，甲每分钟游81米,乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？ 【解答】从身边经过，包括迎面和追上两种情况。 能迎面相遇【(81＋89)×１５+１0０】÷200，取整是1３次。 第一次追上用1０0÷（89－81)＝12.５分钟， 以后每次追上需要１2．５×２=25分钟，显然15分钟只能追上一次。 因此经过13+１＝14次。 如果甲乙从A,B两点出发,甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的２ｎ-１倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n－1倍(乙也是如此)。? 总结:若两人走的一个全程中甲走１份M米,?两人走3个全程中甲就走3份M米。?（含义是说,第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次相遇时，根据上面的公式，甲乙走了2x2－1＝３个全程,如果在第一次相遇时甲走了ｍ米，那么第二次相遇时甲就走了3个m米) ?下面我们用这个方法看一道例题。?湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距Ａ岛700米,第二次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远? 【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长,?从起点到第二次迎面相遇地点,两人共同完成3个全长， 追及与相遇问题 1、追及与相遇的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2、理清两大关系： 时间关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两者速度相等；它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 4、三种典型类型 （1）同地出发，初速度为零的匀加速直线运动A 追赶同方向的匀速直线运动B ①当 B A v v =时，A 、B 距离最大； ②当两者位移相等时， A 追上B ，且有B A v v 2= （2）异地出发，匀速直线运动B 追赶前方同方向的初速度为零的匀加速直线运动A 判断B A v v =的时刻，A 、B 的位置情况 ①若B 在A 后面，则B 永远追不上A ，此时AB 距离最小 ②若AB 在同一处，则B 恰能追上A ③若B 在A 前，则B 能追上A ，并相遇两次 （3）异地出发，匀减速直线运动A 追赶同方向匀速直线运动B ①当B A v v =时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ②当B A v v =时，A 未追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离； ③当B A v v >时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 5、解追及与相遇问题的思路 （1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图 （2）根据两物体的运动性质，（巧用“速度相等”这一条件）分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中 （3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程 （4）联立方程求解 注意：仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意t v -图象的应用 【典型习题】 【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： （1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ （2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？ 此文档下载后即可编辑 追及相遇问题专题总结 一、 解相遇和追及问题的关键 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 二、追及问题中常用的临界条件: 1、速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离； 2、速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上： （1）当两者速度相等时，若追者仍没有追上被追者，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。 （2）若两者速度相等时恰能追上，这是两者避免碰撞的临界条件。 （3）若追者追上被追者时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，即会相遇两次。 二、图像法:画出v t -图象。 1、速度小者追速度大者（一定追 上） 追击与相遇问题专项典型例题分析 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v 时， 2 两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相 遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长 时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【针对练习】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？ 七年级数学上追及问题 与相遇问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 七年级数学上追及问题与相遇问题 追及问题： （相向而行）：追及路程/追及速度和=追及时间 （同向而行）：追及路程/追及速度差=追及时间 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。 基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置 相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式） 追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式） 流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间 顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 【和差问题公式】 （和+差）÷2=较大数； （和-差）÷2=较小数。 【和倍问题公式】 和÷（倍数+1）=一倍数； 一倍数×倍数=另一数， 或和-一倍数=另一数。 【差倍问题公式】 差÷（倍数-1）=较小数； 较小数×倍数=较大数， 或较小数+差=较大数。 【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。 【一般行程问题公式】 平均速度×时间=路程； 路程÷时间=平均速度； 路程÷平均速度=时间。 【反向行程问题公式】 反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答： （速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程； 相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间； 追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差； （速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 基本的相遇与追及问题 教学目标： 1）根据学习的“路程和＝速度和时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 2）研究行程中复杂的相遇与追及问题 3）通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的 目的 例题讲解： 、相遇和追及 1）相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间. 2）追及路程＝甲走的路程- 乙走的路程＝甲的速度 - 乙的速度×追及时间×追及时间＝（甲的速度- 乙的速度） ×追及时间＝速度差×追及时间. 