等腰直角三角形构造全等

探索“等腰三角形构造全等”学案稿

【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）

②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形：

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

一．利用两边相等构全等

1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=( )

°°°°

2.三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,AD是BC边上的中线,角ABF=角CAE，求证EF

3.在三角形ABC中，角ABC=90度，AB=AC，D,E在BC上，角DAE=45度，若BD=2，CE=3，求DE的长。

4.已知，如图，等腰中，，的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：BD＝2CE（湖北中考题）

5.在三角形ABC中，角BAC=90

度,AB=AC,在BC上,角DAE=45度,三角形AEC按顺时针方向转动一个角后成

三角形AFB,请问BD+EC与DE有什么关系请说明理由.

6.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置.图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同

一条直线上，连接DC.⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

⑵.证明：DC⊥BE.

二．利用两角相等构全等

7.如图，在等腰三角形ABC中，角ABC=90度，D为AC边上的中点过D点作DE垂直DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF的长

8.如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若

,则AB的长为( )

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点

（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形

例1．如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD 于点E，过C作CF⊥AD于点F。

（1）求证：BE-CF=EF；

（2D在BC

的延长线上（如图（

2

）

）

，

（

1

）中的结论还成立吗若不成立，请写出新的结论并证明。

1.若三角形ABC中，角C=90°，AC=BC，分别过点A、B向过点C的直线CD做垂线，垂足分别为点E、F，若AE=5，BF=3，则EF是多少

2.已知一次函数Y=-2X+4与X轴，Y轴分别交与点A和点B．

（1）分别求出A，B点的坐标．

（2）以AB为边作等腰直角三角形，若点P在第一象限，请求出点P的坐标；

（3）在（2）的结论下，过点P作直线AB的平行线，分别交X轴，Y轴与点C和点D，求出四边形ABCD 的面积。

3.将一副三角板按如图所示方式叠放在一起,若AB=8,则阴影部分的面积是( )

4.已知在平面上有不重合的两个点A和B,以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可以作出( )

A. 2个

B. 4个

C. 6个

D. 8个

5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,CE⊥CD,且CE=CD,连接BD,DE,BE.则下列结

论:①∠ECA=165°;②BE=BC;③AD⊥BE;④.其中正确的是( )

A. ①②③

B. ①②④

C. ①③④

D. ①②③④

6. 如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,BD⊥AH于D,CH⊥AH于H,HE,DF分别平分∠AHC和∠ADB.则下列结论中:①△AHC≌△BDA;②DF⊥HE;③DF=HE;④AE=BF.其中正确的结论有( )

A. ①③④

B. ①

C. ①②③

D. ①②③④