等腰或直角三角形为背景的计算与证明

3.

专题提升(十)以等腰或直角三角形为背景的计算与 证明 类型之一以等腰三角形为背景的计算与证明

【经典母题】

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸

片都是等腰三角形•你能办到吗？请画示意图说明剪法.

解：如答图，作/ABC 的平分线，交AC 于点D.在BA 上截取BE

=BD ，连结ED ，则沿虚线BD ，DE 剪两刀，分成的3个三角形 都是

等腰三角形.

【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平

分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在 经典

母题答图 一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算.

【中考变形】

[2017湖南]已知△ ABC 的三边长分别为4, 4, 6,在厶ABC 所在平面内画一 条直线，将△ ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样

的直线最多可画

A . 3条 B.4条 C.5条

【解析】 女口答图，当AC = CD ，AB = BG ，AF =

CF ，

AE = BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形.

[2016杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别 为m 和n(m v n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角

形，若这两个三角形都为等腰三角形，则

(C 2 2 2 2

A . m + 2mn +n = 0

B.m — 2mn +n = 0 2 2 2 2

C . m + 2mn —n = 0 D.m — 2mn —n = 0

【解析】 如答图，根据题意，得m 2 + m 2= (n — m)2,

2m 2= n 2—2mn + m 2, m 2 + 2mn —n 2= 0.

[2017绍兴]已知△ ABC ，AB =AC ，D 为直线BC 上 2.

中考变形2答图

一点，E为直线AC上一点，AD = AE，设/ BAD = a.

⑴如图Z10—1,若点D在线段BC上，点E在线段AC上.

①如果/ ABC = 60°,/ ADE = 70°，那么a= __20__, __10.

②求a, B之间的关系式；

(2)是否存在不同于以上②中的a, B之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由.

解：（1）①••• AB= AC, / B = 60°,A / BAC= 60°,

••• AD = AE,/ ADE= 70°,二/ DAE = 180°—2/ADE = 40°,

•••a=/BAD = 60°—40°= 20°,

•••/ ADC= / BAD+/ B = 60°+ 20°= 80°,

•••B=/CDE = /ADC —/ADE= 10°.

②设/B = x,/ ADE = y,「./C= x,/ AED = y, 在厶DEC 中，y= B+ 乂，在厶ABD 中，a + x= y+ B= B+ x+ B, 二a = 2 B

⑵I .当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图①，设/B = x, /ADE = y,.°./ C = x,/ E = y,

在厶ABD 中，x+ a= B—y,在厶DEC 中，x+ y+ 180°,

••• a = 2B- 180° .

图Z10—

1

中考变形3答图①中考变形3答图②

n .当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图②，同①的方法可得a 180°—2B

【中考预测】

[2016菏泽]如图Z10 —2,A ACB和厶DCE均为等腰三角形，点A, D, E在同一直线上，连结BE.

(1) 如图①，若/ CAB=Z CBA=Z CDE=Z CED= 50°，

①求证：AD a BE.

②求/ AEB的度数；

(2) 如图②，若/ACB=Z DCE = 120°，CM DCE 中DE 边上的高线，BN

ABE中AE边上的高线，求证：AE= 2 3CM + 2^BN.

解：（1）①证明：•••/ CAB a Z CBA=Z CDE =Z CED = 50

•••/ ACB=Z DCE= 180°—2X 50°= 80°.

vZ ACB=Z ACD+ Z DCB，Z DCE =Z DCB + Z BCE，

•••Z ACD= Z BCE.

•••△ ACB和△ DCE均为等腰三角形，

•AC= BC，DC = EC.

AC= BC，

在厶ACD 和厶BCE 中，Z ACD= Z BCE，

DC = EC，

•△ACD^A BCE（SAS，：AD = BE;

ACD BCE,：Z ADC= Z BEC.

v点A，D，E在同一直线上，且Z CDE = 50°，

•Z ADC= 180°—Z CDE = 130°,：Z BEC= 130°,

•Z AEB= Z BEC—Z CED= 130°—50°= 80°;

⑵证明：ACB和厶DCE均为等腰三角形，且 / ACB=/ DCE= 120 1

•••/CDM = /CEM = 2X(180°—120° ) = 30° .

v CM 丄DE,A Z CMD = 90°, DM = EM.

在Rt A CMD 中，/ CDM = 30°,

vZ ACB=Z DCE= 120°,

•••/ ACB—Z DCB= Z DCE —Z DCB，即Z ACD= Z BCE, 又v AC= BC, CD= CE,.」ACDBCE(SAS),

•••Z ADC= Z BEC, AD= BE.

vZ BEC=Z ADC= 180°—30°= 150°,

Z BEC= Z CEM + Z AEB,

•Z AEB= Z BEC—Z CEM = 150°—30°= 120°,

•Z BEN= 180°—120°= 60°.

在Rt A BNE 中，Z N = 90°,Z BEN = 60°,

v AD = BE, AE = AD + DE,

• AE= DE + BE = 2 3CM + ^BN.

类型之二以直角三角形为背景的计算与证明

【经典母题】

已知：如图Z10 —3,在厶ABC中，AD丄BC于点D , E为AC上一点，且BF =AC, DF = DC.求证：BE丄AC.

证明：v AD 丄BC,.Z ADC =Z BDF = 90°, A

又v BF= AC, DF = DC, 7

•Rt△BDF也Rt A ADC(HL),.Z DBF = Z DAC, \

R ----------- D------- c vZ BFD =Z AFE,

•Z AEF= Z BDF = 90°,即卩BE丄AC. 图Z10—3【思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用.