基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式

AN OPTIMIZATION APPROACH FOR PROCESS ENGINEERING PROBLEMS UNDER UNCERTAINTY

1. Mathematical formulation

基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式，不确定性参数θ 可以分为决定性的不确定性参数 (deterministic) d θ，和随机性的不确定性参数 (stochastic) s θ ，设计问题表达如下：

上式中T 表示参数集合，)(s J θ 是概率分布函数。在参数集合T 中，决定性的不确定性参数d θ 可以进一步表示成多周期或多情境的形式 (periods/scenarios), P p p ,...,1,=。因此原问题转化为如下多周期问题： 上式中p w 表示周期p 的权重因子。随机性的不确定性参数s θ 将出现在两级随机规划的表达当中。因此原问题可以进一步转化为如下形式：

上式描述了一个两级的设计策略，当第一级的设计变量被确定后，第二级的设计目标就是确定一组最优的控制变量 p z ，相对应于每一种可能出现的不确定性参数情况 d θ 和s θ。上式的数学结构可以用如下的块三角的图型表示，从中可以看出设计变量 d 和不确定性参数 s θ是出现在第一级的变量。这种数学结构可以用特殊的分解算法来求解。

求解过程首先将设计变量 d 固定在 d ，解如下可行子问题：

以上可行子问题的求解结果将随机性的不确定性参数 s θ 离散为有限个积分点 q s θ，因此优化问题的数学结构转化为下图的形式：

上图表明，原优化问题可以分解为多个子问题，然后单独求解，优化子问题的表达式如下：

求优化子问题的期望值，将结果设为原问题的下边界：

利用求解可行子问题和优化子问题得到的对偶信息，构造如下优化主问题，该问题的解当作原问题的上边界，同时可以更新设计变量d 的值。

经过以上方式的循环迭代，上下边界最终收敛到一个值，该值即为原

优化问题的解。