总路程 =速度和相遇时间相遇问 题速度和 =总路程相遇时间 相遇时间 =总路程速度和 追及时间 =追及路程速度差追及问题追及路程 =速度差追及时间 速度差 =追及路程追及时间 二、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件： （1）在整个被研究的运动过程中， 2 个物体所运行的时间相同 （2）在整个运行过程中， 2 个物体所走的是同一路径。 相遇与追及问题例题讲解： 例题1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46 千米，货车 每小时行48 千米。 3.5 小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 解答：相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为： （46+48）× 3.5=94 × 3.5=329 （千米）． 举一反三： 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45 千米，乙车每小时行40 千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 解答：相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）. 例题2、大头儿子的家距离学校3000 米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24 米，50 分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？ 解答：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60（米/ 分钟），小头爸爸的速度：（60+24）÷ 2=42（米/ 分钟），大头儿子的速度：60-42=18 （米/ 分钟）． 举一反三： 聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20 米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42 米，经过20 分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？ 解答：直接利用公式：（20+62）×20=1640（米）． 例题3、A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A 地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与 B 地的距离是多少米？ 解答：包子的速度90÷30=3（米／秒）， 菠萝的速度：90÷15=6（米／秒）， 相遇的时间：90÷（3+6）=10（秒）， 包子距B地的距离：90-3 ×10=60（米）． 举一反三： 甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需 4 小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧 相遇问题 两个物体从两地出发,相向而行，经过一段时间,必然会在途中相遇，这类题型就把它称为相遇问题。相遇问题是研究速度,时间和路程三者数量之间关系的问题。它和一般的行程问题区别在：不是一个物体的运动,所以,它研究的速度包含两个物体的速度，也就是速度和。 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 相遇路程=甲走的路程+乙走的路程 甲的速度=相遇路程÷相遇时间 -乙的速度 甲的路程=相遇路程-乙走的路程 解答这类问题，要弄清题意，按照题意画出线段图，分析各数量之间的关系，选择解答方法.。相遇问题除了要弄清路程，速度与相遇时间外，在审题时还要注意一些重要的问题：是否是同时出发,如果题目中有谁先出发,就把先行的路程去掉,找到同时行的路程。驶的方向,是相向,同向还是背向.不同的方向解题方法就不一样。是否相遇.有的题目行驶的物体并没有相遇,要把相距的路程去掉;有的题目是两者错过,要把多行的路程加上,得到同时行驶的路程.。 追及问题 两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。这类常常会在考试考到。一般分为两种：一种是双人追及、双人相遇，此类问题比较简单；一种是多人追及、多人相遇，此类则较困难。 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 一、行程问题、相遇问题和追及问题的核心公式： 行程问题最核心的公式“速度=路程÷时间”。由此可以演变为相遇问题和追及问题。其中： 相遇时间=相遇距离÷速度和， 追及时间=追及距离÷速度差。 速度和=快速+慢速 速度差=快速-慢速 二、相遇距离、追及距离、速度和（差）及相遇（追及）时 间的确定 第一：相遇时间和追及时间是指甲乙在完成相遇（追及）任务时共同走的时间。 第二：在甲乙同时走时，它们之间的距离才是相遇距离（追及距离）分为： 相遇距离——甲与乙在相同时间内走的距离之和； S=S1+S2 甲︳→S1 →∣←S2 ←︳乙 追及相遇问题专题 球溪高级中学物理组 一、 解相遇和追及问题的关键 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 二、追及问题中常用的临界条件: 1、速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离； 2、速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上： （1）当两者速度相等时，若追者仍没有追上被追者，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。 （2）若两者速度相等时恰能追上，这是两者避免碰撞的临界条件。 （3）若追者追上被追者时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，即会相遇两次。 三、图像法:画出v t -图象。 1、速度小者追速度大者（一定追上） 四、相遇和追击问题的常用解题方法总结 画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系 （1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据图象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。 （3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。注意“革命要彻底”。 （4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。 五、追及与相遇问题专项典型例题分析 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时， 两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽 车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【针对练习1】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？ 行程问题之相遇追及：直线上的相遇追及 相遇： 追及： 、环形跑道上的相遇追及 三、时钟问题 四、比例解行程 五、s-t 图初探 关键词：借助线段图理解题意 一、直线上相遇追及问题 （1）、中点相遇问题以及灵活使用公式解题 例题1：甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行驶48 千米，两车在距离中点32 千米处相遇。东西两地相距多少千米？ 边讲边练：下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100 米，同时，妈妈也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120 米，两人在距中点100 米 的地方相遇，小红家到学校有多少米？ 例2 ：快车和慢车同时从甲乙两地相向开出，快车每小时行40 千米，经过3小时快车已驶过中点25 千米，这时快车和慢车还相距7千米慢车每小 时行多少千米？ 边讲边练：兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行，哥哥每分钟行129 米，5 分钟后哥哥已经超过中点50 米，这时兄弟二人还相距 30 米，弟弟每分钟行多少米？ 