电磁场数值计算

V Ni i ， V
N
1
4
i
1
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数值计算
5. 误差最小原理
待求区域离散处理后，用近似函数代替待求函 数后，就要寻找一种误差最小原理把描述物理模 型的微分、积分方程化为代数方程组，求出离散 点的函数值。常用的误差最小原理是加权余数原 理和变分原理。 ① 变分原理 如果可以找到算子方程的一个 等价泛函，则满足泛函取极小值的函数就是原算 子方程的解。有限元法就是依据这一原理
2υ f R V υ S1 υ0 R1 υ g 0 R2 n S2
例 边值问题： υ 2 υ t 0 V 2 υ f V υ υ 0 S1 υ n g 0 S2
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数值计算
选择权函数W使误差在加权后的平均值为零：
WR dV W R ds W R ds 0
V 1 1 2 2 V S1 S2
注意 选择权函数是关键。选择不同的权函数得
到以不同名称命名的数值计算方法。
6. 区域元法及边界元法 ① 区域元法 指近似解在边界满足边界条件， 使区域中的平均误差为零来导得矩阵方程。有 限元法为区域元法
1
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数值计算
a1 1 xi τi a ＝1 x τ j j 2 τ j τi 解得： a＝x jτi xi τ j a2 ＝ 1 x j xi x j xi
若用二次函数： σ ( x) a1 a2 x a3 x 2 ＝ 二维时有： υ( x, y ) a1 a2 x a3 y ＝
同一个条件
1
2
x 0
1
0
2
d/2 d x
2 q ε2 σ n S
1 2
xd
x
d 2
1 0 x 0
参考点
1 2 ε1 ε2 n n
x
d 2
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数值计算
例
试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解 根据场分布的对称性
2 2
a1 xj ym xm yj b yj ym c1 xm xj 1
Βιβλιοθήκη Baidu
a2 xm yi xi ym b2 ym yi c2 xi xm
a3 xi yj xj yi b3 yi yj c3 xj xi
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数值计算
局部坐标与整体坐标的转换
实测法
模拟法 解析法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法

数值法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法

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数值计算
例
解
试写出图示静电场的边值问题。 大地以上空间： 2 2 2 2 0 2 2 2 x y z
|s f1 ( s)
2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)
已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线)
n S 3）第三类边界条件
f 2 (s)
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合 （＋ ) f3 ( s) n S
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数值计算
实验法 电 磁 问 题 计算法
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数值计算
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数值计算
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数值计算
1. 常数单元
定义被求函数在一个单元（线段、小面积、小体 积）中为一个常数。
电荷分布 不连续
2. 线性单元
0
l
0
l
定义被求函数在一个单元中按线性变化。 一维时有： a
τ ( x) a1 a2 x 1 x ＝ a2
数值计算
电磁场数值计算
当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析 法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算） 的方法。 1. 电磁问题的划分 ① 场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。 直接求积分方程。
J (r )e j r A dV V 4 r
(r )e jr dV V 4r
边值 问题
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝ 2
1 2 1 2 n n
r
初始 条件
自然边界条件 lim r 有限值 强制边界条件 lim 有限值
r 0
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数值计算
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 已知边界上的电位
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数值计算
静电场中元电荷产生的电场
dq dE e 2 R 4π 0 R dq dV dS ，dl ，
体电荷的电场
N 1 qk dV E (r ) [ e ek 2 2 k1 4π0 k 11 Rk 1 Rk2 V dS dl ek 3 ek 4 ] Rk3 Rk4 V V
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数值计算
结论 数值方法是近似方法。关键是确保问题
的解在允许的误差之内。 数值计算的基本法则： ① 正确把握问题所属的电磁性质和空间维数。
② 求解区域的离散化处理； ③ 近似替代的误差最小原理；
4. 场域的离散化处理 步骤（1）求解区域的离散化处理； （2）在每个离散单元内，用近似函数代替 复杂函数。
2
υ 令小单元的近似函数： ( x, y )
N υ
1
3
k k
对泛函中的待定系数求极值： F (υ) 0
得矩阵方程： K υk E
N k
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数值计算
② 加权余数原理
使近似函数和真解之间的误 差在平均意义上达到最小来导出算子方程的等效 矩阵方程。 误差或余数：
i y Δ m Δj Δi j 0 x
3 x N i xi N j x j N m xm N k xk 1 3 m y N i yi N j y j N m ym N k yk 1
υ( x, y ) N k υk
1
3
三维时局部坐标（体积坐标）：
1 N1 2 (1 ξ ) N 2 1 (1 ξ ) 2
()
ξ 1，N1 1，N 2 0 ξ 1， N1 0，N 2 1
0 -1 1
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数值计算
二维时局部坐标以三角形的面积表示（面积坐标）：
i(1 0 0) y Δ m Δj Δi j(0 1 0) 0 i Ni j N j N i m x m(0 0 1)
V 1 1 2 2 V S1 S2
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数值计算
7. 计算误差 ① 简化物理模型产生的误差 ② 计算参数和实际参数之间的差异产生的误差 ③ 截断误差（忽略高次项、单元大小） ④ 循环误差（单元尺寸相差太大、计算误差累积）
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数值计算
8. 计算结果的校核
① 用具有解析解的例子考核 ② 计算结果与预期目标之间是否矛盾 ③ 条件是否符合物理规律 ④ 计算结果是否满足边界条件 ⑤ 改变离散单元大小和近似函数阶数来比较计算 结果的差异 ⑥ 用不同计算方法计算并比较 ⑦ 与其他人的计算结果比较 ⑧ 与实测结果比较
三个待定 常数
i
υi ( xi , yi ) a1 a2 xi a3 yi ＝ ＝ υj ( x j , y j ) a1 a2 x j a3 y j υ ( x , y ) a a x a y 3 m m m m＝ 1 2 m
j
m
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数值计算
若用二次函数：
确定计算场域，边值问题
0 2 2 x y
2
（阴影区域）
缆心为正方形的


