(上海交大)大学物理上册课后习题答案2质点运动定律1.doc
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(上海交大)大学物理上册课后习题答案2质
点运动定律1
习题2
2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动,受一恒力作用,力的分量为
6N x f =,7N y f =,
当0t =时,
0x y ==,2m /s x v =-,0y v =。当2s t =时,求:
(1) 质点的位矢;(2) 质点的速度。
解:由
x
x f a m
=
,有:x
a 263m /168s =
=,2/16
7
s m m f a y y == (1)
t dt a v v t x x x 8
3
200+-=+=⎰
2000163
2)832(t t dt t dt v x x t t x +-=+-=+=⎰⎰
t dt a v v t y y y 167
000+=+=⎰
200032
7
167t tdt dt v y y t t y ==+=⎰⎰
于是2秒时质点的位矢为:)m )(8
7413(j i j y i x r
+-=+= (2)于是质点在2s 时的速度:)m/s (8
745j i v
+-=
2-2 质量m =10 kg 、长l =40 cm 的链条,放在光滑的水平桌面上,其一端系一细绳,通过滑轮悬挂着质量为m 1 =10 kg 的物体,如图所示.t = 0时,系统从静止开始运动,这时l 1 = l 2 =20 cmm 11=-,ma l xgm T =-/,解出)/1(2
1l x g a -=
当链条刚刚全部滑到桌面时x = 0,a =
=g 2
1 4.9 m/s
2 x
t x x t a d d d d d d d d v v v v -=⋅==
x l x g x a d )/1(2
1d d --=-=v v
两边积分
⎰⎰--=0
02
d )1(d 2l x l x
g v v v 22
222)4/3(/21gl l gl gl =-=v ==232
1gl v 1.21 m/s
答案:2m/s 9.4=a ,m/s 21.1=v 。
2-3.质量为
m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数
为k ,忽略子弹的重力,求:(1) 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式;(2) 子弹进入沙土的最大深度。解:(1)由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为:
f kv =-
又由牛顿第二定律可得:dv f m dt =,则dv
kv m dt
-=
分离变量,可得:
dv k dt v m =-,两边同时积分,有:000t v dv k
dt v m
=-⎰⎰,所以:
t m
k
v v -=0
(2)子弹进入沙土的最大深度也就是0v
=的时候子弹的位移,则:
考虑到dv dv dx dt dx dt =,dx v dt =,可推出:m
dx dv k
=-
,而这个式子两边积分就可以得到位移:00max 0v m m
x dv v k k
=-=⎰。
2-4.一条质量分布均匀的绳子,质量为M 、长度为L ,一端拴在竖直转轴OO ′
上,并以恒定角速度ω
在水平面上旋转.设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为r 处绳中的张力T ( r ).
解:考虑离轴线
r 和r r ∆+间的一小段绳子(如图)
,它的长度为r ∆,质量
r L
M
m ∆=
∆,由于绳子作圆周运动,这小段绳子就有法向加速度,所以它的两端的张力不相等,设为)(r T 和)(r r T ∆+,其运动方程为:
r r L
M
r m a m r r T r T n ∆=⋅∆=⋅∆=∆+-22)()(ωω
因为;r
T
r r T r r T r d d )()(lim =∆-∆+∞→∆
于是有:r r L M T d d 2ω-
=,r r L M
T L r L T r T d d 2)()(ω⎰⎰-= 得:)(2)()(22
2r L L
M r T L T --=-ω,而0)(=L T )(2)(22
2r L L
M r T -=ω
2-5.已知一质量为m 的质点在x 轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离x
的平方成反比,即2
/x k f -=,k 是比例常数.设质点在A x =时的速度为零,求质点在4/A x =处的速度的大小。
解:由题意:
2
k f x =-
,再由牛顿第二定律可得:2k dv
m x dt
-
=,考虑到dv dv dx dt dx dt =,dx v dt =,可推出:2k
mvdv dx x =-
两边同时取积分,则:
/4201v A A m vdv k dx x =-⎰⎰
有:mA
k
v 6=
2-6.一质量为kg 2的质点,在xy 平面上运动,受到外力2424F i t j =- (SI)的作用,0=t 时,它
的初速度为034v i j =+ (SI),求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n
F
解:由于是在平面运动,所以考虑矢量。
由:d v F
m
d t =,有:2
4242d v i t j dt
-=⋅,两边积分有:0201(424)2
v t v d v i t j dt =-⎰⎰,∴3024v v t i t j =+-,考虑到034v i j =+,s t 1=,有15v i =
4
由于在自然坐标系中,t v
v e =,而15v i