第四章随机变量的数字特征总结

第四章 随机变量的数字特征

㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义

(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为

{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞

- d )( )()( ，

，

连续型离散型x x xf x X x X k

k k P E

其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望

1、离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量的概率分布为

，若，则称级数为随

机变量

的数学期望（或称为均值），记为

, 即

2、两点分布的数学期望

设服从0—1分布，则有

，根据定义，的数学期望为

.

3、二项分布的数学期望

设服从以为参数的二项分布，，则。

4、泊松分布的数学期望

设随机变量

服从参数为的泊松分布，即，从而有

。

①常见的连续型随机变量的数学期望

1)均匀分布

设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a

= 则 =

∴ E (ξ)=(a+b )/2． 即数学期望位于区间的中点．

2)正态分布

设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:

(σ>0，- <μ<+ )

则令得

∴ E(ξ)=μ .

3)指数分布

设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为

，则.

(2) 随机变量的函数的数学期望设)

(x

g

y=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)

(X

g

Y=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数)

,

(Y

X

g

Z=，有类似的公式：

(){}

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧=

=

=

⎰

∑

∞

∞

．

；

（连续型）

离散型

－

d)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

f

x

g

x

X

x

g

X

g

Y k

k

k

P

E

E

()

(){}()

()()()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧=

=

=

=

⎰⎰

∑∑

∞

∞

-

∞

∞

-

．

；

连续型

离散型

d

d

,

,

,

,

,

y

x

y

x

f

y

x

g

y

Y

x

X

y

x

g

Y

X

g

Z

i j

j

i

j

i

P

E

E

设(,)

X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,

i j ij

P X a Y b p i j

====

如果级数

(,)

i j ij

j i

g a b p

∑∑

绝对收敛，则(,)

X Y的函数(,)

g X Y的数学期望为

[(,)](,)

i j ij

j i

E g X Y g a b p

=∑∑

；特别地

();()

i ij j ij

i i j i

E X a p E Y b p

==

∑∑∑∑

.

设X为连续型随机变量，其概率密度为()

f x，如果广义积分()()

g x f x dx

+∞

-∞

⎰绝对收敛，则X的函数()

g X的数学期望为[()]()()

E g X g x f x dx

+∞

-∞

=⎰．

设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分

(,)(,)g x y f x y dxdy

+∞+∞

-∞

-∞

⎰⎰

绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为

[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy

+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

； 特别地

()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=⎰

⎰

,

()(,)E Y yf x y dxdy

+∞

+∞

-∞-∞

=⎰⎰

.

注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。

2、数学期望的性质

(1) 对于任意常数c ，有c c =E ． 例E[E(X)]=E(X) (2) 对于任意常数λ，有X X

E E λλ=．例：E(aX+b)=aE(X)+b

(3) 对于任意m X X X ,,,21 ，有()m m X X X X X X E E E E +++=+++ 2121． (4) 如果m X X X ,,,21 相互独立，则()m m X X X X X X E E E E

2121=．(注：相互独立

有后面的结论成立，但这是单向性的，即不能有结论推出独立) ㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1、方差的定义 称222)()(X X X X X E E E E D -=-=

为随机变量X 的方差，称X

D =σ

为随机变量X 的标准差．随机变量X 的方差有如下计算公式：

(){}()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎰∑∞

∞

-．；

连续型离散型 )( d )( )( 2

2x x f X x x X X x X k

k k E P E D (4.3) 2、常见分布的方差

(1)两点分布

设ξ～(0-1)，其概率分布为: P (ξ=1)=p ， P (ξ=0)=1-p =q (0

设ξ～B (n ,p )， 其概率分布为:

(k =0, 1, 2,…,n ) (0

(此处运用组合数公式 )

=