例3 ：甲乙二人上午8 时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6 千米，中午12 时甲到西村后立即返回东村，在距西村15 千米处遇到乙，求东西两村相距多少千米？ 边讲边练：甲乙二人上午7 时同时从A 地区B 地，甲每小时比乙快 8 千米，上午11 时甲到达B 地后立即返回，在距B 地24 千米处与乙相遇，求A，B 两地相距多少千米？ 例4 ：一辆汽车从甲地开往乙地，要行360 千米，开始按计划以每小时45 千米的速度行驶，途中汽车因故障修车2 小时，因为要按时到达乙地， 修好车后必须每小时多行30 千米，问汽车是在离家底多元处修车的？ 边讲边练：小王家离工厂3 千米，她每天骑车以每分钟200 米的速度上班，正好准时到工厂，有一天，他出发几分钟后，因遇到熟人停车2 分钟，为了准时到厂，后面的露必须每分钟多行100 米，求小王是在离工厂多远处路遇熟人的？ 例5 ：甲，乙，丙三人都从A 地到B 地，早晨六点钟，甲，乙两人一起从A 地出发，甲每小时走5 千米，乙每小时走4 千米，丙上午八时才从A 地出发，傍晚六点，甲和丙同时到达B 地，问丙什么时候追上乙的？ 边讲边练：客车，货车，小轿车都从A 地到B 地，货车和客车一起从A 地出发，货车每小时行50 千米，客车每小时行60 千米，2 小时后小轿车才从A 地出发，12 小时后，小轿车追上了客车，问小轿车在出发后几小时追上了货车？ 例6 ：警局接到情报，窃贼“一只耳”正从距警局10 千米处驾车出逃，黑猫警长立刻从警局驾车追赶，已知“一只耳”的车速时80km/h ，黑猫警长的车速时100km/h 。 追及和相遇问题（高一） 1．在同一平直公路上，一辆自行车正以12m/s的速度向前匀速行驶，在某时刻（设该时刻为计时起点）其前方10m处有一辆汽车以4m/s2 的加速度从静止开始向前做匀加速运动。求两车相遇的时间。（１s,5s） 3．一辆汽车由静止开始以1m/s2的加速度沿直线前进，车后相距为25m处，与车开行方向相同，一人同时以6m/s的速度匀速追车。人能否追上汽车？若能追上，求追上的时间；若追不上，求人车间最小距离。（追不上，7m） 4．在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面以0．5m/s2的加速度作匀减速运动。若两车运动方向相同，甲车的初速度为15m/s，则在甲车开始减速时，两车间的距离满足什么条件可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能两次相遇。（L>25m;L=25m,L<25m） 5．客车以20m/s速度运行，突然发现前方120m处有一货车正以6m/s 的速度，沿同一轨道向前匀速行驶，于是客车司机紧急刹车，刹车的最大加速度为0．8m/s2，问客车是否会与货车相撞？（会） 6．客车以20m/s的速度运行，突然发现前方100m处有一货车正以10m/s的速度，沿同一轨道向前匀速行驶，于是客车司机紧急刹车，要保证两车不相撞，客车刹车的加速度至少为多少？（0．5m/s2） 小结：追及和相遇问题：在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。 （1）追及：追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。 如①匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。若二者相遇时，追者速度等于被追者速度，则恰好追上，也是二者避免碰撞的临界件件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会。 相遇追及问题 一、考点、热点回顾 一、追及问题 1.速度小者追速度大者 类型图象说明 匀加速追匀速①t=t0以前，后面物体与 前面物体间距离增大 ②t＝ｔ0时，两物体相距 最远为x0+Δx ③t=t0以后，后面物体与 前面物体间距离减小匀速追匀减速 ④能追及且只能相遇一 次 匀加速追匀减速 2.速度大者追速度小者 度大者追速度小者 匀减速追匀速开始追及时，后面物体与 前面物体间的距离在减小，当 两物体速度相等时，即t=t0 时刻: ①若Δx＝x0,则恰能追 及,两物体只能相遇一次,这 也是避免相撞的临界条件匀速追匀加速 ②若Δｘ 初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间 基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程 在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。 解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 基本公式有： 追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差 要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）常用公式： 行程问题基本恒等关系式：速度×时间=路程，即S=vt. 行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比； 追及与相遇问题 追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于v －t 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了. 知识要点： 一、相遇是指两物体分别从相距S 的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S ，分析时要注意： （1）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系； （2）、两物体各做什么形式的运动； （3）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S 1+S 2方程； 二、追及问题 （1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。 若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。 若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。 若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离 。 2、追及问题的特征及处理方法： “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： ⑴ 速度小者匀加速追速度大者,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速 度 ，即v v =乙甲。 ⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 ①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。 ③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 ⑶ 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 三、分析追及问题的注意点： ⑴ 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t -图象的应用。 例题分析： 1．一车处于静止状态,车后距车S 0=25m 处有一个人,当车以1m/s 2 的加速度开始起动时,人 以6m/s 的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?四年级+相遇问题与追及问题
高中物理必修一追及与相遇问题专题练习及答案
追及相遇问题专题
追及与相遇问题(详解)
(完整)初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧
高中物理追击和相遇问题专题带答案
常见的相遇问题及追及问题等计算公式(非常实用)
(完整版)追及与相遇问题(含答案)
追击相遇问题专题总结(完整资料).doc
七年级数学上追及问题与相遇问题
【精品】小学数学基本的相遇与追及问题非常完整版题型训练+详细答案
行程问题相遇问题和追及问题的解题技巧
追及相遇问题专题总结
行程问题之相遇追及问题经典练习
高一追及和相遇问题专题
高中物理相遇和追及问题(完整版)
初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧
常见的追及与相遇问题类型及其解法