HHT变换讲义EMD讲解

HHT变换讲义

1.1简介

传统的信号处理方法，如傅立叶分析是一种纯频域的分析方法。它用频率不同的各复正弦分量的叠加来拟合原函数，也即用()ω

f。而()ω

F在有

F来分辨()ω

限频域上的信息不足以确定在任意小范围内的函数()ω

f，特别是非平稳信号在时间轴上的任何突变，其频谱将散布在整个频率轴上。而且，非平稳动态信号的统计特性与时间有关，对非平稳信号的处理需要进行时频分析，希望得到时域和频域中非平稳信号的全貌和局域化结果。在傅立叶变换中，人们若想得到信号的时域信息，就得不到频域信息。反之亦然。后来出现的小波（Wavelet）变换通过一种可伸缩和平移的小波对信号变换，从而达到时频局域化分析的目的。但这种变换实际上没有完全摆脱傅立叶变换的局限，它是一种窗口可调的傅立叶变换，其窗内的信号必须是平稳的。另外，小波变换是非适应性的，小波基一旦选定，在整个信号分析过程中就只能使用这一个小波基了。

HHT（Hilbert-Huang Transform）技术是(1998年由NASA的Norden E Huang 等提出的新的信号处理方法。该方法适用于非线性非平稳的信号分析，被认为是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。目前HHT 技术已用于地球物理学和生物医学等领域的研究，并取得了较好的结果。

存在的问题

尽管HHT技术在处理非线性、非稳态信号方面有很大的优势，但是这个方法本身还是有许多的问题有待进一步研究。

正如Huang 在文章中指出的那样，对于这种新的信号处理方法，其基的完备性还需要严密的证明。另外，在做Hilbert变换时出现的边界效应也需要更好的方法来解决。但是，HHT技术中最严重，也是现今研究的最多的是EMD 分解中的包络过程。从对EMD分解方法的介绍可以看出，包络线的构造影响着整个分解的结果，也决定了后面的Hilbert变换。Huang 采用的三次样条插值来拟和包络

线。在实际应用中，发现这样做会产生严重的边界效应，污染了原始数据。特别是对短数据而言，这种影响使分析所得的结果失去了原有的意义。对此，Huang 等采用的是根据信号端点处的振幅和频率，分别增加两组特征波的方式进行数据延拓。Huang 的这种延拓方法已经向NASA 申请了专利。除此之外，还有人提出了其它方法进行端点延拓。比如国家海洋局的黄大吉等提出的镜像闭合延拓法和极值延拓法。其中镜像闭合延拓法是根据信号的分布特性，把镜子放在具有对称性的极值位置，通过镜像法把镜内信号映射成一个周期性的环形信号，不存在端点，从根本上避免了端点效应。而极值延拓法具有镜像闭合延拓法相当的效果，而不增加信号序列本身的长度，计算较快，尤其在处理非对称波形信号时比较优越。还有青岛海洋大学的邓拥军等，利用神经网络分析方法来延拓数据端。这些方法对边界效应的抑制都有一定的作用，但是也都需要更深一步的研究。

1.2 瞬时频率

频率是个极其重要的物理量，定义为信号周期倒数，其物理含义显而易见。对于正弦信号，它的频率为恒值。但是对于大部分信号，它的频率是随时间变化的函数，故提出瞬时频率概念。瞬时频率即表征信号在局部时间点上瞬态频率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频率的时变规律。

对于随机时间序列X(t)，对其进行Hilbert 变换[39]，可以得到Y(t)如下：

()()1()X Y t PV d t ττπτ∞

-∞

=-⎰ (1-1) 其中，PV 为柯西主值（Cauchy principal value)。该式表示Y(t)是X(t)与

1πτ

的卷积。通过这个定义，X(t)和Y(t)组成了一个共轭复数对，于是可以得到一个解析信号Z(t)如下 ()()()()()i t Z t X t iY t a t e θ=+= (1-2)

其中 ()()()()()()122arctan a t X t Y t Y t t X t θ⎧⎡⎤=+⎣⎦⎪⎪⎨⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩

(1-3) 从理论上讲，虚部的定义方法有很多种。但是Hilbert 变换为其提供了一个唯一的虚部值，这就使得其结果成为一个解析函数。得到了相位，就可以得到瞬时频率，因为瞬时频率就是相位导数。

()d t dt

θω= (1-4) 从本质上说，公式(1-1)将Hilbert 变换定义为X(t)与1πτ

的卷积，因此它强调了X(t)的局部特性。公式(1-2)的极坐标表达式更进一步澄清了这个表达式的局部特性：它的幅值和相位的最佳局部匹配随三角函数变化。

1.3 固有模态函数IMF （Intrinsic Mode Function ）

由瞬时频率的物理意义可知，并不是任意的信号都能用瞬时频率来讨论。只有当信号满足只包括一种振动模式，而没有复杂叠加波的情况时才行。实际上，定义一个有意义的瞬时频率的必要条件就是要求函数关于局部零平均值对称，并且零交叉点和极值点数量相同。基于此种原因，提出了固有模态函数的概念。固有模态函数满足以下两个条件：

(1)整个数据范围内，极值点和过零点的数量相等或者相差一个；

(2)在任意点处，所有极大值点形成的包络线和所有极小值点形成的包络线的平均值为零。

第一个条件是显而易见的，它类似于平稳过程中传统的稳定且满足高斯分布的窄带信号条件。第二个条件把传统的全局条件调整到局部情况。只有满足了这个条件，得到的瞬时频率才不会因为不对称波形的存在而引起不规则波动。所以这一点是得到正确瞬时频率的必要条件。而这一点是必须的，因为这样瞬时频率就可以不包含由于不对称波形造成的波动。

为了使用瞬时频率定义，必须要把随机数据归结为IMF 组件，这样才可以为每个IMF 组件定义瞬时频率。为了将数据归结为所需的IMF 组件，接下来引入经验模式分解方法。

1.4 经验模式分解EMD （Empirical Mode Decomposition ）

经验模态分解方法的大体思路是利用时间序列上下包络的平均值确定“瞬时平衡位置”，进而提取固有模态函数[39]。这种方法基于如下假设：

（1）信号至少有两个极点—－个极大值和一个极小值；

（2）信号特征时间尺度是由极值间的时间间隔来确定的；

（3）如果数据没有极值而仅有拐点，可以通过微分、分解、再积分的方法获得IMF 。

在此假设基础上，Huang 等人进一步指出：可以用经验模态分解方法将信号的固有模态筛选出来。经验模式分解过程就是个筛选过程，实现振动模式的提取。