( x b , 0 y b及y b , 0 x b )
U
( x 2 y 2 a 2 , x 0 , y 0 )
0
0
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x
( x 0 ,b y a )
ρ(r) υ dV V 4πεr
矢量的积分
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数值计算
静磁场中元电流产生的电场 体电流 面电流
0 J ( r ) e R B V R 2 dV 4
0 K ( r ) e R B dS S 2 4 R
μJ (r) A dV V 4π r
注意 泛函是函数的函数。但不是所有的
算子都能找到其对应的泛函。
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数值计算
例 满足第二类边界条件的泊松方程的泛函
ρ 2 υ ε υ g ( s) n s
对应的泛函：F (υ) υ dV 2 υρdV υ ds n εV V s
3. 局部坐标（形状函数）
υ( x, y) a1 a2 x a3 y a4 xy a5 x a6 y ＝
2
2
六个待定 常数
局部坐标是相对于整体坐标x，y，z而言，是 近似计算中导出等价矩阵方程的一种简便、快速、 有效的方法。 一维时： τ (ξ ) N1τ1 N 2 τ 2 ＝
S1 100V S2 50V


( S1)
100 V 50 V
(S2 )

( 大地， )
0
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数值计算
例
解
+q
试写出图示平板电容器电场的边值问题。
21 21 0 2 x
-q
2 2 2 2 0 2 x
1 q ε1 σ n S
υk W 2 N k dV WfdV
V V
得矩阵方程： K υk E
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数值计算
① 边界元法
指近似解满足区域内的函数，使 边界的平均误差为零来导得矩阵方程。矩量法 为边界元法。 选择权函数使边界误差在加权后的平均值为零：
WR dV W R ds W R ds 0
① 边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。
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数值计算
1. 静电场的边值问题（Boundary Problem) 微分 方程 泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0 场域边界条件(待讲）

m(0 1)
i(0 0)
j(1 0)

Ni N j N m 1
令 ξ Nj
注
局部坐标只 在单元中有定义。
η Nm
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数值计算
局部坐标与整体坐标的转换
i y Δ m Δj Δi j 0 x m
1 N i i （a1 b1 x c1 y ) 2 j 1 （a2 b2 x c2 y ) N j 2 N i 1（a b x c y ) 3 m 2 3 3
0
y
( y 0 ,b x a )
数值计算
2. 数值计算的基本过程
计算 结果 的可 视化 处理 评判 结果 的合 理性 和正 确性
物理 问题
计算 模型
选择数值 计算方法
关键步骤
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数值计算
3. 数值计算的基本思想
① 将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求 解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。 ② 把求解连续函数的偏微分方程问题转换为求解离 散点上的代数方程组的问题。 包括：用有限维代替无限维； 用有限过程代替无限过程； 用有限解析区域代替无限区域； 用线性代替非线性； 用简单函数（多项式、正弦、脉冲）代替复杂函数；
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数值计算
WR dV W R ds W R ds 0
V 1 1 2 2 V S1 S2
R1 R2 0
2
WR dV 0
V V
υ f RV
W υ f dV 0
2 V
V
υ( x, y ) N k υk
1
3
W 2 N k υk f dV 0
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数值计算
例 求长直接地金属槽内电位的分布。 y U=100V 解 边值问题 a
2 2 2 2 2 0 x y x 0,0 y a 0